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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Trigonometrische Funktion

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Trigonometrische Funktion

Trigonometrische Funktionen, auch Winkelfunktionen genannt, dienen zur Berechnung von Winkeln in Dreiecken und in der Schwingungslehre. Hierbei bedient man sich der Sinus-, Cosinus-, Tangens- und Kotangensfunktion, sowie deren Kehrwertfunktionen. 

Sinusfunktion: $\ f(x) = sin(x)$, Kosinusfunktion: $\ f(x) = cos(x)$, Tangensfunktion: $\ f(x) = tan(x)$, Kotangensfunktion $\ f(x) = cot(x)$

Merke

Berechnung am Einheitskreis [siehe Bild]:

Sinusfunktion
Ordinate von B:  $y=sin \alpha = |\overline{AB}|$

Kosinusfunktion
Abszisse von B:  $y=cos \alpha = |\overline{0A}|$

Tangensfunktion
Haupttangentenabschnitt:  $y=tan \alpha = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} = |\overline{CD}|$

Kotangensfunktion
Nebentangentenabschnitt:  $y=cot \alpha = \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)} = |\overline{EF}|$
Winkelfunktionen
Winkelfunktionen

Berechnung eines Punktes auf dem Einheitskreis

Zu jedem Winkel $\alpha$ zwischen $0°$ und $360°$ gehört ein Punkt $P$ auf dem Einheitskreis mit den Koordinaten $(x, y)$.

Beispiel

Wie lautet der Punkt auf dem Einheitskreis wenn $\alpha =  30°$ ?

$\cos(30) \approx 0,87 \rightarrow x = 0,87$

$\sin(30) = 0,5 \rightarrow y = 0,5$

$P(0,87|0,5)$

Berechnung eines Punktes auf dem Einheitskreis
Berechnung eines Punktes auf dem Einheitskreis

Merke

Definition im Rechtwinkligen Dreieck mittels Kehrwertfunktionen:

Kosekansfunktion: $ csc \alpha = \frac{1}{sin \alpha}$

Sekansfunktion: $ sec \alpha = \frac{1}{cos \alpha}$