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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Beziehungen der trigonometrischen Funktionen

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Beziehungen der trigonometrischen Funktionen

Die trigonometrischen Funktionen stehen in Beziehung zueinander und können daher, falls es die Rechnung erfordert, in einander überführt werden. Im Folgenden die wichtigsten Beziehungen. 

Komplementbeziehungen

$\ sin \alpha = cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = cos(\alpha - \frac{\pi}{2}),       D(f) = \mathbb{R}$

$\ cos \alpha = sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin(\alpha + \frac{\pi}{2}),       D(f) = \mathbb{R}$

$\ tan \alpha = cot(\frac{\pi}{2} - \alpha),       D(f) = \mathbb{R}, \ [\alpha|\alpha = k \cdot \frac{\pi}{2}]$

$\ cot  \alpha = tan(\frac{\pi}{2} - \alpha),       D(f) = \mathbb{R}, \ [\alpha|\alpha = k \cdot \frac{\pi}{2}]$

Grundbeziehungen

$\ (sin  \alpha  \pm  cos  \alpha)^2 = 1 \pm sin2 \alpha,     \alpha \in \mathbb{R}$

$\ sin^2  \alpha + cos^2  \alpha = 1,                                           \alpha \in \mathbb{R}$ [Trigonometrischer Pythagoras]

$\ tan  \alpha = \frac{sin  \alpha}{cos  \alpha} = \frac{1}{cot  \alpha} \leftrightarrow tan  \alpha \cdot cot  \alpha = 1,        \alpha \neq k \cdot \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$

$\ 1 + tan^2  \alpha = \frac{1}{cos^2  \alpha},                                                                                      \alpha \neq \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi$

$\ 1 + cot^2  \alpha = \frac{1}{sin^2  \alpha},                                                                                        \alpha \neq  k \cdot \pi$

Merke

Bei allen Beziehungen ist immer auf die Einhaltung der richtigen Vorzeichen zu achten!