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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Symmetrieeigenschaften der trigonomterischen Funktionen

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Symmetrieeigenschaften der trigonomterischen Funktionen

Merke

Beim Einheitskreis, welcher seiner Mittelpunkt im Ursprung eines Koordinatensystems hat, unterteilt man die 4 Bereiche, in denen sich der jeweilige Winkel befindet, in Quadranten. Die Bereichseinteilung erfolgt mit Hilfe der Kreiszahl $\pi $. Wobei $\pi$ die Maßeinheit Radiant ist. Ausgedrückt in Bogenmaß ist $\pi$ Radiant $= 180$ Grad. Der Vollwinkel hat demnach $2\pi$ Radiant $= 360$ Grad und $\frac{\pi}{2} = 90°$.

Bereich I $ = 0 < \alpha < \frac {\pi}{2}$

Bereich II $ = \frac {\pi}{2} < \alpha < \pi$

Bereich III $ = \pi < \alpha < \frac {3}{\pi}$

Bereich IV $ = \frac {3}{\pi} < \alpha < 2\pi$
Quadranten
Quadranten

Merke

Winkel die im Uhrzeigersinn überstrichen werden, sind negativ, Winkel die gegen den Uhrzeigersinn überstrichen werden positiv

In der folgenden Tabelle sind die grundlegenden Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen aufgeführt:

sinx cosx tanx cotx
Definitionsbereich D $\ f$ $\mathbb{R}$   $\mathbb{R}$   $\mathbb{R}, {x|x = \pi/2 + k\pi}$ $\mathbb{R}, {x|x = k\pi}$
Wertebereich W $\ f$ $\ [-1, 1]$ $\ [-1, 1]$ $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$
Nullstellen $\ x_0$ $\ k\pi$ $ \pi/2 + k\pi$ $\ k\pi$ $ \pi/2 + k\pi$
Pole $\ x_p$ - - $ \pi/2 + k\pi$ $\ k\pi$
Extrema $\ x_E$ $ \pi/2 + k\pi$ $\ k\pi$ - -
Wendepunkte $\ x_W$ $\ k\pi$ $ \pi/2 + k\pi$ $\ k\pi$ $ \pi/2 + k\pi$
Asymptoten - - $ y= \pi/2 + k\pi$ $\ y= k\pi$

Symmetrieeigenschaften der trigonometrischen Funktionen

Das Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen verhält sich in den einzelnen Quadranten wie in der unten angegeben Grafik. 

Quadrant sin cos tan  cot
I + + + +
II + - - -
III - - + +
IV - + - -

Begründung:

  • $cos(\alpha) = x$-Wert: Alle Punkte auf dem Einheitskreis mit positiven $x$-Wert befinden sich auf der rechten Seite der $y$-Achse, weshalb der Kosinuswert im I. und IV. Quadranten positiv ist.  Alle $x$-Werte links von der $y$-Achse sind hingegen negativ, weshalb im II. und III. Quadranten der Kosinuswert negativ ist.

  • $sin(\alpha) = y$-Wert: Alle Punkte auf dem Einheitskreis mit positiven $y$-Wert befinden sich oberhalb der $x$-Achse, weshalb der Sinuswert im I. und II. Quadranten positiv ist, hingegen ist der Sinuswert im III. und IV. Quadranten, also unterhalb der $x$-Achse, negativ.

  • $tan(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}$: Im I. Quadranten ist der Tangenswert positiv, da Sinus und Kosinus beide positiv sind: $tan(\alpha) = \frac{+}{+} = +$. Im II. Quadranten ist: $tan(\alpha) = \frac{+}{-} = -$  im III. Quadranten: $tan(\alpha) = \frac{-}{-} = +$  und im IV. Quadranten: $tan(\alpha) = \frac{-}{+} = -$.

  • $cot(\alpha) = \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)}$: Siehe Tangens nur andersherum.