Kursangebot | Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra | Laplacescher Entwicklungssatz

Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Laplacescher Entwicklungssatz

Mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz kann man die Determinante einer  $(n, n)$-Matrix „nach einer Zeile oder Spalte entwickeln“. 

$A = (a_{ij}) \to \; det(A) = \sum\limits_{i,j = 1}^n (-1)^{i + j} \ a_{ij} \ det (A_{ij})$

Entwicklung nach der i-ten Zeile

Gegeben sei die Matrix:  $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

Entwicklung z.B. nach der 1.-Zeile: Als erstes müssen die drei Streichungsdeterminanten berechnet werden, um dann die Determinante von $A$ ermitteln zu können.

Vorgehensweise bei der Entwicklung der 1. Zeile

1. Schritt: Streichen der 1. Zeile und der 1. Spalte:

$A_{11} = \begin{pmatrix} \not{1} & \not{2} & \not{3} \\ \not{2} & 1 & 3 \\ \not{1} & 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = |A_{11}| = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 0$

2. Schritt: Streichen der 1. Zeile und der 2. Spalte:

$A_{11} = \begin{pmatrix} \not{1} & \not{2} & \not{3} \\ 2 & \not{1} & 3 \\ 1 & \not{1} & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = |A_{11}| = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 3$

3. Schritt: Streichen der 1. Zeile und der 3. Spalte:

$A_{11} = \begin{pmatrix} \not{1} & \not{2} & \not{3} \\ 2 & 1 & \not{3} \\ 1 & 1 & \not{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = |A_{11}| = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1$

4. Schritt: Einsetzen in die Formel:

$det(A) = \sum\limits_{j = 1}^n (-1)^{1 + j} \cdot a_{1j} \cdot det (A_{1j})$

$= (-1)^{1 + 1} \cdot 1 \cdot 0 + (-1)^{1 + 2} \cdot 2 \cdot 3 + (-1)^{1 + 3} \cdot 3 \cdot 1 = -3$

Die Determinante von $A$ beträgt demnach $-3$.

Vorgehensweise bei der Entwicklung der 1. Spalte

1. Schritt: Streichen der 1. Spalte und der 1. Zeile:

$A_{11} = \begin{pmatrix} \not{1} & \not{2} & \not{3} \\ \not{2} & 1 & 3 \\ \not{1} & 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = |A_{11}| = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 0$

2. Schritt: Streichen der 1. Spalte und der 2. Zeile:

$A_{11} = \begin{pmatrix} \not{1} & 2 & 3 \\ \not{2} & \not{1} & \not{3} \\ \not{1} & 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = |A_{11}| = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 3$

3. Schritt: Streichen der 1. Spalte und der 3. Zeile:

$A_{11} = \begin{pmatrix} \not{1} & 2 & 3 \\ \not{2} & 1 & 3 \\ \not{1} & \not{1} & \not{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = |A_{11}| = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 3$

4. Schritt: Einsetzen in die Formel:

$det(A) = \sum\limits_{i = 1}^n (-1)^{i + 1} \cdot a_{i1} \cdot det (A_{i1})$

$= (-1)^{1 + 1} \cdot 1 \cdot 0 + (-1)^{2 + 1} \cdot 2 \cdot 3 + (-1)^{3 + 1} \cdot 1 \cdot 3 = -3$

Die Determinante von $A$ beträgt demnach $-3$.

Beispiel

Gegeben sei die Matrix:  $A =  \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 0\\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 0 \end{pmatrix}$  Berechne die Determinante von $A$.

Entwicklung nach der 4. Spalte (da die meisten Nullen und damit einfacher zu berechnen):

1. Schritt: Streiche 4. Spalte und 1. Zeile:

$A_{14} =  \begin{vmatrix} \not1 & \not2 & \not3 & \not0 \\ 2 & 1 & 3 & \not0\\ 1 & 1 & 3 & \not1 \\ 2 & 3 & 1 & \not0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix}$

Die Determinante muss hier nicht berechnet werden, da das Element der Matrix $a_{14} = 0$ und damit wird der gesamte Term  

$(-1)^{1 + 4} \cdot a_{14} \cdot det(A_{14}) = 0$

Ebenso für: $A_{24}$  und  $A_{44}$.

Für  $A_{34}$  allerdings ist das Element  $a_{34} = 1$  und demnach wird der Term  

$(-1)^{3 + 4} \cdot a_{34} \cdot det(A_{34}) \neq 0$.

2. Schritt: Streiche 4. Spalte und 3. Zeile:

$A_{34} =  \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & \not0 \\ 2 & 1 & 3 & \not0\\ \not1 & \not1 & \not3 & \not1 \\ 2 & 3 & 1 & \not0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix}$

3. Schritt: Anwendung von Sarrus:

$det(A_{34}) = 1 \cdot 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 \cdot 3 + 2 \cdot 2 \cdot 3 - 3 \cdot 1 \cdot 2 - 3 \cdot 3 \cdot 1 - 1 \cdot 2 \cdot 2 = 12$

4. Schritt: Einsetzen in die Formel:

$det(A) =  (-1)^{3 + 4} \cdot a_{34} \cdot det (A_{34}) = (-1)^{3 + 4} \cdot 1 \cdot 12 = -12$

Die Determinante von $A$ beträgt demnach  $-12$.

Elementare Umformungen

Für größere Matrizen empfiehlt sich die Matrix in eine einfachere Form zu bringen. Allerdings haben elementare Umformungen von Matrizen Auswirkungen auf die Determinante. Im Folgenden werden diese Auswirkungen zusammengefasst.

Merke

Folgenden Regeln bei der Umformung von Matrizen sollten bekannt sein und können dadurch eine Berechnung vereinfachen:

  1. Das Tauschen von 2 Spalten führt zum Vorzeichenwechsel der Determinanten.
  2. Die Determinante ist linear in jeder Spalte.
  3. Die Determinante einer Diagonalmatrix ist das Produkt der Diagonalelemente.
  4. Die Determinante einer Matrix mit linear abhängigen Spalten ist stets gleich Null.
  5. Die Determinante ändert sich nicht, wenn man ein Vielfaches einer Zeile oder Spalte zu einer anderen addiert.
  6. Eine Matrix ist nur dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich Null ist.