ZU DEN KURSEN!

Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Diagonalmatrix

Kursangebot | Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra | Diagonalmatrix

Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Diagonalmatrix

In diesem Abschnitt wird die DiagonalMatrix und die Rechenregeln für diese eingeführt.

Als Diagonalmatrix bezeichnet man eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen Null sind. Diagonalmatrizen sind deshalb allein durch die Angabe ihrer Hauptdiagonale bestimmt. Sind dabei alle Zahlen auf der Hauptdiagonalen identisch, so spricht man auch von Skalarmatrizen. Skalarmatrizen sind also skalare Vielfache der Einheitsmatrix.

$E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$     Einheitsmatrix

$A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$     Skalarmatrix

Skalarmatrizen sind also skalare Vielfache der Einheitsmatrix: $A = 3 \cdot E$

$ A =  \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$    Diagonalmatrix

Matrizenaddition bei Diagonalmatrizen

Werden zwei Diagonalmatrizen miteinander addiert, so müssen nur die diagonalen Einträge miteinander addiert werden:

$ A =  \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$     $ B =  \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$   

$A + B =  (3+4, 2+1, 4 + 2) = (7, 3, 6)$

$ A + B =  \begin{pmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$   


Wird eine Matrix $A$ mit einer Diagonalmatrix $D$ addiert, so ändern sich auch hier nur die diagonalen Werte:

$ A =  \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \end{pmatrix}$   $ D =  \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$   

$A + D =  (3+4, 2+1, 4 + 2) = (7, 3, 6)$

$ A + D =  \begin{pmatrix} 7 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 3 \\ 2 & 1 & 6 \end{pmatrix}$   

Die Matrizenaddition ist kommutativ: $A + D = D + A$

MatrizenMultiplikation bei Diagonalmatrizen

Die Multiplikation einer Diagonalmatrix mit einem Skalar wird so durchgeführt, dass nur die diagonalen Einträge mit diesem Skalar multipliziert werden müssen.

$ D =  \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ 

$ 3 \cdot D = 3 \cdot (4, 1, 2) = (12, 3, 6)$

$ 3 \cdot D =  \begin{pmatrix} 12 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$ 


Multiplikation einer Matrix $A$ von links mit einer Diagonalmatrix $D$ entspricht der Multiplikation der Zeilen von $A$ mit den Diagonaleinträgen.

$ A =  \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \end{pmatrix}$   $ D =  \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$   

$A \cdot D = [(3,1,2) \cdot (4,1,2)] \;  [(1,2,3) \cdot (4,1,2)]  \; [(2,1,4) \cdot (4,1,2)] = (12, 1, 4), (4,2, 6), (8, 1, 8) $

$A \cdot D = \begin{pmatrix} 12 & 1 & 4 \\ 4 & 2 & 6 \\ 8 & 1 & 8 \end{pmatrix}$


Die entsprechende Multiplikation von rechts entspricht der Multiplikation der Spalten von $A$ mit den Diagonaleinträgen:

$D \cdot A = [(3,1,2) \cdot (4,1,2)] \;  [(1,2,1) \cdot (4,1,2)]  \; [(2,3,4) \cdot (4,1,2)] = (12, 1, 4), (4,2, 2), (8, 3, 8) $

$D \cdot A = \begin{pmatrix} 12 & 1 & 4 \\ 4 & 2 & 2 \\ 8 & 3 & 8 \end{pmatrix}$

Merke

Die Diagonalmatrix bietet also bei den Berechnungen Vorteile, weil die Rechenschritte sich stark reduzieren. 

Wie eine Matrix in eine Diagonalmatrix überführt werden kann, soll im folgenden Abschnitt gezeigt werden.