Kursangebot | Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra | Eigenwerte

Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Eigenwerte

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Das Eigenwertproblem

Sei $A$ eine quadratische Matrix vom Typ $(m,m)$. 

Das Eigenwertproblem sucht eine Zahl $\lambda$ und einen dazugehörigen Vektor $\vec{x}$ damit:

$Ax = \lambda x$ 

Dabei ist die Zahl $\lambda$ der Eigenwert. Der Vektor $\vec{x} \neq \vec{0}$  ist der Eigenvektor.

Die Gleichung $Ax = \lambda x$ lässt sich folgendermaßen umformen:

$Ax = \lambda x \leftrightarrow Ax − \lambda x = 0 \; \;$ mit $x = Ex$

$\rightarrow(A − \lambda E)x = 0$

Eigenwerte

Die Eigenwerte der Matrix $A$ sind nun die Lösungen der folgenden Gleichung:

$det(A − \lambda E) = 0$  wobei gilt:

$det(A − \lambda E) = \begin{vmatrix} a_{11} - \lambda & a_{12} & ... & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} - \lambda & ... & a_{2m} \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ . & . & . & . \\ a_{m1} & a_{m2} & ... &  a_{mm} - \lambda \end{vmatrix} = P_n(\lambda)$

Das bedeutet, dass  $det(A − \lambda E)$  ein Polynom $n$-ten Grades mit der Variable $\lambda$ darstellt.

Merke

Das Polynom $\chi_n(\lambda)$ nennt man auch: Charakteristisches Polynom

Beispiel

Gegeben sei die folgende Matrix:  $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -4 & 5 \end{pmatrix}$

1. Schritt: Berechnung des charakteristischen Polynoms und Nullsetzen:

$det(A − \lambda E) =  \begin{vmatrix} 3 - \lambda & 0 \\ -4 & 5 - \lambda \end{vmatrix}$

$det(A − \lambda E) = (3 - \lambda) \cdot (5 - \lambda) - 0 \cdot -4$

$= \lambda^2 - 8\lambda + 15 = 0$

2. Schritt: Berechnung der Nullstellen des charakteristischen Polynoms durch Anwendung der p/q-Formel

$p/q-Formel = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$

$= \frac{8}{2} \pm \sqrt{(-\frac{8}{2})^2 - 15}$

$\lambda_1= 4 + \sqrt{1} = 5$

$\lambda_2 = 4 - \sqrt{1} = 3$

$\lambda_1 = 5, \lambda_2 = 3$  sind die Eigenwerte der Matrix $A$.

Merke

Die Lösung der Gleichung  $\chi_n(\lambda) = 0$  sind die Eigenwerte einer Matrix.

Video: Eigenwerte