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Gauß Eliminationsverfahren

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Thermodynamik:
 Am 13.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
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Das Gaußsche Eliminationsverfahren ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen (LGS). Dieses Verfahren beruht darauf, dass elementare Umformungen das Gleichungssystem zwar ändern, aber die Lösung trotzdem erhalten bleibt. Durch die Umformungen wird das Gleichungssystem in ein einfacher zu lösendes LGS überführt.

Zu den elementaren Umformungen zählen:

  • Addition/Subtraktion einer Gleichung zu einer anderen
  • Multiplikation einer Gleichung mit einem Faktor  $\lambda \neq 0$
  • Vertauschen zweier Zeilen
  • Addition/Subtraktion des $\lambda$-Fachen einer Zeilen mit den $\mu$-Fachen einer Spalte.

Lineares Gleichungssystem

Ein lineares Gleichungssystem ist ein System von $m$ linearen Gleichungen mit $n$ Variablen $x_1, x_2, ..., x_n$:

$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n = b_1$

$a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n = b_2$

$...$

$a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ... + a_{mn}x_n = b_n$

In Matrixschreibweise:

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ . \\ . \\ . \\ a_{m1} & a_{m2} & ... & a_{mn} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ . \\ . \\ . \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ . \\ . \\ . \\ b_n \end{pmatrix}$

Vorgehensweise des Gaußschen Eliminationsverfahrens

In einer Matrix  $A$  sucht man die Spalte aus, welche möglichst viele Nullen aufweist und mit einer möglichst einfachen Zahl $\neq 0$.  Mit Hilfe dieser Spalte wird versucht mittels der elementaren Umformungen Nullen zu erzeugen. Dieses Verfahren wird solange angewandt, bis das LGS gelöst werden kann.

Beispiel: Gauß Eliminationsverfahren

Gegeben sei:  $\begin{pmatrix} -1 & 4 & 2 \\ 2 & 8 & 4 \\ 0 & 3 & 1 \\ 3 & 5 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}$

Gauß Eliminationsverfahren
Gauß Eliminationsverfahren

Die letzte Gleichung ist für alle  $x_i = 0$  und wird weggelassen. Das ursprüngliche LSG ist nun ersetzt durch die blau markierten Gleichungen:

(1)  $-x_1 + 4x_2 + 2x_3 = 4$

(2)  $          3x_2 + x_3 = 3$

(3)  $         -8x_2          = -8$

Lösung des LSG:

Dieses LSG kann nun aufgelöst werden (rückwärts):

(3) $x_2 = 1$

(2) $x_3 = 3 - 3x_2$

(1) $x_1 = 4x_2 + 2x_3 - 4$

Einsetzen ergibt dann:

$x_3 = 3 - 3 \cdot 1 = 0$

$x_1 = 4 \cdot 1 + 2 \cdot 0  - 4 = 0$

Dieses LSG hat die eindeutige Lösung: $(0, 1, 0)$

Multiple-Choice
Welche elementaren Umformungen umfasst das Gauß-Eliminationsverfahren nicht?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

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Autor: Jessica Scholz

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Jessica Scholz verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
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    Ein Kursnutzer am 09.12.2014:
    "Waaaaaaaaaaaaaaaaaaahnsinn einfach nur sein Geld wert :D Nur 25€ für solch einen Kurs würden auch reichen ;) wir sind schließlich Studenten und noch keine Akademiker ;-D aber auf jedenfall TOP Immer, wenn ich in der Uni sitze und nichts verstehe und dann an diesen Kurs hier denke, komme ich mir in der Uni richtig dumm vor :-D mir fehlen einfach die Worte Note 1 reicht garnicht :)"

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    Ein Kursnutzer am 13.10.2014:
    "Kurz und kapp,werden die Inhalte (wesentliche und wichtige) verständlich erklärt. "

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    Ein Kursnutzer am 22.08.2014:
    "Hätte ich das nur während dem Abi damals gewusst :D Ich war damals aber auch faul, sehr gut das man hier an den Basics anfängt und Schritt für Schriit nochmal alles erklärt bekommt =)))"

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