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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Invertierbare Matrix

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Invertierbare Matrix

Eine Matrix $\ A $ mit  $n \ x \ n$  Elementen heißt invertierbar, wenn eine Matrix $\ A^{-1}$ mit  $(n \ x \ n)$  Elementen existiert, so dass gilt:

$\ A^{-1} \cdot A = A \cdot A^{-1} = E_n $

$\ A^{-1}$ ist die Inverse Matrix von A. 

Merke

Es existiert genau eine Inverse $A^{-1}$ zu einer invertierbaren Matrix $A$, deren Multiplikation mit $A$ die Einheitsmatrix $E_n$ ergibt. Erfüllt eine Matrix nicht diese Voraussetzung so nennt man diese singulär. 

Zum besseren Verständnis im Folgenden ein Beispiel.

Beispiel

Erstelle die Inverse der Diagonalmatrix mit der Form:
$\ A = \begin{pmatrix} a_1 & 0 & 0 \\ 0 & a_2 & 0 \\ 0 & 0 & a_3  \end{pmatrix}$ 


Damit man eine Einheitsmatrix erhält muss die Inverse $\ A^{-1}$ die Form

$\ A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{a_1} & 0 & 0 \\ 0 &  \frac{1}{a_2} & 0 \\ 0 & 0 &  \frac{1}{a_3}  \end{pmatrix}$ 

haben.  In diesem einfachen Beispiel wurde eine Diagonalmatrix verwendet, da diese immer invertierbar ist. Dies muss aber für andere Matrizen nicht der Fall sein. Zudem ist es relativ selten, dass die Inverse einer ganzzahligen Matrix erneut ganzzahlig wird. 

Berechnung der Inversen mithilfe des Gauß-Jordan Algorithmus

Eine Inverse für kleine Matrizen kann mit Hilfe des Gauß-Jordan Algorithmus bestimmt werden. Hierzu bedient man sich der elementaren Zeilenumformung. 

Beispiel

Erzeuge die Inverse folgender Matrix mit Hilfe der Einheitsmatrix
$\ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 &  1 & 0 \\ 0 & 2 &  1  \end{pmatrix}$, $\ I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 &  1 & 0 \\ 0 & 0 &  1  \end{pmatrix}$

Man beginnt damit die vorhandene Matrix in die Einheitsmatrix zu überführen und führt diese Schritte analog mit der Einheitsmatrix durch, die hierdurch zur Inversen $\ A^{-1}$ von $\ A $ wird. 

1. Subtrahiere den dreifachen Wert der ersten Zeile von der zweiten Zeile:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 &  -5 & -3 \\ 0 & 2 &  1  \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -3 &  1 & 0 \\ 0 & 0 &  1  \end{pmatrix}$

2. Addiere den dreifachen Wert der dritten Zeile zu der zweiten Zeile:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 &  1 & 0 \\ 0 & 2 &  1  \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -3 &  1 & 3 \\ 0 & 0 &  1  \end{pmatrix}$

3.  Subtrahiere den Wert der dritten Zeile von der ersten Zeile:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 &  1 & 0 \\ 0 & 2 &  1  \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -3 &  1 & 3 \\ 0 & 0 &  1  \end{pmatrix}$

4. Subtrahiere den zweifachen Wert der zweiten Zeile von der dritten Zeile:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 &  1 & 0 \\ 0 & 0 &  1  \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -3 &  1 & 3 \\ 6 & -2 &  -5  \end{pmatrix}$

Links steht nur die Einheitsmatrix $\ I_n= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 &  1 & 0 \\ 0 & 0 &  1  \end{pmatrix}$

und rechts die Inverse Matrix $\ A^{-1} =\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -3 &  1 & 3 \\ 6 & -2 &  -5  \end{pmatrix}$.

Mit ein wenig Übung und Probieren lässt sich so die Inverse bestimmen.