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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Matrizen

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Matrizen

Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema, welche aus $m \ x \ n$ Zahlen [Elementen] besteht. Diese sind in $m$-Zeilen [Zeilenvektoren] und $n$-Spalten [Spaltenvektoren] angeordnet. Die allgemeine Form einer Matrix.

Die allgemeine Form einer Matrix ist

$\ A = \begin{pmatrix} a_{11} & .... & a_{1n} \\ .... & .... & .... \\ a_{m1} & .... & a_{mn} \end{pmatrix} = ( a_{ij}), 1\ge i,j \ge m,n $

$\ a_{ij}$ ist ein Element der Matrix, dass in der $i$-ten Zeile und in der $j$-ten Spalte steht. Hierbei steht $i$ für den Zeilenindex und $j$ für den Spaltenindex, $m$ und $n$ jeweils für die Zeilen- und Spaltenzahl der Matrix $A$. 

Man unterscheidet des Weiteren Matrizen, nach ihrer Erscheinungsform: 

Einheitsmatrix [bsp. 3 Zeilen, 3 Spalten]

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Es existiert für jede Größe einer Matrix eine Einheitsmatrix!

(3,2)- Matrix [3-Zeilen, 2 Spalten]

$A = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 3\\  2 & 4 \end{pmatrix}$

(1,3)- Matrix [1-Zeile, 3 Spalten]

$A = \begin{pmatrix}  3 & -7 & 2 \end{pmatrix}$

Quadratische Matrix [Anzahl Zeilen = Anzahl Spalten]

$A = \begin{pmatrix} 1 & 8 \\ 3 & -2  \end{pmatrix}$

Symmetrische Matrix [Anzahl Zeilen (ungerade) = Anzahl Spalten (ungerade)]

$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 3 & 9 & 8 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

Nullmatrix [bsp. 2 Zeilen, 3 Spalten]

$A = \begin{pmatrix}  0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Alle Elemente einer Matrix sind Null.

Transponierte Matrix

Vertauscht man in einer Matrix die Zeilen mit den gleichstelligen Spalten, so entsteht eine transponierte Matrix $\ A^T$ [oder schreibweise A']

$A = (a_{ik})_{m,n} \leftrightarrow A^T = (a_{ki})_{n,m}$.

Beispiel

Transponiere folgenden Matrix $\ A_{3,4} = \begin{pmatrix} 7 & 4 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 7 & 6 \\ 4 & 2 & 9 & 8 \end{pmatrix} $

$A_{3,4} = \begin{pmatrix} 7 & 4 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 7 & 6 \\ 4 & 2 & 9 & 8 \end{pmatrix} \leftrightarrow  A^T = \begin{pmatrix} 7 & 1 & 4  \\ 4 & 0 & 2 \\ 3 & 7 & 9 \\ 5 & 6 & 8 \end{pmatrix}$

Regeln beim Transponieren einer Matrix

  • $\ (A^T)^T  = A $ 
  • $\ (A + B)^T = A^T + B^T $
  • $\ (sA)^T = s \cdot A^T$,   $s$ ist ein Skalar
  • $\ (AB)^T = B^T \cdot A^T $