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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Matrizenmultiplikation

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Matrizenmultiplikation

Merke

Zwei Matrizen können miteinander multipliziert werden, wenn die Spaltenanzahl der 1.Matrix gleich der Zeilenanzahl der 2. Matrix ist. 

Wie bereits im vorherigen Kapitel erwähnt, ist das Matrixprodukt NICHT kommutativ. Wenn Matrix  $A$  mit Matrix  $B$  multipliziert wird, ergibt sich ein anderer Wert, als wenn Matrix  $B$  mit Matrix  $A$  multipliziert wird. Es ist zu beachten, dass zum einen  $AB \neq BA$  zum anderen, dass wenn $AB$ existiert,  $BA$  nicht existieren muss.

Einführung in die Matrtizen

Gegeben sei  $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$  und  $B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \end{pmatrix}$, 

dann ist die Multiplikation der beiden Matrizen wie folgt:

$AB = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} & a_{11}b_{13} + a_{12}b_{23} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} & a_{21}b_{13} + a_{22}b_{23} \end{pmatrix}$

Merke

Bei der Matrizenmultiplikation gilt: Zeile mal Spalte!

Beispiel

Beispiel

Gegeben seien folgende Matrizen:  $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$  und  $B = \begin{pmatrix} 10 & 12 \\ 11 & 14 \end{pmatrix}$.  Berechne  $AB$.

$AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 & 12 \\ 11 & 14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 + 22 & 12 + 28 \\ 40 + 55 & 48 + 70 \\ 70 + 88 & 84 + 112 \end{pmatrix}$

$ = \begin{pmatrix} 32 & 40 \\ 95 & 118 \\ 158 & 196 \end{pmatrix}$

$AB$  liefert ein Ergebnis, da die Spaltenanzahl von  $A$  gleich der Zeilenanzahl von  $B$  ist. Allerdings liefert in diesem Beispiel  $BA$  kein Ergebnis, da die Spaltenanzahl von  $B$  (2 Spalten) nicht gleich der Zeilenanzahl von  $A$  (3 Zeilen)  ist.

Rechenregeln

  1. $(A_1 + A_2) = A_1B + A_2B, \; \; A(B_1 + B_2) = AB_1 + AB_2$

  2. $\alpha(AB) = (\alpha A)B = A(\alpha B)$

  3. $A(BC) = (AB)C$

  4. $EA = AE = A$

Beispiel

Gegeben sei die Matrix  $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$  Berechne  $EA$  sowie  $AE$.

Matrix  $A$  hat 3 Spalten und 2 Zeilen. Um  $EA$  zu berechnen wird eine Einheitsmatrix benötigt, welche 2 Spalten besitzt, denn es gilt: Die Spaltenanzahl der 1. Matrix muss gleich der Zeilenanzahl der 2. Matrix sein (und die Einheitsmatrix stellt in diesem Fall die 1.Matrix dar).

$EA =  \begin{pmatrix} 1 & 0  \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$

Um  $AE$  zu berechnen wird eine Einheitsmatrix benötigt, welche 3 Zeilen besitzt, denn die Einheitsmatrix stellt in diesem Fall die 2. Matrix dar:

$AE =  \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0  \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0& 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$

Merke

Die Einheitsmatrix zeichnet sich dadurch aus, dass ihre Diagonale aus Einsen besteht und die restlichen Elemente Null sind.