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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Matrizenmultiplikation

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Matrizenmultiplikation

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Zwei Matrizen können miteinander multipliziert werden, wenn die Spaltenanzahl der 1. Matrix gleich der Zeilenanzahl der 2. Matrix ist. 

Wie bereits im vorherigen Kapitel erwähnt, ist das Matrixprodukt NICHT kommutativ. Wenn Matrix $A$ mit Matrix $B$ multipliziert wird, ergibt sich ein anderer Wert, als wenn Matrix $B$ mit Matrix $A$ multipliziert wird.

Hinweis

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Bitte beachte, dass wenn $AB$ existiert, $BA$ nicht automatisch existieren muss.

Durchführung der Matrizenmultiplikation

Gegeben seien die Matrizen $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$ und $B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \end{pmatrix}$.

Methode

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Die Multiplikation der beiden Matrizen erfolgt durch:

$AB = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} & a_{11}b_{13} + a_{12}b_{23} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} & a_{21}b_{13} + a_{22}b_{23} \end{pmatrix}$

 

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Bei der Matrizenmultiplikation gilt: Zeile mal Spalte.

Beispiel: Matrizenmultiplikation

Beispiel

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Gegeben seien die Matrizen $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$ und $B = \begin{pmatrix} 10 & 12 \\ 11 & 14 \end{pmatrix}$. Berechne  $AB\,$!

$AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 & 12 \\ 11 & 14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 + 22 & 12 + 28 \\ 40 + 55 & 48 + 70 \\ 70 + 88 & 84 + 112 \end{pmatrix}$

$ = \begin{pmatrix} 32 & 40 \\ 95 & 118 \\ 158 & 196 \end{pmatrix}$

$AB$ liefert ein Ergebnis, da die Spaltenanzahl von $A$ gleich der Zeilenanzahl von $B$ ist. Allerdings liefert in diesem Beispiel $BA$ kein Ergebnis, da die Spaltenanzahl von $B$ (2 Spalten) nicht gleich der Zeilenanzahl von $A$ (3 Zeilen) ist.

Rechenregeln zur Matrizenmultiplikation

  1. $B(A_1 + A_2) = B A_1 + B A_2, \; \; A(B_1 + B_2) = AB_1 + AB_2$

  2. $\alpha(AB) = (\alpha A)B = A(\alpha B)$

  3. $A(BC) = (AB)C$

  4. $EA = AE = A$

Beispiel

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Gegeben sei die Matrix $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$. Berechne $EA$ sowie $AE \,$!

Die Matrix $A$ hat 3 Spalten und 2 Zeilen. Um $EA$ zu berechnen, wird eine Einheitsmatrix benötigt, welche 2 Spalten besitzt. Denn es gilt: Die Spaltenanzahl der 1. Matrix muss gleich der Zeilenanzahl der 2. Matrix sein (und die Einheitsmatrix stellt in diesem Fall die 1. Matrix dar).

$EA = \begin{pmatrix} 1 & 0  \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$

Um $AE$ zu berechnen, wird eine Einheitsmatrix benötigt, welche 3 Zeilen besitzt, denn die Einheitsmatrix stellt in diesem Fall die 2. Matrix dar:

$AE = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0  \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0& 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$

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Die Einheitsmatrix zeichnet sich dadurch aus, dass ihre Diagonale aus Einsen besteht und die restlichen Elemente aus Nullen.