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Die DreiecksUngleichung besagt, dass die Summe zweier Seiten eines Dreiecks mindestens so groß ist wie die andere Dreiecksseite.
Analog dazu: Eine Dreiecksseite ist höchstens so lang wie die Summe der beiden anderen Seiten ist. Es muss hier der Betrag der Längen betrachtet werden:
Methode
mit
$a$ = Länge der Seite a
$b$ = Länge der Seite b
$|a + b|$ = Länge der Seite a+b
Für Vektoren gilt analog:
Methode
Dreiecksungleichung für Vektoren: $|\vec{a}| + |\vec{b}| \ge |\vec{a} + \vec{b}|$
mit
$|\vec{a}| $ = Länge der Seite a
$|\vec{b}|$ = Länge der Seite b
$|\vec{a} + \vec{b}|$ = Länge der Seite a+b
Beweis der Dreiecksungleichung
Der Beweis der Dreiecksungleichung wird wie folgt durchgeführt:
Es gilt:
Wenn $a \le |a|$ und $b \le |b| \;\;\;\;\; \longrightarrow$ (1) $(a + b) \le |a| + |b|$ und
wenn $ -a \le |a|$ und $-b \le |b| \longrightarrow$ (2) $-a + (-b) = -(a + b) \le |a| + |b|$
Für $(a + b)$ und $ -(a + b)$ gilt auch $|a + b|$.
Zusammenfassen von (1) und (2) ergibt: $|a + b| \le |a| + |b|$
Umgekehrte Dreiecksungleichung
$|\vec{a} - \vec{b}| \ge ||\vec{a}| - |\vec{b}||$
Beweis der umgekehrten Dreiecksungleichung
Es gilt: $|\vec{a}| + |\vec{b}| \ge |\vec{a} + \vec{b}| \;\;\;$ (Dreiecksungleichung)
(1) Einsetzen von $\vec{a} = \vec{a} - \vec{b}$:
$|\vec{a} - \vec{b}| + |\vec{b}| \ge |\vec{a} - \vec{b} + \vec{b}|$ = $|\vec{a} - \vec{b}| + |\vec{b}| \ge |\vec{a}|$
(2) Einsetzen von $\vec{b} = \vec{b} - \vec{a}$ :
$|\vec{a}| + |\vec{b} - \vec{a}| \ge |\vec{a} + \vec{b} - \vec{a}|$ = $|\vec{a}| + |\vec{b} - \vec{a}| \ge |\vec{b}|$
Aus (1) folgt: $|\vec{a} - \vec{b}| \ge |\vec{a}| - |\vec{b}|$
Aus (2) folgt: $|\vec{a} - \vec{b}| \ge -(|\vec{a}| - |\vec{b}|)$
Zusammengefasst: $|\vec{a} - \vec{b}| \ge ||\vec{a}| - |\vec{b}||$
Zahlenbeispiel: Dreiecksungleichung
Beispiel
Gegeben seien die drei Punkte $A(2,4)$, $B(-4,3)$ und $C(1,1)$. Bitte zeige, dass die Verbindung von Punkt $B$ über $A$ nach $C$ länger ist als von $B$ nach $C$.
Zunächst einmal werden die Orstvektoren $\vec{a}$, $\vec{b}$ und $\vec{c}$ eingeführt. Dabei zeigt der Vektor $\vec{a}$ vom Ursprung auf den Punkt $A$, der Vektor $\vec{b}$ vom Ursprung auf den Punkt $B$ und der Vektor $\vec{c}$ vom Ursprung auf den Punkt $C$:
Die Ortsvektoren werden wie folgt berechnet:
$\vec{a} = (2,4) - (0,0) = (2,4)$
$\vec{b} = (-4,3) - (0,0) = (-4,3)$
$\vec{c} = (1,1) - (0,0) = (1,1)$.
Es können nun mittels Vektoraddition die Vektoren $\vec{BA}$, $\vec{AC}$ und $\vec{BC}$ bestimmt werden:
$\vec{BA} = \vec{a} - \vec{b} = (2,4) - (-4,3) = (6,1)$
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = (1,1) - (2,4) = (-1,-3)$
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = (1,1) - (-4,3) = (5,-2)$
Diese Vektoren stellen zunächst wieder Ortsvektoren dar, die vom Ursprung auf die Punkt (6,1), (-1,-3) und (5,-2) zeigen. Diese werden dann parallel zu sich selbst in die Punkte verschoben. Es ergibt sich das folgende Bild:
In der obigen Grafik sind die Ortsvektoren (gestrichelte Vektoren) eingezeichnet, welche auf die entsprechenden Punkte zeigen. Werden diese nun parallel zu sich selbst in die Punkte $A$, $B$, und $C$ verschoben, so sieht man deutlich, dass diese die Vektoren zwischen den Punkten darstellen. Es kann als nächstes die Länge der Vektoren bestimmt werden und dadurch die Dreiecksungleichung gezeigt werden:
$|\vec{BA}| + |\vec{AC}| \ge |\vec{BC}|$
$|\vec{BA}| = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{37}$
$|\vec{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{10}$
$|\vec{BC}| = \sqrt{5^2 + (-2)^2} = \sqrt{29}$
$\sqrt{37} + \sqrt{10} \ge \sqrt{29}$
$9,25 \ge 5,39$
Die Ungleichung ist erfüllt. Die zwei Dreiecksseiten sind länger als die direkte Verbindung.
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