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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Geraden im Raum

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Geraden im Raum

Geraden können mittels Parameterdarstellung durch Vektoren abgebildet werden. 

Gerade durch den Ursprung

Eine Gerade durch den Koordinatenursprung wird allgemein definiert als:

Methode

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$G: \vec{x} = t \cdot \vec{v}$ 

mit

$t \in \mathbb{R}$ = Parameter

$\vec{v}$ = Richtungsvektor


Die Gerade mit obiger Gleichung verläuft dabei durch den Nullpunkt. Der Richtungsvektor $\vec{v}$ zeigt dabei die Richtung der Geraden an, der Parameter $t$ die Länge der Geraden. In der folgenden Grafik ist der Richtungsvektor $\vec{v} = \{1,3,0\}$ zu sehen. Wir haben $x_3 = 0$ gesetzt, damit wir den Sachverhalt zweidimensional veranschaulichen können.

Geraden im Raum

Die Richtung der Geraden ist somit bestimmt. Diese verläuft in Richtung des Richtungsvektors $\vec{v}$. Da der Parameter $t \in \mathbb{R}$ ist, verläuft die Gerade sowohl nach oben als auch nach unten unbeschränkt, je nachdem welche Werte $t$ annimmt. Häufig wird ein Intervall für $t$ angegeben.


Als Beispiel sei $t \in [0,2]$. 

$\vec{v} = 0 \cdot (1,3,0) = (0,0,0)$

$\vec{v} = 2 \cdot (1,3,0) = (2,6,0)$

Geradengleichung

Es wurden hier die beiden äußeren Intervallpunkte gewählt und miteinander verbunden. $t$ kann aber alle Werte von 0 bis 2 annehmen. Für die Bestimmung der Geraden reicht es jedoch aus, die Endpunkte miteinander zu verbinden.

Die Gerade verläuft also vom Ursprung in Richtung des Richtungsvektors bis zum Punkt (2,6,0).

Gerade durch einen Vektor

Häufig sind Geraden gegeben, welche nicht durch den Ursprung verlaufen, sondern durch den Endpunkt eines Vektors. Dies ist der Fall bei der folgenden Geradengleichung:

Methode

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$G: \vec{x} = \vec{a} + t \cdot \vec{v}$

mit

$\vec{a}$ = Ortsvektor

$t \in \mathbb{R}$ = Parameter

$\vec{v}$ = Richtungsvektor

Damit die obige Gerade nicht durch den Ursprung verläuft müssen die folgenden Bedingungen erfüllt sein:

  • $\vec{a}$ muss ungleich null sein.
  • $\vec{a}$ und $\vec{v}$ dürfen nicht in die gleiche Richtung weisen.

Sind diese Bedingungen erfüllt, so verläuft die obige Gerade nicht durch den Ursprung, sondern durch den Endpunkt des Ortsvektors $\vec{a}$. Wie diese Gerade eingezeichnet wird, siehst du in der nachfolgenden Grafik.

Geraden im Raum

Der Vektor $\vec{a}$ ist ein Ortsvektor, geht also durch den Ursprung und zeigt auf den Punkt (2,1,0). Der Richtungsvektor $\vec{v}$ wird zunächst ebenfalls vom Ursprung auf den Punkt (1,3,0) eingezeichnet und dann (ohne die Richtung zu verändern) mit dem Fuß an die Spitze des Ortsvektors $\vec{a}$ verschoben (grafische Vektoraddition). Die Gerade verläuft wieder durch den Richtungsvektor $\vec{v}$ und durch die Spitze des Ortsvektors $\vec{a}$. Du erkennst deutlich, dass die Gerade nicht durch den Ursprung verläuft.

 

Hinweis

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In den folgenden Abschnitten betrachten wir jeweils zwei Geraden und zeigen ihre Lagemöglichkeiten zueinander auf. In einem dreidimensionalen Raum existieren für zwei Geraden vier Lagemöglichkeiten:

  • Die Geraden sind identisch.
  • Die Geraden sind echt parallel.
  • Die Geraden schneiden sich in einem Punkt.
  • Die Geraden sind windschief zueinander.

Außerdem berechnen wir den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden sowie den Abstand zwischen zwei Geraden!