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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Skalieren von Vektoren

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Skalieren von Vektoren

Die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl nennt man Skalierung eines Vektors. Das Produkt ist wiederum ein Vektor, der entsprechend des mit ihm multiplizierten Wertes

  • länger $\longrightarrow (2 \cdot \vec{a})$,
  • kürzer $\longrightarrow (0,5 \cdot \vec{a})$ oder sogar
  • in entgegengesetzter Richtung $\longrightarrow (-0,5 \cdot \vec{a})$

neu abgebildet wird.

Vektor, skalieren, Skalar
Skalieren von Vektoren

 

In der obigen Grafik ist deutlich zu erkennen, dass ein Vektor $\vec{a}$ multipliziert mit einem Skalar größer $1$ (z. B. $2$) länger wird.

Wird ein Vektor hingegen mit einem Skalar zwischen $0$ und $-1$ multipliziert, so verkürzt sich dieser und zusätzlich ändert sich seine Richtung um 180°.

Bei der Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar zwischen $0$ und $1$ verkürzt sich die Länge des Vektors, seine Richtung bleibt hingegen gleich.

Bei der Multiplikation mit einem Skalar kleiner $-1$ verlängert sich der Vektor und seine Richtung ändert sich um 180°. Der Vektor wird dann genau entgegengesetzt eingezeichnet.

Beispiel: Skalieren von Vektoren

Beispiel

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Wir betrachten den Vektor $\vec{a} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 6 \end{array}\right)$.

Berechne:

a) $2,5 \vec{a}$

b) $-1,25 \vec{a}$

c) $0,75 \vec{a}$

d) $-0,5 \vec{a}$

a) 

$2,5 \vec{a} = 2,5 \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 6 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 2,5 \cdot 4 \\ 2,5 \cdot 6 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 10 \\ 15 \end{array}\right)$

Der Ausgangsvektor verlängert sich und behält seine Richtung bei.

b)

$-1,25 \vec{a} = -1,25 \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 6 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} -1,25 \cdot 4 \\ -1,25 \cdot 6 \end{array}\right)  = \left( \begin{array}{c} -5 \\ -7,5 \end{array}\right)$

Der Ausgangsvektor verlängert sich und ändert seine Richtung im 180°.

c) 

$0,75 \vec{a} = 0,75 \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 6 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 0,75 \cdot 4 \\ 0,75 \cdot 6 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 4,5 \end{array}\right)$

Der Ausgangsvektor verkürzt sich und behält seine Richtung bei.

d)

$-0,5 \vec{a} = -0,5 \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 6 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} -0,5 \cdot 4 \\ -0,5 \cdot 6 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -3 \end{array}\right)$

Der Ausgangsvektor verkürzt sich um die Hälfte und ändert seine Richtung um 180°.