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Die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl nennt man Skalierung eines Vektors. Das Produkt ist wiederum ein Vektor, der entsprechend des mit ihm multiplizierten Wertes
- länger $\longrightarrow (2 \cdot \vec{a})$,
- kürzer $\longrightarrow (0,5 \cdot \vec{a})$ oder sogar
- in entgegengesetzter Richtung $\longrightarrow (-0,5 \cdot \vec{a})$
neu abgebildet wird.
In der obigen Grafik ist deutlich zu erkennen, dass ein Vektor $\vec{a}$ multipliziert mit einem Skalar größer $1$ (z. B. $2$) länger wird.
Wird ein Vektor hingegen mit einem Skalar zwischen $0$ und $-1$ multipliziert, so verkürzt sich dieser und zusätzlich ändert sich seine Richtung um 180°.
Bei der Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar zwischen $0$ und $1$ verkürzt sich die Länge des Vektors, seine Richtung bleibt hingegen gleich.
Bei der Multiplikation mit einem Skalar kleiner $-1$ verlängert sich der Vektor und seine Richtung ändert sich um 180°. Der Vektor wird dann genau entgegengesetzt eingezeichnet.
Beispiel: Skalieren von Vektoren
Beispiel
Wir betrachten den Vektor $\vec{a} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 6 \end{array}\right)$.
Berechne:
a) $2,5 \vec{a}$
b) $-1,25 \vec{a}$
c) $0,75 \vec{a}$
d) $-0,5 \vec{a}$
a)
$2,5 \vec{a} = 2,5 \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 6 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 2,5 \cdot 4 \\ 2,5 \cdot 6 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 10 \\ 15 \end{array}\right)$
Der Ausgangsvektor verlängert sich und behält seine Richtung bei.
b)
$-1,25 \vec{a} = -1,25 \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 6 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} -1,25 \cdot 4 \\ -1,25 \cdot 6 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} -5 \\ -7,5 \end{array}\right)$
Der Ausgangsvektor verlängert sich und ändert seine Richtung im 180°.
c)
$0,75 \vec{a} = 0,75 \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 6 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 0,75 \cdot 4 \\ 0,75 \cdot 6 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 4,5 \end{array}\right)$
Der Ausgangsvektor verkürzt sich und behält seine Richtung bei.
d)
$-0,5 \vec{a} = -0,5 \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 6 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} -0,5 \cdot 4 \\ -0,5 \cdot 6 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} -2 \\ -3 \end{array}\right)$
Der Ausgangsvektor verkürzt sich um die Hälfte und ändert seine Richtung um 180°.
