ZU DEN KURSEN!

Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Windschiefe Geraden

Kursangebot | Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra | Windschiefe Geraden

Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Windschiefe Geraden

Inhaltsverzeichnis

Geraden werden als windschief bezeichnet, wenn sie sich weder schneiden noch parallel zueinander sind. Im zweidimensionalen Raum sind zwei Geraden entweder parallel zueinander (bzw. identisch) oder schneiden sich. Windschiefe Geraden können als nur in mindestens dreidimensionalen Räumen auftreten.

Die Voraussetzungen für windschiefe Geraden sind:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen
  1. Die Richtungsvektoren der Geraden sind nicht Vielfache voneinander.
  2.  Die Geraden schneiden sich nicht.

Zum besseren Verständnis folgt ein Beispiel zum Nachweis von windschiefen Geraden.

Beispiel: Windschiefe Geraden

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

Gegeben seien die beiden Geraden:

$g : \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right) + t_1 \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right) $

$h : \vec{x} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -2 \end{array}\right) + t_2 \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) $

Zeige, dass die beiden Geraden windschief zueinander sind!

Wir müssen zunächst zeigen, dass die beiden Geraden nicht linear abhängig voneinander sind.

Dazu betrachten wir die beiden Richtungsvektoren:

$\left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right) = \lambda \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) $

 

Wir stellen das lineare Gleichungssystem auf:

(1) $0 = - \lambda$

(2) $-2 = \lambda$

(3) $1 = 2 \lambda$

Sind alle $\lambda$ gleich, so handelt es sich um linear abhängige Vektoren und damit sind diese parallel (oder sogar identisch).

(1) $\lambda = 0$

(2) $\lambda = -2$

(3) $\lambda = \frac{1}{2}$

Die Vektoren sind linear voneinander unabhängig, weil in den Zeilen nicht immer derselbe Wert für $\lambda$ resultiert.

Die beiden Geraden sind demnach nicht parallel. Entweder schneiden sie sich in einem Punkt oder sie sind windschief zueinander.

Wir prüfen, ob ein Schnittpunkt vorliegt, indem wir beiden Geraden gleich setzen:

$\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right) + t_1 \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -2 \end{array}\right) + t_2 \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) $

Wir stellen das lineare Gleichungssystem auf:

(1) $2 + 0 t_1 = 1 - t_2$

(2) $-1 -2 t_1 = 0 + t_2$

(3) $3 + t_1 = -2 + 2 t_2$

Aus (1) kann sofort $t_2$ bestimmt werden:

(1) $t_2 = -1$

Einsetzen in (2):

(2) $-1 -2 t_1 = 0 + (-1)$

$2t_1 = 0$

$t_1 = 0$

Damit die Geraden nun einen Schnittpunkt haben, muss die Gleichung (3) eine Lösung haben. Zur Überprüfung setzen wir die Ergebnisse in die Gleichung (3) ein:

(3) $3 +0 = -2 + 2 \cdot (-1)$

$3 = -4$

Diese Aussage ist falsch, damit besitzen die beiden Geraden keinen Schnittpunkt. Damit sind $g$ und $h$ windschief zueinander!