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Maschinenelemente 1 - Bestimmung und Berechnung der Normalspannungen bei Biegung

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Maschinenelemente 1

Bestimmung und Berechnung der Normalspannungen bei Biegung

In diesem Abschnitt werden die durch reine Biegung oder Querkraft-Biegung verursachten Normalspannungen $\sigma$ aufgeführt. 

Normalspannungen

In Bezug auf Beanspruchungen gilt, dass einem äußeren Moment innere Spannungen entgegen wirken. Bevor wir nun mit deren Bestimmung beginnen, treffen wir zuvor zwei Annahmen

  • Annahme nach Bernoulli: Die Querschnitte bleiben bei einer Verformung eben.
  • Annahme nach St. Vernant: Die Krafteinleitungsstelle darf nicht direkt neben einer Einspannung liegen, dh. es muss ein Abstand eingehalten werden. 

Aus diesen Annahmen können wir ableiten, dass die Normalspannungen über die Querschnitthöhe des Trägers als linear verteilt angenommen werden. 

Merke

Exkurs Technische Mechanik:

Das Verhältnis für die Biegung von Höhe zu frei hängenden Bereich muss 1 zu 5 sein, damit es nicht zur Knickung kommt. 
$\rightarrow l \ge 5 \cdot h $

In der nächsten Abschnitt ist ein Balken mit quadratischem Querschnitt unter reiner Biegung veranschaulicht.:

Reine Biegung - Querschnitt

Die neutrale Faser verläuft mittig, da der Schwerpunkt des Balkens mit quadratischen Querschnitt genau in der Mitte liegt. Der Verlauf der Normalspannungen wird in der folgenden Grafik veranschaulicht:

Reine Biegung - Spannungsmaximum

Das Spannungsmaximum $\sigma_{max}$ und das Spannungsminimum $\sigma_{min}$ findet man wegen der linearen Verteilung dort, wo der Abstand zur neutralen Faser (die durch den Schwerpunkt festgelegt ist) am größten ist. Die neutrale Faser befindet sich bei dem obigen Balken in der Mitte (Schwerpunkt liegt ebenfalls in der Mitte, da der Balken eine quadratische Fläche aufweits). Das Spannungsmaximum bzw. -minimum befindet sich also an den Rändern. Zudem erfährt der Balken durch die reine Biegung nach oben eine Stauchung an der Oberseite und eine Dehnung an der Unterseite (der Balken wird an den Enden nach oben gebogen).

Die Gleichung für die Spannung ist bei reiner Biegung und Querkraftbiegung formal beschrieben durch:

Merke

Spannung: $\sigma_x(z) = \frac{M_b}{I_y} \cdot z $

Dabei steht $ I_y $ für das Flächenträgheitsmoment des Querschnitts.

Es zeigt sich, dass an der Stelle $ z = z_1 $ die höchsten Beanspruchungen durch Biegung auftreten. Bei einem positiven Biegemoment gilst dann für die maximale Spannung:

Merke

Maximale Spannung: $\sigma_{max} = \frac{M_b}{I_y} \cdot z_1 $

und für die minimale Spannung:

Merke

Minimale Spannung: $\sigma_{min} = \frac{M_b}{I_y} \cdot z_2 $ 

Widerstandsmoment

Da in den meisten Fällen nur die größte Beanspruchung von Interesse ist, wird zur Vereinfachung oft der Begriff Widerstandsmoment $W_b$ verwendet. Das Widerstandsmoment setzt das Flächenträgheitsmoment $I$ ins Verhältnis zum maximalen senkrechten Abstand $z_{max}$ der Randfaser (Querschnittsrand) zur neutralen (spannungsfreien) Faser. In der Randfaser treten die gesuchten maximalen Bauteilbeanspruchungen auf.

Merke

$W_b = \frac{I_y}{z_{max}}$

Als Widerstandsmoment ist eine allein aus der Geometrie (Form und Maße) eines Balkenquerschnitts abgeleitete Größe. Sie ist ein Maß dafür, welchen Widerstand ein Balken bei Belastung der Entstehung innerer Spannungen entgegensetzt.

Die allgemeine Gleichung für eine Beanspruchung ist:

Merke

$\sigma_b = \frac{M_b}{W_b} [\frac{N}{mm^2}] $

Flächenträgheitsmoment 2. Ordnung

Das Flächenträgheitsmoment 2. Ordnung in Bezug auf die y-Achse ist definiert als

Merke

Flächenträgheitsmoment 2. Ordnung: $ I_y = \int_A z^2 dA = \int_a \int z^2 dy dz $

Das Trägheitsmoment wird groß [wegen $ z^2 $], wenn konstruktiv die Flächen nach außen verlagert sind und dabei der Materialaufwand konstant bleibt. Für beinahe alle geometrischen Figuren sind Trägheitsmoment I und Widerstandsmoment W in Tabellenwerken des Maschinenbaus angegeben, weshalb eine Berechnung meistens überflüssig wird.

In der nächsten Abbildung sehen Sie einige Balkenprofile, sortiert nach ansteigendem Widerstandsmoment $ W_b $ 

Balkenprofile
Balkenprofile

Man setzt voraus, dass $ A $ konstant ist, also auch Material, Kosten und Gewicht konstant sind. Man sieht in der Abbildung, dass das Material im Bereich der neutralen Faser [blaue Linie] entfernt werden darf, ohne dass es zu Stabilitätsverlusten führt. 

Anwendungsbeispiel: Reine Biegung

Reine Biegung Beispiel

Beispiel

Gegeben sei der obige Balken mit symmetrischen trapezförmigen Querschnitt. Der Balken ist fest eingespannt. Es soll das Widerstandsmoment und die maximale sowie minimale Normalspannung bestimmt werden.

Zunächst wird der Balken freigeschnitten:

Reine Biegung - Freischnitt

Es folgt nun zunächst die Bestimmung der Lagerkräfte. Die Einspannung ist ein dreiwertiges Lager (siehe obige Grafik). Die Lagerkräfte werden am ungeschnittenen Balken mittels der drei Gleichgewichtsbedingungen bestimmt;

$\rightarrow : A_x = 0$

$\uparrow : A_z = 0$

$\curvearrowleft A : -M_A + M = 0 \; \rightarrow M_A = M = 30 Nm$.

Es ist deutlich zu erkennen, dass die vertikale und horizontale Lagerkraft Null wird, da auf den Balken keine Vertikal- und Horizontalkräfte wirken. Es wirken also nur Momente.


Es wird nun ein Schnitt durch den Balken durchgeführt und die Schnittgrößen angetragen:

Reine Biegung - Schnittgrößen

Linkes Schnittufer:

$\rightarrow N = 0$

$\uparrow -Q = 0$

$\curvearrowleft M_l - M_A = 0 \; \rightarrow M_l = M_A = 30 Nm$


Rechtes Schnittufer:

$\rightarrow -N = 0$

$\uparrow Q = 0$

$\curvearrowleft -M_r + M_A = 0 \; \rightarrow M_r = M_A = 30 Nm$

Es ist deutlich zu sehen, dass das Biegemoment über die gesamte Balkenlängsachse konstant ist. Es handelt sich hier also um reine Biegung. Es treten weder Normalkräfte noch Querkräfte auf. Die maximale Normalspannung lässt sich berechnen durch:

Merke

$\sigma_x = \frac{M_b}{W_y} $ 

mit $\ W_y = \frac{I_y}{z_{max}} $

Zunächst muss das Widerstandsmoment bestimmt werden:

$\ W_y = \frac{I_y}{z_{max}} $

Das Fächenträgheitsmoment $I_y$ für ein symmetrisches Trapez kann Tabellenwerken entnommen werden:

$I_y = (1,5m)^3 \frac{(1m + 0,5m)^2 + (2 \cdot 0,5m \cdot 1m)}{36 \cdot (1m + 0,5m)}$

$I_y = 0,203 m^4$

Nachdem nun das Flächenträgheitsmoment bestimmt worden ist, wird als nächstes der Abstand der neutralen Faser für die gilt $\sigma_x = 0$ zum Rand hin benötigt. Die neutrale Faser verläuft durch den Schwerpunkt. Es muss demnach zunächst noch der Schwerpunkt des Trapezes bestimmt werden (kann ebenfalls Tabellenwerken entnommen werden). Der Schwerpunkt befindet sich (ausgehend vom oberen Rand zum Schwerpunkt hin) bei

$z_s = \frac{1,5m}{3} \cdot \frac{1 m + 2 \cdot 0,5m}{1m + 0,5 m} = 0,67 m$.

Der Abstand der neutralen Faser (welche durch den Schwerpunkt verläuft) hin zum oberen Rand beträgt also 0,67 m und zum unteren Rand $1,5m - 0,67 m = 0,83 m$.

Das Widerstandsmoment beträgt also (Berücksichtigung der maximalen Normalspannung):

$\ W_y = \frac{0,203 m^4}{0,83 m} = 0,245 m^3$

Die maximale Spannung ist bei positiven Biegemoment $M_b = 30 Nm$ am unteren Rand zu finden. Es muss also der Abstand der neutralen Faser zum unteren Rand berücksichtigt werden.

Die maximale Spannung ergibt sich dann zu:

$\sigma_{max} = \frac{M_b}{I_y} \cdot z_1 $

$\sigma_{max} = \frac{30 Nm}{0,203 m^4} \cdot 0,83 m = 122,66 \frac{N}{m^2}$


Die minimale Spannung ergibt sich zu:

$\sigma_{max} = \frac{M_b}{I_y} \cdot z_2 $

$\sigma_{max} = \frac{30 Nm}{0,203 m^4} \cdot 0,67 m = 99, 01 \frac{N}{m^2} $