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Maschinenelemente 1

Bestimmung und Berechnung der Schubkraft bei Biegung

Bei reiner Biegung treten nur die im vorherigen Abschnitt gezeigten Normalspannungen $\sigma$ auf. Bei Querkraft-Biegung treten neben den im vorherigen Abschnitt gezeigten Normalspannungen $sigma$ zusätzlich noch Schubspannungen $\tau$ auf. Da auch hier nur die größte Beanspruchung von Interesse ist, verwendet man den Begriff Widerstandsmoment. Im Folgenden werden wir zuerst die möglichen Folgen einer Schubbeanspruchung visualisieren.

Schubspannungen am mehrschichtigen Balken
Schubspannungen am mehrschichtigen Balken

Auf der Abbildung sehen Sie, dass Verschiebungen entstehen, die man aber durch Schubspannungsüberträger verhindern kann. Als Schubspannungsüberträger dienen Kleber, Leim, Nägel, usw. 

Da sich die Berechnung unterschiedlicher Profile auch unterschiedlich gestaltet, haben wir exemplarisch für drei unterschiedliche Profile, sowohl das Belastungsdiagramm gezeichnet, als auch die Gleichung für die maximale Schubspannung $\tau_{max}$ aufgestellt

Profile unter Schubbeanspruchung

Im Maschinenbau/Konstruktionsbau verwendete Profile
Im Maschinenbau/Konstruktionsbau verwendete Profile

 

Vierkantprofil mit Rechteckquerschnitt

Skizze:

Vierkantprofil
Vierkantprofil

Diagramm:

Vierkantprofil inkl. Spannungsdiagramm
Vierkantprofil inkl. Spannungsdiagramm

Gleichung:


$\tau_{s max} = \frac{3}{2} \cdot \frac{Q(x)}{b \cdot h} $

Rundprofile mit Kreisquerschnitt

Skizze:

Rundprofil
Rundprofil

Diagramm:

Rundprofil inkl. Spannungsdiagramm
Rundprofil inkl. Spannungsdiagramm

Gleichung:

$\tau_{s max} = \frac{4}{3} \cdot \frac{Q(x)}{\pi \cdot r^2} $

T-Querschnitt

Doppel-T-Träger
Doppel-T-Träger

Skizze:

T-Profil
T-Profil

Diagramm:

T-Profil inkl. Spannnungsdiagramm
T-Profil inkl. Spannungsdiagramm

Gleichung:

$\tau_{s max} = \frac{Q(x)}{t \cdot h_m} $

Materialreduzierung

Oft ist es möglich bei annähernd gleichbleibender Stabilität und Festigkeit Material aus einem Balken oder Maschinenbauteil zu entfernen.

Reduzierung vom Material am Balken
Reduzierung vom Material am Balken

Bevor jedoch wahllos Material entfernt wird und das Bauteil unzählige Löcher oder Schlitze aufweist, müssen einige Regeln beachtet werden:

  • Der Schubverband (siehe oben) muss in jedem Fall erhalten bleiben,
  • Ein Maximalwert in Bezug auf die Schwächungen infolge von Löcher und Schlitzen darf nicht überschritten werden. 
  • Die höchsten Schubbeanspruchungen treten im Bereich der neutralen Faser auf, daher diesen Bereich meiden.
  • Im Bereich der Außenfaser ist die Schubspannung Null, weshalb hier reduziert werden sollte. 

Für schlanke Biegeträger im Verhältnis $\frac{l}{h} > 5 $ können Schubspannungen und Schubverformungen normalerweise vernachlässigt werden. Im Bereich von kurzen Balken unter Biegung kann insbesondere die Verformung ( < 3 %) zu Problemen in der Funktionalität führen. 

Abschätzung der Schubspannung

Um die Schubspannungen insbesondere bei Bolzen, Stiften, oder kurzen Wellen und Achsen abschätzen zu können, berechnet man eine mittlere Schubspannung und vergleicht diese dann anschließend mit der Scherfestigkeit des Materials. 

$\tau_s = \frac{F}{A} = \frac{F \cdot 2}{\pi \cdot d^2} [ \frac{N}{mm^2}] \le \tau_{zul} $

Schubspannung und Scherflächen
Schubspannung und Scherflächen

Scherflächen: $ A = 2 \cdot \frac{\pi \cdot d^2}{4} $