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Maschinenelemente 1

Gestaltänderungenergieshypothese

Die letzte Festigkeitshypothese, die im Rahmen dieses Kurse betrachtet wird, ist die Gestaltänderungsenergiehypothese. Die Gestaltänderungsenergiehypothese wird zur Beurteilung des Versagens durch Fließen bei plastisch-verformbaren Werkstoffen angewendet und wurde hauptsächlich von dem österreichischen Mathematiker Mises entwickelt. Es gilt wieder $\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3$ (siehe Grafik). Die Vergleichspannung lässt sich dann berechnen berechnen mit:

Methode

$\sigma_v = \sqrt{\frac{1}{2}[(\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2]}$

oder

Methode

$\sigma_v = \sqrt{[\frac{1}{2} (\sigma_x - \sigma_y)^2 + (\sigma_y - \sigma_z)^2 + (\sigma_z - \sigma_x)^2 + 6 (\tau_{xy}^2 + \tau_{yz}^2 + \tau_{zx}^2)]} $

Merke

Gegenüber der Hauptschubspannungshypothese liegt die Gestaltänderungsenergiehypothese näher an experimentellen Ergebnissen und ermöglicht eine konkretere Beurteilung des Verhaltens.  

 

Mohrscher Spannungskreis Hauptspannungen
Mohrscher Spannungskreis: Hauptspannungen

Für den ebenen Spannungszustand reduziert sich die Gestaltänderungshypothese zu

Methode

$\sigma_v = \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - \sigma_1\sigma_2}$.

bzw.

Methode

$\sigma_v = \sqrt{\sigma_x^2 + \sigma_y^2 - \sigma_x\sigma_y + 3\tau_{xy}^2}$.

Beanspruchung Beispiele

Ausgehend von

$\sigma_v = \sqrt{\sigma_x^2 + \sigma_y^2 - \sigma_x\sigma_y + 3\tau_{xy}^2}$.

1. Szenario: Reine Normalspannung (Zugversuch)

$\sigma_y = 0 $

$\tau_{xy} = 0 $

$\sigma_v = \sigma_x $

2. Szenario: Biege- und Schubspannungen (70% aller Fälle)

$\sigma_y = 0 $

$\sigma_v = \sqrt{\sigma_x^2 + 3 \tau_{xy}^2}$

3. Szenario: Reine Torsionsbeanspruchung

$\sigma_x = \sigma_y = 0 $ 

$\sigma_v = \sqrt{3} \tau_{xy} $

Merke

Die Gestaltänderungsenergiehypothese hat sich als bedeutendste Hypothese für fließfähige Werkstoffe bewährt. Zudem eignet sie sich zur Beurteilung von Dauerbeanspruchungen.