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Regelungstechnik - Frequenzgang aus Differenzialgleichung

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Regelungstechnik

Frequenzgang aus Differenzialgleichung

Nun erklären wir Dir, wie man den Frequenzgang aus einer Differenzialgleichung eines Übertragungselements bestimmt. Dabei stellen wir in den kommenden beiden Kurstexten zwei Fälle vor. 

  1. Frequenzgang einer Differenzialgleichung eines linearen Regelkreiselelements
  2. Frequenzgang einer Differentialgleichung bei Anregung mit harmonischen Schwingungen.

Frequenzgang einer Differenzialgleichung eines linearen Regelkreiselelements


Wir erinnern uns, die Differenzialgleichung eines linearen Regelkreiselements lautet:

Methode

Hier klicken zum AusklappenDifferenzialgleichung 1. Ordnung:

$ T_1 \cdot \frac{d x_a}{dt} + x_a = x_e $

Zudem kennen wir bereits die Gleichungen für das Eingangs- und Ausgangssignal:

Methode

Hier klicken zum AusklappenEingangssignal:

$ x_e(j\omega) = \hat{x}_e \cdot e^{j\omega t} $

Methode

Hier klicken zum AusklappenAusgangssignal:

$ x_a(j\omega) = \hat{x}_a \cdot e^{j(\omega t + \rho(\omega))}$

Und wir können problemlos die Ableitung von der Gleichung des Ausgangssignal bilden:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen1. Ableitung Ausgangssignal:

$ \frac{d}{dt} (x_a(j \omega)) = j \omega \cdot \hat{x}_a (\omega) \cdot e^{j (\omega t + \rho(\omega))} $

Nun haben wir mit den Gleichungen von $ x_e(j\omega), x_a(j \omega) $ und $ \frac{d}{dt} (x_a(j \omega)) $ alle notwendigen Angaben um unsere Differenzialgleichung auszufüllen.

$ T_1 \cdot \frac{d x_a}{dt} + x_a = x_e $

$ \Longrightarrow $

$ T_1 \cdot ( j \omega \cdot \hat{x}_a (\omega) \cdot e^{j (\omega t + \rho(\omega))}) + (\hat{x_a} \cdot e^{j(\omega t + \rho(\omega))}) = \hat{x_e} \cdot e^{j\omega t}$

Mit dem Wissen, dass $ x_a(j \omega) = \hat{x}_a (\omega) \cdot e^{j(\omega t + \rho (\omega))}$, können wir unsere Differenzialgleichung weiter zusammenfassen:

$ x_a(j \omega) \cdot ( j \omega \cdot T_1 + 1) = x_e(j \omega) $

Nun lösen wir die Differezialgleichung nach $ x_a( j \omega )$ auf und erhalten:

$ x_a (j \omega) = \frac{ x_e (j \omega)}{1 + j\omega \cdot T_1} $

Nun können wir auch problemlos den Frequenzgang $ F (j \omega) $ bestimmen, denn wir wissen, dass sich dieser aus dem Quotienten von $ x_a (j \omega) $ und $ x_e ( j \omega) $ ergibt.

Methode

Hier klicken zum AusklappenFrequenzgang:

$F (j \omega) = \frac{x_a ( j \omega)}{x_e (j \omega)} = \frac{ 1}{ 1 + j\omega \cdot T_1 } $

Also gilt $ F (j \omega) = \frac{ 1}{ 1 + j\omega \cdot T_1 } $ für die gegebene Differenzialgleichung.

Im letzten Schritt möchten wir natürlich auch noch wissen, wie es sich mit dem Betrag und der Phase des Frequenzgangs verhält und können dies auch ganz einfach aus unseren bisherigen Ergebnissen ermitteln:

Methode

Hier klicken zum AusklappenBetrag des Frequenzgangs:

$ | F (j \omega) | = \frac{1}{\sqrt{ 1 + \omega^2 \cdot T_1^2}} $

Methode

Hier klicken zum AusklappenPhase des Frequenzgangs:

$ tan \rho (\omega) = \frac{Im \{F (j \omega)\}}{ Re \{F ( j \omega)\}} = - \omega \cdot T_1 $