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Technische Mechanik 3: Dynamik - Prinzip von d'Alembert

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Technische Mechanik 3: Dynamik

Prinzip von d'Alembert

Inhaltsverzeichnis

Im vorangegangenen Abschnitt ist das Inertialsystem eingeführt worden. Dabei gilt innerhalb der Inertialsysteme das 1. Newtonsche Gesetz. Körper innerhalb von Inertialsystemen sind demnach kräftefrei, befinden sich also entweder in Ruhe oder bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit (unbeschleunigte Bewegung). 

In diesem Abschnitt soll das d'Alembertsche Prinzip aufgezeigt werden. Das Prinzip von d'Alembert (1717-1783) besagt, dass die Summe aller an dem Schwerpunkt eines Körper angreifenden Käfte (einschließlich der Trägheitskraft) gleich Null ist. Damit lässt sich jedes kinetische Problem auf ein statisches Problem zurückführen. Dies gilt ausschließlich für beschleunigte Bezugssysteme.

Beispiel: Trägheitskraft

Man stelle sich eine Kugel mit dem Gewicht $G = mg$ (m = träge Masse, g = Erdbeschleunigung) vor. Beim freien Fall wirkt auf diesen Körper seine Gewichtskraft. Diese Beobachtung gilt allerdings nur von einem ruhenden (unbeschleunigten) Inertialsystem aus. Geht man nun von einem mitbeschleunigten System aus (kein Inertialsystem), so ruht die Kugel für den Beobachter in diesem System. Für den Beobachter muss also zusätzlich eine Kraft $G = -mg$ auf die Kugel wirken, welche der Gewichtskraft entgegengesetzt wird. Diese Kraft wird Trägheitskraft genannt (siehe Abschnitt Klassifizierung der Kräfte). Das bedeutet, dass für den Beobachter im beschleunigten System in Summe keine Kraft auf die Kugel wirkt, da sich die Kugel für ihn in Ruhe befindet (1. Newtonsche Gesetz). 

Allgemein bedeutet das also, dass an einen Körper in einem mitbeschleunigten System im Schwerpunkt sowohl die beschleunigte Kraft $F = ma$ (allgemein) als auch die Trägheitskraft $F_T = -ma$ wirkt. Die Resultierende der auf den Körper wirkenden Kräfte ist also gleich null.

Methode

$F - ma = 0$

mit

$F = ma$

Diese Trägheitskraft ist keine tatsächlich angreifende Kraft und wird demnach auch als Scheinkraft bezeichnet. Diese Scheinkraft tritt nur im beschleunigten System auf.


Die Kraft $F$ kann wie beim 2. Newtonschen Gesetz in eingepräfte Kräfte $F^e$ und Zwangskräfte $F^z$ aufgeteilt werden:

Methode

$F^z + F^e - ma = \sum F - ma = 0$


Auch hier emfiehlt sich die Komponentenschreibweise:

Methode

$\sum F_x - ma_x = 0$

$\sum F_y - ma_y = 0$

Für die Lösung von kinetischen Problemen kann anstelle des Newtonschen Grundgesetzes (2. Newtonsche Gesetz) das l'Ambertsche Prinzip angewendet werden. Wie man kinetische Aufgaben mittels Newton und Ambert löst, wird im Abschnitt Beispiel: Kiste in Ruhe gezeigt.