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Technische Mechanik 2: Elastostatik - Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Linienkraft)

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Technische Mechanik 2: Elastostatik

Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Linienkraft)

In diesem Abschnitt soll das Beispiel aus dem vorangegangenem Abschnitt nochmals aufgeführt werden. Diesmal handelt es sich allerdings um einen gewichtslosen Balken mit einer Kraft $G = 10N$, welche am Stabende angreift:

Normalkraft und Stabverlängerung
Normalkraft und Stabverlängerung

Beispiel

In der obigen Grafik ist der eingespannte Stab zu sehen. Diesmal soll die Gewichtskraft des Balkens so klein sein, dass diese vernachlässigt werden kann. Am Stabende greift eine Kraft $G = 10 N$ an. Der Stab besitzt die Länge $l = 20 cm$ und den Querschnitt $A = 50 cm^2$. Der Stab besteht aus Blei mit $E = 19 \frac{kN}{mm^2}$. Bestimmen Sie die Normalspannung und die Stabverlängerung!

Bestimmung der Normalspannung

Die Normalspannung wird bestimmt, indem ein Schnitt durch den Stab durchgeführt wird und die Gleichgewichtsbedingung angewandt wird:

$\uparrow : N - G = 0$

$N = G$.

Es handelt sich in diesem Fall um eine konstante Normalkraft.


Die Normalspannung bestimmt sich zu:

$\sigma = \frac{N}{A} = \frac{G}{A} = \frac{10 N}{50 cm^2} = 0,2 \frac{N}{cm^2}$

Die Normalspannung ist ebenfalls konstant.

Bestimmung der Stabverlängerung

Die Stabverlängerung bestimmt sich durch:

$\triangle l = \int_0^l [\frac{N}{EA} + \alpha{_th} \triangle T] \; dx$ 


Der Term mit der Temperaturänderung fällt heraus, da $\triangle T = 0$:

$\triangle l = \int_0^l \frac{N}{EA}\; dx$

$\triangle l = [\frac{N}{EA} \cdot x]_0^l$

$\triangle l = \frac{N}{EA} \cdot l$

Einsetzen der Werte mit $N = G$:

$\triangle l = \frac{10 N}{1.900.000 \frac{N}{cm^2} \cdot 50 cm^2} \cdot 20 cm$

$\triangle l = 0,000002105 \; cm$

Die Stabverlängerung beträgt 0,000002105 cm. Der Stab verlängert sich also auf:

$20 \; cm +  0,000002105 \; cm =  20,000002105 \; cm$.

Im Gegensatz zum vorherigen Beispiel ist die Stabverlängerung doppelt so groß.

Differentialgleichung des Stabes

Differentialgleichung des Stabes ist:

$(EAu')' = -n + (EA \; \alpha_{th} \triangle T)' $ 


$EA$ ist konstant und $\triangle T = 0$.

$EAu'' = -n$.


Außerdem ist die Linienkraft $n = 0$ (der Balken wird als gewichtslos angesehen und es greift keine weitere Linienkraft):

(1) $EAu'' = 0$

(2)$EAu' = N(x)$


Aufgrund der nicht vorhandenen Linienkraft ist die Normalkraft konstant:

$EAu' = N $.

(3) $EAu = N \cdot x + C_1$

Die Integrationskonstante kann mithilfe der Randbedingungen am Stabende berechnet werden. An der eingespannten Stelle für $x = 0$ ist die Stabverschiebung $u =0$:

$EA \cdot 0 = N \cdot 0 + C_1$

$C_1 = 0$.

(3) $EAu = N \cdot x$

Auflösen nach $u$:

$u = \frac{N}{EA} \cdot x$

Die Stabverlängerung berechnet sich durch die Differenz der Verschiebung an den Stabenden:

$\triangle l = u(x = l) - u(x = 0) =  \frac{N}{EA} \cdot l - \frac{N}{EA} \cdot 0 =  \frac{N}{EA} \cdot l$

Einsetzen der Werte:

$\triangle l = \frac{10 N}{1.900.000 \frac{N}{cm^2} \cdot 50 cm^2} \cdot 20 cm$

$\triangle l = 0,000002105 \; cm$

Die Stabverlängerung beträgt (wie oben bereits berechnet) 0,000002105 cm.