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Technische Mechanik 2: Elastostatik - Beispiel 1: Torsion beim Kreisquerschnitt

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Technische Mechanik 2: Elastostatik

Beispiel 1: Torsion beim Kreisquerschnitt

Torsion Beispiel

Beispiel

Gegeben sei der obige einseitig gespannte Stab (homogen), welcher einen kreisförmigen Querschnitt besitzt. Der Stab wird durch die zwei Momente $M_A$ und $M_B$ belastet.

1) Wie groß muss $M_B$ sein ($M_A$ gegeben), damit der Verdrehwinkel am Stabende (2) null wird?

2) Wie groß ist dann die Maximale Schubspannung?

Es sind mehrere Bereiche gegeben mit unterschiedlichen Momentenwirkungen. Im Bereich $\overline{01}$ wirken beide Torsionsmomente $M_A$ und $M_B$. Im Bereich $\overline{12}$ hingegen wirkt nur das Torsionsmoment $M_B$. 

In der Aufgabenstellung ist der Verdrehwinkel am Stabende beschrieben. Dies wird mit der folgenden Formel (bei konstanter Verdrillung $\vartheta) beschrieben:

$\triangle \varphi = \frac{M_T l}{GI_P} $  

Da nun zwei Bereiche existieren, wird erst der 1. Bereich $\overline{01}$ mit der Länge $l = \frac{1}{3}l$ betrachtet:

Methode

$\triangle \varphi_{01} = \frac{M_A + M_B}{G I_P} \frac{1}{3}l $           1. Bereich


Der 2. Bereich $\overline{12}$ mit der Länge $l = \frac{2}{3}l$ folgt dann mit:

Methode

$\triangle \varphi_{12} = \frac{M_B}{G I_P} \frac{2}{3}l $                      2. Bereich

Es werden nun beide Bereiche überlagert (addiert), um auf die gesamte Verdrehung am Stabende zu gelangen:

$\triangle \varphi_{02} = \frac{M_A + M_B}{G I_P} \frac{1}{3}l  + \frac{M_B}{G I_P} \frac{2}{3}l$

Der Verdrehwinkel soll laut Aufgabenstellung am Ende (2) gleich null sein. Das bedeutet also, dass die Endverdrehung $\triangle \varphi = 0$ gesetzt werden muss. Es kann dann das Torsionsmoment $M_b$ berechnet werden:

$\triangle \varphi_{02} = \frac{M_A + M_B}{G I_P} \frac{1}{3}l  + \frac{M_B}{G I_P} \frac{2}{3}l = 0$

$\frac{1}{3}l \frac{M_A}{G I_P} + \frac{1}{3}l \frac{M_B}{G I_P} + \frac{2}{3} l  \frac{M_B}{G I_P} = 0$

$\frac{1}{3}l \frac{M_A}{G I_P} + \frac{M_B l}{G I_P} = 0$

$\frac{1}{3}l \frac{M_A}{G I_P} = - \frac{M_B l}{G I_P}$

Methode

$M_B = - \frac{1}{3} M_A$

Maximale Schubspannung

Die maximale Schubspannung tritt dort auf, wo das Torsionsmoment am größten ist. 

Am Stabende (2) ist $M_B = -\frac{1}{3}M_A$.

Am Punkt (1) ist $M_B = 1 M_A$, da hier das Moment $M_A$ angreift.

Am Stabende ist $M_B$ also $-\frac{1}{3} M_A$. Die Momentenlinie liegt demnach im negativen Bereich. Im Punkt (1) ist $M_B =  M_A$, weil genau hier das Moment $M_A$ angreift. Es muss nun im Bereich 1 die Momentenlinie um $1$ nach oben gezogen werden. Dies führt dazu, dass das Moment am Punkt (0) $\frac{2}{3}M_A$ groß ist.

Momentenverlauf
Momentenverlauf

Das Moment ist also im Punkt $A$ am größten mit $|M_{max}| = \frac{2}{3} M_A$. 

Die Formel für die maximale Schubspannung ist:

Methode

$ \tau_{max} = \frac{M_T}{W_T} $ 

mit

$W_T = \frac{I_P}{R}$

Das polare Flächenträgheitsmoment $I_P$ wird berechnet mit:

$ I_P = \int_A r^2 dA$


Bei einem Kreisquerschnitt ist $dA = 2 \pi r \; dr$

$ I_P = \int_{r=0}^R r^2 \;  2\pi r \; dr = \frac{\pi R^4}{2} $ 

Dann ist das Widerstandsmoment:

$W_T = \frac{\frac{\pi R^4}{2}}{R} = \frac{\pi R^3}{2}$

Die maximale Schubspannung ist dann:

$ \tau_{max} = \frac{\frac{2}{3} M_A}{\frac{\pi R^3}{2}} $ 

$ \tau_{max} = \frac{2}{3} M_A \cdot \frac{2}{\pi R^3}$

Methode

$ \tau_{max} =  \frac{4 M_A}{3 \pi R^3}$