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Thermodynamik - Exergie und Anergie: Wärme

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Thermodynamik

Exergie und Anergie: Wärme

Die Exergie der Wärme $E_Q$ ist derjenige Teil der zugeführten Wärme, welche in Arbeit umgewandelt werden kann. Um die Exergie der Wärme herzuleiten wird ein reversibler Kreisprozess betrachtet und dieser in unendlich viele beliebig kleine Kreisprozesse zerlegt. Diese Kreisprozesse stellen sich als kleine Teil-Carnot-Prozesse dar. Das bedeutet, dass mehr Wärme zugeführt als abgeführt wird. Die zugeführte Wärme wird in Arbeit umgewandelt. Die Exergie der Wärme ist also derjenige Teil der zugeführten Wärme, welche von dem Kreisprozess in Arbeit umgewandelt werden kann, also die Nutzarbeit $W_k$ bzw. $W_C$. Die abgeführte Wärme geht an die Umgebung verloren, stellt also die Anergie der Wärme $B_Q$ dar.

Bei diesem Prozess wird dem System Wärme $Q$ (bei veränderlicher Temperatur $T \neq 0$) zugeführt und dann Wärme (bei konstanter Umgebungstemperatur $T_b = const$) wieder abgegeben. Innerhalb des System wird die zugeführte Wärme in Arbeit und die zugeführte Arbeit in Wärme verwandelt. Dabei ist die Wärmezufuhr größer als die Wärmeabfuhr und die abgegebene Arbeit größer als die zugeführte (siehe auch Abschnitt Carnot-Prozess).

Im T,S-Diagramm sieht die Zustandsänderung wie folgt aus:

Exergie der Wärme
Exergie der Wärme

Im obigen T,S-Diagramm ist die Zustandsänderung von 1 nach 2 beschrieben. Der kleine Streifen stellt die Exergie $dE_Q$ für einen beliebig kleinen Kreisprozess dar. Die Fläche über $T_b$ ist die gesamte Exergie $E_{12}$, die Fläche unter $T_b$ die gesamte Anergie $B_{12}$. Die Gesamtfläche stellt die zu- und abgeführte Wärmemenge $Q_{12}$ dar. Der obere Anteil (Exergie) ist die zugeführte Wärme, welche vollständig in Arbeit umgewandelt werden kann. Der untere Teil (Anergie) ist die abgeführte Wärme, welche nicht verwendet werden kann.

Der Unterschied zu dem T,S-Diagramm beim Carnot-Prozess (Rechteck) liegt darin, dass hier die Zustandsänderung von Zustand 2 auf Zustand 4 (siehe T,S-Diagramm für Carnot-Prozess) erfolgt. Die Zwischenschritte 1 und 3 werden hier nicht berücksichtigt, da von Zustand 4 - 1 und 2 - 3 keine Wärme übertragen wird. Das bedeutet wiederrum eine veränderliche Temperatur $T \neq const$ über die gesamte Zustandsänderung.

Bestimmung der Exergie der Wärme

Der kleine Streifen mit der Fläche $dE_Q$ wird über die gesamte Zustandsänderung integriert, unter Berücksichtigung von dem Wirkungsgrad $\eta_c$ des Carnot Prozesses für die Temperatur $T$:

$dE_Q = -dW_C = \eta_C dQ = (1 - \frac{T_b}{T}) dQ$

Integration:

$E_{Q12} = \int_1^2  (1 - \frac{T_b}{T}) dQ$.

$E_{Q12} = \int_1^2  dQ - \frac{T_b}{T} dQ$.

Da $T_b$ konstant ist und das erste $dQ$ integriert werden kann, ergibt sich:

Methode

$E_{Q12} = Q_{12} - T_b \int_1^2  \frac{1}{T} dQ$.

Das kann man mit $\int_1^2 \frac{dQ}{T} = S_{12}$ auch schreiben als:

Methode

$E_{Q12} = Q_{12} - T_b S_{12}$.

Will man die Entropieänderung $S_2 - S_1$ mitberücksichtigen so ergibt sich unter Verwendung von $dS = \frac{dQ + dW_{diss}}{T}$ aufgelöst nach $dQ$ und eingesetzt in $E_{Q12} = Q_{12} - T_b \int_1^2  \frac{1}{T} dQ$ die folgende Gleichung:

Methode

$E_{Q12} = Q_{12} - T_b (S_2 - S_1) + T_b \int_1^2 \frac{dW_{diss}}{T}$.

Bestimmung der Anergie der Wärme

Die Anergie der Wärme wird berechnet durch

$Energie = Exergie + Anergie$

$Anergie = Energie - Exergie$

$B_{Q12} = Q_{12} - E_{Q12}$.

Aus den obigen Gleichungen folgt demnach:

Methode

$B_{Q12} = T_b \int_1^2  \frac{1}{T} dQ$.

Das kann man mit $\int_1^2 \frac{dQ}{T} = S_{12}$ auch schreiben als:

Methode

$B_{Q12} = T_b S_{12}$.

Unter Berücksichtigung der Entropieänderung ergibt sich:

Methode

$B_{Q12} = T_b (S_2 - S_1) + T_b \int_1^2 \frac{dW_{diss}}{T}$.

Die obigen Gleichungen gelten allgemein, also für reversible und irreversible Vorgänge. Betrachtet man einen reversiblen Vorgang, so muss in den obigen Gleichungen $dW_{diss} = 0$ gesetzt werden.