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Thermodynamik - Rechtslaufender Kreisprozess

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Thermodynamik

Rechtslaufender Kreisprozess

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Es soll in diesem Abschnitt ein rechtslaufender Kreispozess in einem geschlossenen System betrachtet werden. Ein rechtslaufender Kreisprozess liegt dann vor, wenn die Zustandsänderungen in den Zustandsdiagrammen (p,V- Diagramm) im Uhrzeigersinn verlaufen. Hierzu wird zunächst wieder die Grafik aus dem vorherigen Kapitel betrachtet:

Rechtslaufender Kreisprozess
Rechtslaufender Kreisprozess anhand einer Kolbenmaschine

Die Vorgehensweise ist wie folgt (anhand einer Kolbenmaschine):

1. Wärme $Q_{12}$ wird zugeführt, so dass sich das Gas ausdehnt und den Kolben nach rechts verschiebt und sich das Kolbenrad dreht. Die Arbeit $W_{12}$ (negativ) wird von dem Gas abgegeben und in einen Energiespeicher geführt.

2. Das Gas wird mittels Arbeit, welches dem Energiespeicher entnommen wird, komprimiert (d.h. dem Gas wird Arbeit zugeführt). Das Volumen wird geringer, der Druck steigt und damit auch die Temperatur. Aufgrund der steigenden Temperatur muss dem Gas Wärme entzogen werden (z.B. mittels Kältereservoir).

Merke

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Wärme fließt immer von Orten mit hoher Temperatur zu Orten mit niedriger Temperatur.

Merke

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Das Gas gibt Arbeit an den Energiespeicher ab (also negativ) und nimmt danach die Arbeit aus dem Energiespeicher auf (positiv). Die Summe aus beiden ist die Arbeit des Kreisprozesses $W_K$ (siehe vorheriges Kapitel).

Reversibler Kreisprozess

Es soll im Weiteren ein reversibler Kreisprozess in einem geschlossenen System betrachtet werden, mit $W_{diss} = 0$. Daraus folgt für die Arbeit des Kreisprozesses $W_k$:

Methode

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$W_k = \sum W_V = -\sum Q^{rev}$

Im p,V-Diagramm sieht der ganze Prozess wie folgt aus:

Rechtslaufender Kreisprozess p,V-Diagramm
Rechtslaufender Kreisprozess im p,V-Diagramm

Bei einem rechtslaufenden Kreisprozess erfolgt die Zustandsänderung im p,V-Diagramm mit dem Uhrzeigersinn. Zunächst wird bei der Expansion des Gases von Zustand 1 auf Zustand 2 über $x$ die negative Volumenänderungsarbeit $W_V$ abgegeben:

$W_{V12} = -\int_1^2 p \; dV$.

Beispiel

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Das der obige Term negativ wird soll ein Beispiel zeigen:

Das Gas wird erhitzt. Das Gas dehnt sich aus (konstanter Druck $p$) und erhöht somit das Volumen, indem der Kolben verschoben wird. Das Anfangsvolumen sei $V_1 = 10 m^3$ und das Endvolumen $V_2 = 12 m^3$. Der Druck liegt konstant bei $p = 101.325 Pa$. 

$W_{V12} = -\int_{V_1}^{V_2} p \; dV = - p (V_2 - V_1)$

Einsetzen der Werte:

$W_{V12} = -101.325 Pa (12 m^3 - 10 m^3) = -202.650 Nm$.


Bei der folgenden Kompression des Gases von Zustand 2 auf 1 über $y$ wird die positive Volumenänderungsarbeit $W_V$ zugeführt:

$W_{V21} = -\int_2^1 p \; dV$.

Beispiel

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Das der obige Term positiv wird soll ein Beispiel zeigen:

Das Gas zieht sich zusammen (konstanter Druck $p$) und reduziert das Volumen, indem der Kolben zurück in seine Ausgangslage verschoben wird. Das Endvolumen war $V_2 = 12 m^3$ und das Anfangsvolumen $V_1 = 10 m^3$. Der Druck liegt konstant bei $p = 101.325 Pa$.

$W_{V21} = -\int_{V_2}^{V_1} p \; dV = - p (V_1 - V_2)$

Einsetzen der Werte:

$W_{V21} = -101.325 Pa (10 m^3 - 12 m^3) = 202.650 Nm$.

In den obigen Beispielen wurde zum einen angenommen, dass der Druck konstant bleibt (isobare Zustandsänderung). Zum anderen wurde angenommen, dass die abgeführte Volumenänderungsarbeit gleich der zugeführten Volumenänderungsarbeit ist und damit in einem reversiblen Prozess $W_k = 0$. Dies galt allerdings lediglich um zu zeigen, dass die Volumenänderungsarbeit einen negativen und einen positiven Wert annimmt. Damit $W_k \neq 0$ ist, muss dem Kreisprozess Wärme zugeführt und abgeführt werden.

In einem rechtslaufenden Kreisprozess ist es tatsächlich so, dass die zugeführte Wärme $Q_{12}$ größer ist als die abgeführte Wärme $Q_{21}$. Dies führt zu einem Überschuss an zugeführter Wärme.

Merke

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Bei dem rechtslaufenden Kreisprozess ist die bei der Expansion abgeführte Volumenänderungsarbeit $W_{V12}$ größer, als die bei der Kompression zugeführte Volumenänderungsarbeit $W_{V21}$.

Der Überschuss an zugeführter Wärme kann dann in Volumenänderungsarbeit umgewandelt werden und wird vom Gas abgeben. Das bedeutet also, dass bei dem gesamten Prozess ein negativer Wert für die Arbeit übrig bleibt (abgeführte größer zugeführte Arbeit). Diese Arbeit kann dann anderweitig genutzt werden (=Nutzarbeit). Betrachtet man das folgende p,V-Diagramm, so ist die zugeführte Wärme $Q_{12}$ die Fläche unter der oberen Kurve und die abgeführte Wärme $Q_{21}$ die Fläche unter der unteren Kurve. Addiert man nun beide miteinander ($Q_{12}$ wird positiv, $Q_{21}$ wird negativ), so erhält man die schraffierte Fläche zwischen den beiden Kurven. Dies stellt die Nutzarbeit des Kreisprozesses $W_k$ dar. Die Nutzarbeit beim rechtslaufenden Kreisprozess wird negativ, da zugeführte Wärme in Arbeit umgewandelt wird und diese Arbeit vom Gas abgegeben wird.

Rechtslaufender Kreisprozess Nutzarbeit
Nutzarbeit im rechtslaufenden Kreisprozess

Wärmezufuhr $Q_{12}$ > Wärmeabfuhr $Q_{21}$

Arbeitsabfuhr $W_{V12}$ > Arbeitszufuhr $W_{V21}$

Merke

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Der Überschuss an zugeführter Wärme wird demnach in Arbeit umgewandelt, welche dann genutzt werden kann um z.B. andere Maschinen zu betreiben.

Temperatur

Die Temperatur bei der die Wärme zugeführt wird ist bei einem rechtslaufenden Kreisprozess immer größer als die Temperatur bei welcher die Wärme abgeführt wird.

Dies kann man sich folgendermaßen herleiten. Betrachtet man wieder das obige p,V-Diagramm und hier die Punkte $x$ und $y$. Die Drücke sind an diesen Punkten unterschiedlich groß, das Volumen hingegen gleich groß ($V = const$). Im Punkt $x$ wird die Wärme $Q_{12}$ zugeführt um den Druck $p_2$ zu erreichen. Im Punkt $y$ wird die Wärme $Q_{21}$ abgezogen (durch Kühlung) um den Ausgangsdruck $p_1$ zu erreichen. Man betrachtet nun die thermische Zustandsgleichung für den Punkt $x$ und $y$:

$p_xV = m \; R_i \; T_x$

$P_yV = m \; R_i \; T_y$.

Aufgelöst nach $T$:

$T_x = \frac{p_x V}{m \; R_i}$

$T_y = \frac{p_y V}{m \; R_i}$.

Division der beiden Temperaturen:

$\frac{T_x}{T_y} = \frac{p_x}{p_y}$.

Aus der Grafik ist zu erkennen, dass $p_x > p_y$ und der Bruch damit größer 1 wird:

$\frac{T_x}{T_y} = \frac{p_x}{p_y} > 1$.

Merke

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Damit ist auch $T_x > T_y$.

Je höher $T_x$ - also die Temperatur bei welche der Wärmezufuhr stattfindet - desto besser ist das für den Kreisprozess, weil umso weniger Wärme zugeführt werden muss. Das bedeutet gleichzeitig je niedriger die Temperatur $T_y$ bei der die Wärme abgeführt wird, desto weniger Wärme muss entzogen werden.

Reversibler Kreisprozess in einem offenen System

Der rechtslaufende reversible Kreisprozess kann auch in einem offenen System erfolgen. Hierzu wird anstelle de Volumenänderungsarbeit die reversible technische Arbeit herangezogen:

$W_{t12}^{rev} = \int_1^2 V \; dp$.               (negativ)

$W_{t21}^{rev} = \int_2^1 V \; dp$.               (positiv).

Video: Rechtslaufender Kreisprozess