Exergie und Anergie: Geschlossenes System

Um die Exergie eines geschlossenen System $E_G$, welches sich im Zustand 1 befindet, berechnen zu können, wird ein Prozess betrachtet bei dem das System reversibel mit seiner Umgebung ins thermische und ins mechanische Gleichgewicht gebracht wird.

Unter Vernachlässigung der kinetischen und potentiellen Energien des Systems gilt für die innere Energie des Systems bei einem reversiblen Prozess ($W_{diss} = 0$):

Damit der Prozess, wie gefordert, reversibel abläuft, muss

1. das System zunächst reversibel adiabat auf Umgebungstemperatur $T_b$ gebracht werden (isentrope Zustandsänderung)
   
   und dann
   
   
2. Wärme reversibel bei konstanter Temperatur $T_b$ übertragen werden (isotherme Zustandsänderung).

Zu 1.) System reversibel adiabat auf Umgebungstemperatur bringen

Die obige Gleichung für die innere Energie wird bei einem reversiblen ($W_{diss} = 0$), adiabaten ($Q = 0$) Prozess zu:

$U_2 - U_1 = W_V$.

Da hier davon ausgegangen wird, dass der Druck der Umgebung $p_b$ nicht mit dem Druck innerhalb des Systems übereinstimmt, gliedert sich die Volumenänderungsarbeit in einen Nutzanteil $W_N$ und einen Verschiebeanteil $W_U$ (siehe Abschnitt Nutzarbeit/Verschiebearbeit):

$W_V = W_N + W_U$

mit

$W_V = -\int_1^2 p \; dV$

$W_U = -p_b(V_2 - V_1)$.

Die Exergie des geschlossenen Systems bzw. die Exergie der inneren Energie $E_G$ ist dabei gleich der unter Mitwirkung der Umgebung maximal (d.h. in einem reversiblen Prozess) gewinnbaren Nutzarbeit $W_N$, wobei der Prozess zwischen einem willkürlichen Zustand 1 und Umgebungszustand (Index b) stattfindet.

Eingesetzt in die obige Gleichung ergibt:  $W_V = -E_G + W_U$.

Zu 2.) Wärme reversibel bei konstanter Temperatur übertragen

Die Wärme $Q$ findet sich in der folgenden Gleichung für die Entropie $S$:

$ΔS = S_2 - S_1 = \int_1^2 \frac{dQ + dW_{diss}}{T}$.

Bei einem reversiblen Prozess ($W_{diss} = 0$) mit konstanter Temperatur $T_b$ (Integral fällt weg) gilt:

$S_2 - S_1 = \frac{Q}{T_b}$.

Aufgelöst nach $Q$ ergibt sich:

Zusammenfassung

Einsetzen von $W_V$ und $Q$ in die Gleichung für die innere Energie bei reversiblem Prozess:

$U_2 - U_1 = T_b(S_2 - S_1) - E_G - p_b(V_2 - V_1)$.

Die Indizes sind nun so aber noch nicht korrekt. Wir schauen uns nun folgendes T,S-Diagramm an, in welchem verdeutlicht wird was genau passiert:

Exergie der inneren Energie

Bei der isentropen Zustandsänderung (um die Temperatur $T_1$ auf Umgebungstemperatur $T_b$ zu bringen), ist die Entropie $S$ konstant und demnach $S_2 = S_1$. Dafür ist aber bei der isothermen Zustandsänderung (um den Druck $p_1$ auf Umgebungsdruck $p_b$ zu bringen) die Entropiedifferenz vorhanden mit $S_b - S_2$. Daraus folgt für $S_2 = S_1 \rightarrow  S_b - S_1$.

Bei der isentropen Zustandsänderung ändert sich die innere Energie und damit $U_2 - U_1$. Bei der isothermen Zustandsänderung hingegen ändert sich die innere Energie nicht (da abhängig von der Temperatur und diese konstant ist). Das bedeutet $U_2 = U_b$. Es gilt also: $U_b - U_1$. 

Der Term $p_b(V_2 - V_1)$ ist die Nutzarbeit. Es muss hier nicht nur die Volumenänderung von Zustand 1 nach Zustand 2 betrachtet werden, sondern die gesamte Volumenänderung von Zustand 1 nach Zustand b:  $p_b(V_b - V_1)$.

Insgesamt ergibt sich also folgende Gleichung:

$U_b - U_1 = T_b(S_b - S_1) - E_{G1} - p_b(V_b - V_1)$.

Die Exergie des geschlossenen Systems oder auch Exergie der inneren Energie ist dann:

Die Exergie kann man im p,V-Diagramm darstellen:

Exergie der inneren Energie

Die Fläche unter der Isentropen stellt die innere Energie $U_1 - U_b$ dar. Die Fläche unter der Isothermen den Term $T_b(S_b - S_1)$ und die Fläche unter dem Umgebungsdruck $p_b$ den Term $p_b(V_b - V_1)$. Da dieser von den anderen beiden Termen abgezogen wird, ist die Fläche für die Exergie wie folgt:

Exergie der inneren Energie [Fläche]

Anergie der inneren Energie

Um nun die Anergie des geschlossenen Systems oder auch Anergie der inneren Energie $B_{G}$ zu bestimmen, muss die Exergie der inneren Energie $E_{G1}$ von der inneren Energie $U_1$ abgezogen werden:

$B_{G1} = U_1 - E_{G1}$.

Man stellt also die Gleichung für die Exergie der inneren Energie nach $U_1 - E_{G1}$ um und setzt diese gleich $B_{G1}$:

Die obigen zwei Gleichungen (Exergie und Anergie der inneren Energie) stellen die Exergie bzw. Anergie dar, welche anfällt, wenn das System von Zustand 1 (über Zustand 2) auf den Umgebungszustand $b$ gebracht wird. Dies ist also der direkte Weg von $1 \to b$.

Exergiedifferenz zwischen zwei Zuständen

Soll nun die Exergie bestimmt werden, welche zwischen den zwei Zuständen 1 und 2 anfällt, so gilt:

$E_{G2} - E_{G1}$.

Zwischen den zwei Zuständen 1 und 2 besteht dann eine Exergiedifferenz von: