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Lineare Programmierung > Standardform: Maximierungsproblem > Simlpex-Algorithmus: Einführung > Duales Simplexverfahren:

Duales Simplexverfahren: Pivotzeile/-spalte/-element

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Thermodynamik:
 Am 13.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar (Thermodynamik) Innere Energie, Wärme, Arbeit
- Innerhalb dieses 60-minütigen Webinares wird der 1. Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene Systeme behandelt und auf die innere Energie, Wärme und Arbeit eingegangen.
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

Nachdem das Tableau für das lineare Optimierungsproblem im vorherigen Abschnitt aufgestellt worden ist, soll nun die erste Iteration für das duale Simplexverfahren durchgeführt werden. Für jede Iteration müssen die folgenden Schritte durchgeführt werden. Im Gegensatz zum primalen Simplexverfahren beginnt das duale Simplexverfahren mit Wahl der PivotZeile:

  1. Wahl der Pivotzeile s: Existiert kein $b_i < 0$, so liegt bereits eine zulässige Basislösung vor. Es wird dann das duale Simplexverfahren abbgebrochen und mit dem primale Simplexverfahren fortgesetzt.

    Ansonsten wird diejenige Zeile $s$ mit dem kleinsten negativen Wert der rechten Seite als Pivotzeile gewählt. Sind mehrere Zeilen mit kleinstem negativen Wert gegeben, so kann unter diesen eine beliebige Zeile ausgewählt werden. 

  2. Wahl der Pivotspalte t: Sind in der Pivotszeile aus 1. alle $a_{sj} > 0$, so exsitiert für das Problem keine zulässige Basislösung. Das gesamte Verfahren wird dann abgebrochen. 

    Ansonsten wird die untere Zeile (Zielfunktionszeile) für alle Elemente $a_{sj} < 0$ der Pivotzeile betrachtet und diejenige Pivotspalte ausgewählt, für die gilt $max\frac{c_j}{a_{sj}}$. Dort wo sich die Pivotspalte und die Pivotzeile schneiden, liegt das Pivotelement $a_{st}$.

  3. Nachdem die Pivotzeile $s$ und die Pivotspalte $t$ sowie das Pivotelement $a_{st}$ bestimmt worden sind, wird nun in einem nächsten Schritt die Basisvariable der Pivotzeile mit der Nichtbasisvarbiablen der Pivotspalte getauscht und ein neues Tableau aufgestellt.


Zum besseren Verständnis der ersten drei Schritte, wird nun das Beispiel aus dem vorherigen Abschnitt herangezogen und ausführlich gezeigt, wie diese Schritte durchgeführt werden:

1. Schritt: Wahl der Pivotzeile

Duales Simplexverfahren Pivotzeile

Für den kleinsten Wert der rechten Seite wird die Pivotzeile festgelegt. In dem obigen Beispiel ist dies der Wert $-12$.

2. Schritt: Wahl der Pivotspalte

Duales Simplexverfahren Pivotspalte

Als nächstes werden dann alle Werte innerhalb der Pivotzeile betrachtet (hier: -3, -1). Es werden dann diejenigen Werte kleiner Null ausgewählt (die größer Null bleiben unberücksichtigt) und mit den Werten der Zielfunktionszeile verrechnet (Division der Zielfunktionswerte durch die Werte der Pivotzeile). Dort wird der größte Wert ausgewählt und die Pivotspalte festgelegt. Das Pivotelement liegt dann dort, wo sich Pivotzeile und Pivotspalte schneiden:

Duales Simplexverfahren Pivotelement

Die weitere Vorgehensweise ist wie beim primalen Simplexalgorithmus. Es muss also zunächst das neue Tableau aufgestellt werden, indem die Nichtbasisvariable und die Basisvariable des Pivotelements miteinander vertauscht werden. Danach werden die Rechenschritte zur Bestimmung der neuen Elemente analog wie beim primalen Simplexalgorithmus durchgeführt. Im folgenden Abschnitt wird das neue Tableau mit den neuen Elementen aufgeführt.

Lückentext
Bitte die Lücken im Text sinnvoll ausfüllen.
Die Anwendung des Simplexverfahrens erfolgt um eine zulässige Basislösung zu erhalten. Hingegen wird das Simplexverfahren angewandt, um eine optimale Lösung zu bestimmen. Für beide Verfahren muss das Optimierungsproblem zunächst in vorliegen. Durch Einfügen von kann dieses dann in die Normalform überführt werden. 

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Lösen

Hinweis:

Bitte füllen Sie alle Lücken im Text aus. Möglicherweise sind mehrere Lösungen für eine Lücke möglich. In diesem Fall tragen Sie bitte nur eine Lösung ein.

Vorstellung des Online-Kurses Operations ResearchOperations Research
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Operations Research 1

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Kurs: Operations Research 1 - Lineare Optimierung, Graphentheorie und Netzplantechnik
    • Einleitung zu Kurs: Operations Research 1 - Lineare Optimierung, Graphentheorie und Netzplantechnik
  • Lineare Programmierung
    • Einleitung zu Lineare Programmierung
    • Definition: Lineares Programm
    • Standardform: Maximierungsproblem
      • Einleitung zu Standardform: Maximierungsproblem
      • Grafische Lösung eines Maximierungsproblems
        • Einleitung zu Grafische Lösung eines Maximierungsproblems
        • Beispiel: Grafische Lösung eines Maximierungsproblems
      • Umformung in die Standardform (Maximierungsproblem)
      • Umformung in die Normalform (Maximierungsproblem)
      • Simlpex-Algorithmus: Einführung
        • Einleitung zu Simlpex-Algorithmus: Einführung
        • Primales Simlpexverfahren
          • Einleitung zu Primales Simlpexverfahren
          • Primales Simplexverfahren: Anfangstableau aufstellen
          • Primales Simplexverfahren: Pivotspalte/-zeile/-element
          • Primales Simplexverfahren: 1. Simplexschritt
          • Primales Simplexverfahren: Weitere Simplexschritte (optimale Lösung)
          • Beispiel: Maximierungsproblem / grafische Lösung
          • Beispiel: Maximierungsproblem / Primales Simplexverfahren
        • Duales Simplexverfahren
          • Einleitung zu Duales Simplexverfahren
          • Duales Simplexverfahren: Pivotzeile/-spalte/-element
          • Duales Simplexverfahren: Simplexschritte
        • Die Big-M-Methode des primalen Simplexverfahrens
          • Einleitung zu Die Big-M-Methode des primalen Simplexverfahrens
          • Die Big-M-Methode: Einfügen von künstlichen Variablen
          • Die Big-M-Methode: Künstliche Variablen als Basisvariablen
          • Big-M-Methode: Simplexschritt durchführen
          • Big-M-Methode: Weiterer Simplexschritt (zulässige Lösung)
          • Big-M-Methode: Weitere Simplexschritte (optimale Lösung)
      • Kanonische Form, Standardform, Normalform
      • Zusammenfassung: Maximierungsproblem
    • Minimierungsproblem
      • Einleitung zu Minimierungsproblem
      • Dualität - Primalproblem als Maximierungsproblem
      • Dualität - Primalproblem als Minimierungsproblem
      • Dualität - Dualproblem in Primalproblem
      • Beispiel: Primalproblem als Minimierungsproblem
      • Minimierungsproblem- Big-M/dualer Simplex
      • Zusammenfassung: Minimierungsproblem
    • Sonderfälle bei Optimierungsmodellen
      • Einleitung zu Sonderfälle bei Optimierungsmodellen
      • Beispiel: Minimierungsproblem ohne optimal Lösung
    • Sensitivitätsanalyse
      • Einleitung zu Sensitivitätsanalyse
      • Änderung der Zielfunktionskoeffizienten
        • Einleitung zu Änderung der Zielfunktionskoeffizienten
        • Beispiel: Sensitivitätsanalyse Zielfunktionskoeffizienten
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    • Obere und untere Schranken bei Variablen
      • Untere Schranken
      • Obere Schranken
        • Einleitung zu Obere Schranken
        • Beispiel: Primaler Simplexalgorithmus
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