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Anwendungsbeispiel: Wärmeübertrager

WebinarTerminankündigung aus unserem Online-Kurs Thermodynamik:
 Am 13.12.2016 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Gratis-Webinar (Thermodynamik) Innere Energie, Wärme, Arbeit
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Beispiel

In einem Wärmeübertrager (Rekuperator) fließt Wasser im Gegenstrom. Der Massenstrom im oberen Rohrteil beträgt $\dot{m}_1 = 1,5 \frac{kg}{s}$, die Eintrittstemperatur beträgt $T_1' = 20 °C$. In dem unteren Rohrteil beträgt der Massenstrom $\dot{m}_2 = 3 \frac{kg}{s}$. Das dort strömende Wasser wird von $T_2' = 80 °C$ auf $T_2'' = 60 °C$ abgekühlt. Die Wärmedurchgangszahl des Wärmeübertragers beträgt $U = 4.000 \frac{W}{m^2 \cdot K}$. Die spezifische Wärmekapazität des Wassers im oberen Rohrteil ist $c_1 = 4.182 \frac{J}{kg \cdot K}$, im unteren Rohrteil $c_2 = 4.196 \frac{J}{kg K}$.

Bestimmen Sie den Wärmestrom, die Austrittstemperatur des Wassers aus dem unteren Rohrteil und die notwendige Austauschfläche!

Beispiel Wärmeübetrager Gegenstrom
Bestimmung des Wärmestroms

Da das Fluid 2 beim Eintritt wärmer ist als das Fluid 1, fließt ein Wärmestrom $\dot{Q}_{21}$ vom Fluid 2 auf das Fluid 1 (also vom Fluid im unteren Rohrteil auf das Fluid im oberen Rohrteil).

Für das untere Rohrteil ist sowohl die Eintritts- als auch Austrittstemperatur gegeben. Es kann nun also die Änderung des Wärmestroms für das Fluid im unteren Rohrteil bestimmt werden. Dieser entspricht dann genau den an das Fluid im oberen Rohrteil abgegebenen Wärmestrom. Der Wärmestrom $\dot{Q}_{21}$ kann demnach bestimmt werden zu (siehe vorherigen Abschnitt):

Methode

$-d \dot{Q}_2 = c_p \cdot \dot{m} \cdot dT_2$

Das Minuszeichen resultiert daher, dass das Fluid 2 im unteren Rohrteil den Wärmestrom abgibt, demnach ist die Änderung des Wärmestroms für Fluid 2 negativ. Multiplikation mit (-1) und Integralbildung führt zu:

$ \int d \dot{Q}_2 = - c_p \cdot \dot{m} \cdot \int_{T_2'}^{T_2''} dT_2$

Auflösen des Integrals führt zu:

$\dot{Q}_2 = - c_p \cdot \dot{m} \cdot (T_2'' - T_2')$


Einsetzen der Werte für das untere Rohrteil:

Methode

$\dot{Q}_{21} = -4.196 \frac{J}{kg K} \cdot 3 \frac{kg}{s} \cdot (60 - 80) K = 503520 \frac{J}{s} = 251.760 W$.

Die Änderung des Wärmestroms für das Fluid 2 ist 251.760 Watt. Dies entspricht genau den an das Fluid 1 abgebenen Wärmestrom.

Bestimmung der Austrittstemperatur

Als nächstes wird die Austrittstemperatur $T_1''$ des Wasser im oberen Rohrteil bestimmt. Dies erfolgt mit der obigen Gleichung für die Änderung des Wärmestroms $\triangle \dot{Q}_1$, nur diesmal mit den Werten für das obere Rohrteil. Diesmal wird kein Minuszeichen berücksichtigt, da die Änderung des Wärmestroms für das Fluid 1 im oberen Rohrteil positiv ist (es wird der Wärmestrom von Fluid 2 auf Fluid 1 übertragen):

$d \dot{Q}_1 =  c_p \cdot \dot{m} \cdot dT_1$

Integralbildung:

$\int d \dot{Q}_1 =  c_p \cdot \dot{m} \cdot \int_{T_1'}^{T_1''} dT_1$

Auflösen des Integrals:

$\dot{Q}_1 =  c_p \cdot \dot{m} \cdot (T_1'' - T_1')$

Auch hier gilt wieder, dass die Änderung des Wärmestroms für das Fluid 1 $\dot{Q}_1$ im oberen Rohrteil gleich dem Wärmestrom von Fluid 2 auf das Fluid 1 entspricht. 


Die Gleichung wird nun nach $T_1''$ umgestellt:

$T_1'' = \frac{\dot{Q}_{21} }{c_p \cdot \dot{m}} + T_1'$

$T_1'' = \frac{251.760 W}{4.182 \frac{J}{kg \cdot K} \cdot 1,5 \frac{kg}{s}} + 20 °C = 60,1 °C$

Die Austrittstemperatur des Fluids 2 beträgt demnach im unteren Rohrteil 60,1 °C.

Bestimmung der Austauschfläche

Zur Bestimmung der Austauschfläche kann die Gleichung für den übertragenden Wärmestrom zwischen Fluid 2 und Fluid 1 herangezogen werden:

$\dot{Q}_{21} = U \cdot A \cdot \triangle T_m$

Die logarithmische Temperaturdifferenz ergibt sich zu:

$\triangle T_m = \frac{\triangle T_{max} - \triangle T_{min}}{ln(\frac{\triangle T_{max}}{\triangle T_{min}})}$    

Temperaturdifferenzen am Eintritt und Austritt (Beachtung: Gegenstrom. Beim Rohreintritt ist die Eintrittstemperatur von Fluid 1 und die Austrittstemperatur von Fluid 2 gegeben, beim Rohraustritt hingegen die Eintrittstemperatur von Fluid 2 und die Austrittstemperatur von Fluid 1):

Eintritt: $T_1' = 20°C$, $T_2'' = 60°C$ $\rightarrow $ $\triangle T = 40°C$

Austritt: $T_1'' = 60,1°C$, $T_2' = 80°C$ $\rightarrow$  $\triangle T = 19,9°C$

$\triangle T_m = \frac{(40 - 19,9) K}{ln(\frac{40}{19,9})} = 28,79 K$  

Einsetzen in den Wärmestrom:

$ 251.760 W = 4.000 \frac{W}{m^2 \cdot K} \cdot A \cdot 28,79 K $

Auflösen nach $A$:

$A = \frac{251.760 W}{4.000 \frac{W}{m^2 \cdot K} \cdot 28,79 K} = 2,19 m^2$.

Die notwendige Austauschfläche beträgt 2,19 m².

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