Anwendungsbeispiele: Instationäre Wärmeleitung

Beispiel: Walze

(a) Die Geschwindigkeit der Kunststoffplatte kann bestimmt werden, wenn die Zeit $t$, welche die Kunststoffplatte benötigt um von 180°C auf 40°C in Plattenmitte abzukühlen bestimmt ist. Es sind die folgenden Werte zu bestimmen ($\Theta$, $Fo$, und $Bi$). 

Zunächst wird die dimensionslose Temperaturdifferenz bestimmt:

$\Theta_m = \frac{T_m – T_{\infty}}{T_A – T_{\infty}}$

Dabei ist $T_m$ die Temperatur in Körpermitte nach einer bestimmten Zeit $t$, nachdem der Körper in Kontakt mit einem Medium kühlerer Temperatur gebracht wurde. In diesem sind dies also die 40°C der Kunststoffplatte in Körpermitte nach dem Kontakt mit der Luft. $T_A$ ist die Anfangstemperatur des Körpers vor dem Kontakt mit dem Medium kühlerer Temperatur, also die 180°C. Und $T_{\infty}$ ist die Temperatur des Mediums, also der Luft mit 20°C$:

Es kann weiterhin die Biot-Zahl bestimmt werden:

$Bi = \frac{\alpha \cdot s}{\lambda}$

Dabei ist $\alpha$ der Wärmeübergangskoeffizient von Kunststoff nach Luft, $s$ die halbe Plattendicke in Meter und $\lambda$ die Wärmeleitfähigkeit der Kunststioffplatte:

Die Fourier-Zahl kann nicht bestimmt werden, da die Zeit $t$ unbekannt ist. Aber mit der dimensionslosen Temperturdifferenz und der Biot-Zahl kann diese aus den Diagrammen bestimmt werden:

$Fo = \frac{a \cdot t}{s^2} \approx 37,5$

Die Fourier-Zahl liegt zwischen 25 und 50, also ungefähr bei 37,5.

Um die Zeit $t$ zu bestimmen wird als nächstes die Temperaturleitfähigkeit $a$ benötigt:

$a = \frac{\lambda}{c_p \cdot \rho} = \frac{0,6 \frac{W}{m \cdot K}}{700 \frac{J}{kg \cdot K} \cdot 2.300 \frac{kg}{m^3}} = 3,73 \cdot 10^{-7} \frac{m^2}{s}$

Es kann als nächstes durch Umstellen der Gleichung die Zeit $t$ bestimmt werden:

$t = \frac{Fo \cdot s^2}{a} = \frac{37,5 \cdot (0,00125 m)^2}{3,73 \cdot 10^{-7} \frac{m^2}{s}} \approx 157 s$

Nach 157 Sekunden erreicht die Plattenmitte des Kunststoffes eine Temperatur von 40°C. 

Die Geschwindigkeit der Kunststoffplatte kann bestimmt werden durch:

$x = w \cdot t$  (Weg gleich Geschwindigkeit mal Zeit)

Umstellen der Formel führt zu:

$w = \frac{x}{t}$.

Die Platte legt den Weg bis zur Schneide von 8m zurück (diese wird dann bei 40°C) geschnitten. Die Zeit beträgt 157 Sekunden. Es ergibt sich demnach eine Geschwindigkeit von:

(b) Bestimmung des Wärmestroms

Der Wärmestrom kann gemäß der folgenden Gleichung bestimmt werden:

$\dot{Q} = \dot{m} \cdot c_p (T_A - T_m)$

mit

$\dot{m} =  \rho \cdot \dot{V} = \rho \cdot A \cdot w = 2.300 \frac{kg}{m^3} \cdot 0,0025 m \cdot 1 m \cdot 0,05 \frac{m}{s}$

Einsetzen ergibt dann:

$\dot{Q} = 2.300 \frac{kg}{m^3} \cdot 0,0025 m \cdot 1 m \cdot 0,05 \frac{m}{s} \cdot 700 \frac{J}{kg \cdot K} (180 - 40) K = 28,175 kW$

Der Wärmestrom, welcher vom Kunststoff abgegeben wird beträgt demnach 28,175 kW.