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Wärmeübertragung: Wärmeleitung - Wärmeübergangszahl einer zylindrischen Wand

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Wärmeübertragung: Wärmeleitung

Wärmeübergangszahl einer zylindrischen Wand

Die Wärmeübergangszahl $\alpha_w$ (auch: Wärmedurchlasszahl mit $\Lambda$) einer zylindrischen Wand gibt an, wie groß der Wärmestrom $\dot{Q}$ pro Flächeneinheit $m^2$ und pro Kelvin Temperaturdifferenz ist, welcher durch die Wand übertragen wird. Nach dieser Definition ergibt sich die Wärmeübergangszahl zu: 

Methode

$\alpha_w = \frac{\dot{Q}}{A \cdot \triangle T}$

Die Einheit der Wärmeübergangszahl ist $\frac{W}{m^2 \cdot K}$. Im Gegensatz zu einer ebenen Wand ist bei einer zylindrischen Wand die Fläche $A$ nicht mehr konstant. Innenwand und Außenwand des Hohlzylinders weisen einen unterschiedlichen Umfang auf und damit auch eine unterschiedliche Fläche (siehe vorherigen Abschnitt). Das bedeutet also, dass hier die Fläche $A$ in der obigen Formel abhängig ist von $r$. Die Fläche $A$ bei einem Hohlzylinder ist gegeben mit:

$A(r) = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot l$.

Einsetzen in die obige Formel:

$\alpha_w = \Large{\frac{\dot{Q}}{ 2 \cdot \pi \cdot r \cdot l \cdot \triangle T}}$

Es muss nun eine Wandseite ausgewählt werden (Innenwand oder Außenwand), um die Wärmeübergangszahl zu bestimmen. In europäischen Ländern ist es üblich die Wärmeübergangszahl auf die Außenwand des Hohlzylinders zu beziehen, in den USA können beide Wände (Innenwand oder Außenwand) gewählt werden. Es ist letzlich egal, welche der Wände gewählt wird, beide führen zum selben Ergebnis. Für die weiteren Betrachtungen wird die Außenfläche des Hohlzylinders mit dem Radius $r_a$ herangezogen:

Methode

$\alpha_{w,a} = \Large{\frac{\dot{Q}}{ 2 \cdot \pi \cdot r_a \cdot l \cdot \triangle T}}$ 


Es wird als nächstes der Wärmestrom $\dot{Q}$ eines Hohlzylinders (vorheriger Abschnitt) herangezogen:

$\dot{Q} =  \lambda_m \cdot \Large{\frac{2 \cdot \pi \cdot l}{\ln(r_a) - \ln(r_i)}} \cdot (T_i - T_a)$

Einsetzen in die obige Gleichung führt zur Wärmeübergangszahl in der Wand eines Hohlzylinders bezogen auf die Außenwand:

Methode

$\alpha_{w,a} = \Large{\frac{\lambda_m}{r_a \cdot (\ln (r_a) - \ln (r_i))}}$             Wärmeübergangszahl auf die Außenwand bezogen


Der Wärmestrom mit Berücksichtigung der Wärmeübergangszahl $\alpha_{w,a}$ ergibt sich dann zu:

Methode

$\dot{Q} =  \alpha_{w,a} \cdot r_a \cdot 2 \cdot \pi \cdot l \cdot (T_i - T_a)$   

mit

$\alpha_{w,a}$ = Wärmeübergangszahl, hier: bezogen auf die Außenwand.