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Wärmeübertragung: Wärmeleitung - Wärmestrom am Stabanfang

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Wärmeübertragung: Wärmeleitung

Wärmestrom am Stabanfang

In diesem Abschnitt soll der Wärmestrom, welcher vom Stab an die Umgebung abgegeben wird, aufgezeigt werden. 

Der Wärmestrom, welcher an die Umgebung abgegeben wird ist gleich dem Wärmestrom $\dot{Q}_1$, welcher durch den Stabquerschnitt bei $x = 0$ fließt:

Methode

$\dot{Q} = -\lambda \cdot A \cdot (\frac{dT}{dx})_{x = 0}$.

Merke

Wärmestrom an Anfang des Stabes ist gleich dem Wärmestrom, welcher insgesamt von dem Stab abgegeben wird.

Es wird zunächst ein Stab mit adiabaten Ende betrachtet, d.h. es erfolgt keine Wärmeabgabe am Stabende.

Es wird das Ergebnis der Differentialgleichung herangezogen und einmal abgeleitet:

$\frac{dT^2}{dx^2} = C_1 \cdot e^{-mx} + C_2 \cdot e^{mx}$


und damit

$\frac{dT}{dx} = -m \cdot C_1 \cdot e^{-mx} + m \cdot C_2 \cdot e^{mx}$


Für den Stabanfang gilt $x = 0$:

$\frac{dT}{dx} = -m \cdot C_1 \cdot e^{-m \cdot 0} + m \cdot C_2 \cdot e^{m \cdot 0}$


und damit:

$\frac{dT}{dx} = -m \cdot C_1 + m \cdot C_2$

$\frac{dT}{dx} = m \cdot (C_2 - C_1)$


Die Integrationstanten sind bereits im vorherigen Abschnitt ermittelt worden:

$C_1 = (T_1 – T_u) \cdot \frac{e^{mh}}{e^{mh} + e^{-mh}} $

$C_2 = (T_1 – T_u) \cdot \frac{e^{-mh}}{e^{mh} + e^{-mh}}$


Es gilt also für die Steigung am Stabanfang:

$\frac{dT}{dx} = m \cdot ((T_1 – T_u) \cdot \frac{e^{-mh}}{e^{mh} + e^{-mh}} - (T_1 – T_u) \cdot \frac{e^{mh}}{e^{mh} + e^{-mh}} )$

$\frac{dT}{dx} = m \cdot (T_1 – T_u) \cdot (\frac{e^{-mh} - e^{mh}}{e^{mh} + e^{-mh}}$


Es kann nun auch $tanh (\varphi) = \frac{e^{\varphi} – e^{-\varphi}}{e^{\varphi} + e^{-\varphi}}$ eingesetzt werden:

$\frac{dT}{dx} = m \cdot (T_1 – T_u) \cdot -tanh (mh)$


Einsetzen in den obigen Wärmestrom ergibt dann den an die Umgebung abgegebenen Wärmestrom (ohne Wärmeabgabe am Stabende):

Methode

$\dot{Q}_1 = \lambda \cdot A \cdot m \cdot (T_1 – T_u) \cdot tanh (mh)$


Der an die Umbgebung abgegebene Wärmestrom für einen Stab mit Wärmeabgabe am Ende ergibt sich zu (auf die Herleitung sei verzichtet):

Methode

$\dot{Q}_1 = \lambda \cdot A \cdot m \cdot (T_1 – T_u) \cdot \frac{tanh (mh) + \frac{\alpha_h}{m \cdot \lambda}}{1 + \frac{\alpha_h}{m \cdot \lambda} \cdot tanh (m \cdot h)}$