Kursangebot | Wärmeübertragung: Wärmeleitung | Wärmedurchgangswiderstand

Wärmeübertragung: Wärmeleitung

Wärmedurchgangswiderstand

Die Addition der gesamten Wärmedurchlasswiderstände $R$ der unterschiedlichen Schichten eines Körpers (z.B. einer Wand) und der Wärmeübergangswiderstände $R_s$ beider Grenzschichten des Körpers ergibt den Wärmedurchgangswiderstand $R_T$. 

Wärmedurchgangswiderstand = Wärmedurchlasswiderstände + Wärmeübergangswiderstände.

Methode

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$R_T = R + R_s$

Der Wärmedurchgangswiderstand $R_T$ zeigt an, wie groß der Wärmedurchgang durch einen Körper (z.B. durch eine Wand) ist. Je größer der Widerstand, desto geringer ist der Wärmedurchgang.

Der Wärmedurchgangswiderstand kann außerdem durch den Kehrwert der Wärmeübergangszahl $U$ bestimmt werden:

Methode

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$R_T = \frac{1}{U}$.

Beispiel: Bestimmung des Wärmeübergangskoeffizienten, der Wärmedurchlasskoeffizienten und der Wandtemperaturen

Beispiel

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Auf der Innenseite der Wand hat die Luft eine Temperatur von 18°C. Die Temperatur der Luft auf der Außenseite der Wand beträgt 2°C. Die Wand besitzt eine Dicke von 500 mm mit einer Wärmeleitfähigkeit von 1W/(m - K). Die Wärmeübergangszahl beträgt innen und außen 5 W/(m² K).

Bestimmen Sie

(a) den Wärmedurchlasswiderstand der Wand, den Wärmeübergangswiderstand der Grenzschicht sowie den Wärmedurchgangswiderstand,

(b) die Wärmestromdichte sowie Wandtemperaturen innen und außen!

Grafisch sieht das Ganze wie folgt aus:

Wärmedurchgangskoeffizient, Wärmedurchgangszahl

(a) Es wird zunächst der Wärmedurchlasswiderstand der Wand $R$ bestimmt:

$R = \frac{1}{\alpha_w}$


Die Wärmeübergangszahl der Wand $\alpha_w$ kann ermittelt werden durch:

$\alpha_w = \frac{\lambda}{s} $


Dabei ist $\lambda$ die Wärmeleitfähigkeit der Wand und $s$ die Wanddicke in Metern:

$\alpha_w = \frac{1 \frac{W}{m \cdot K}}{0,5 m} = 2 \frac{W}{m^2 \cdot K}$

Der Wärmewiderstand, welchen die Wand dem Wärmestrom entgegensetzt wird dann bestimmt zu:

Methode

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$R = \frac{1}{\alpha_w} = \frac{1}{2 \frac{W}{m^2 \cdot K}} = 0,5 \frac{m^2 \cdot K}{W}$  Wärmedurchlasswiderstand

Es wird als nächstes der Wärmeübergangswiderstand der Grenzschichten bestimmt. Dieser ergibt sich durch:

$R_s = \frac{1}{\alpha}$

Da beide Wärmeübergangszahlen $\alpha$ der Grenzschichten gleich sind, ergibt sich für beide Seiten einen Widerstand von:

Methode

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$R_{si} = R_{se} = \frac{1}{\alpha} = \frac{1}{5 \frac{W}{m^2 \cdot K}} = 0,2 \frac{m^2 \cdot K}{W}$.

Der Wärmedurchgangswiderstand ist der gesamte Widerstand, welcher dem Wärmestrom entgegengesetzt wird. Demnach werden die Widerstände miteinander addiert:

Methode

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$R_T = R_{si} + R + R_{se} = 0,2 \frac{m^2 \cdot K}{W} + 0,5 \frac{m^2 \cdot K}{W} + 0,2 \frac{m^2 \cdot K}{W} = 0,9 \frac{m^2 \cdot K}{W}$.


(b) Die Wärmestromdichte wird bestimmt durch:

$\dot{q} = \frac{\dot{Q}}{A}$


Es soll der gesamte Wärmestrom durch die Wand und die beiden Grenzschichten betrachtet werden. Dieser kann dem Abschnitt Wärmedurchgangszahl einer ebenen Wand entnommen werden:

$\dot{Q} =U \cdot A \cdot (T_{GR,1} - T_{GR,2})$

Die Wärmestromdichte ist demnach:

$\dot{q} =U \cdot (T_{GR,1} - T_{GR,2})$


Hierbei ist 

$U =  \frac{1}{\frac{1}{\alpha_1} + \frac{1}{\alpha_{w}} + \frac{1}{\alpha_2}}$.

Einsetzen der Werte:

$U = \frac{1}{\frac{1}{5 \frac{W}{m^2 \cdot K}} + \frac{1}{2 \frac{W}{m^2 \cdot K}} + \frac{1}{5 \frac{W}{m^2 \cdot K}} } = 1,11 \frac{W}{m^2 \cdot K}$

Alternativ einfach:

$U = \frac{1}{R_T} = \frac{1}{0,9 \frac{m^2 \cdot K}{W}} = 1,11 \frac{W}{m^2 \cdot K}$


Der Wärmestromdichte ergibt sich demnach durch:

Methode

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$\dot{q} =1,11 \frac{W}{m^2 \cdot K} \cdot (18 - 2)K = 17,76 \frac{W}{m^2}$


Die Wandtemperaturen können mittels der folgenden Gleichung bestimmt werden (siehe Abschnitt: Wärmedurchgangszahl einer ebenen Wand):

$\frac{T_{GR,1} - T_1}{T_{GR,1} - T_{GR,2}} = \frac{U}{\alpha_1}$

Auflösen nach $T_1$:

$T_1 = - \frac{U}{\alpha_1} \cdot (T_{GR,1} - T_{GR,2}) + T_{GR,1}$

Einsetzen der Werte:

Methode

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$T_1 = - \frac{1,11 \frac{W}{m^2 \cdot K}}{5 \frac{W}{m^2 \cdot K}} \cdot (18 - 2)K + 18 = 14,45 °C$.

Um $T_2$ zu bestimmen wird die folgenden Gleichung herangezogen:

$\frac{T_2 - T_{GR,2}}{T_{GR,1} - T_{GR,2}} = \frac{U}{\alpha_2}$

Auflösen nach $T_2$ und einsetzen der Werte:

$T_2 = \frac{U}{\alpha_2} \cdot (T_{GR,1} - T_{GR,2}) + T_{GR,2}$

Methode

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$T_2 = \frac{1,11 \frac{W}{m^2 \cdot K}}{5 \frac{W}{m^2 \cdot K}} \cdot (18 - 2) + 2 = 5,55 °C$