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Äußere Kräfte führen zu inneren Spannungen im Tragwerk. Die Spannungen geben Aufschluss bezüglich der auftretenden Materialbelastung infolge der äußeren Kräfte. Dieses Wissen ist für die Bestimmung der Tragfähigkeit und der Dimensionierung eines Bauteils sehr wichtig.
In der obigen Abbildung erzeugt die Bahn, beim Befahren der Hochtrasse, Spannungen in den darunterliegenden Bauteilen infolge von wirkenden Gewichtskräften.
Merke
Spannungen innerhalb des Bauteils resultieren also aufgrund von äußeren Belastungen. Wir können hier zwei Spannungen voneinander unterscheiden, die Normalspannung
Normalkraft
Um die Spannungen sichtbar zu machen, wird ein gedanklicher Schnitt durch das Bauteil durchgeführt. Wir betrachten zunächst die Normalspannungen:
Legen wir das obige
Methode
Die obige Gleichung wird herangezogen, wenn der Querschnitt des Bauteils über die gesamte Länge konstant ist. Ist der Querschnitt hingegen veränderlich, so muss die Berechnung mittels Integral erfolgen:
Methode
Querkraft
Als nächsten betrachten wir die Schubspannungen, welche auftreten, wenn äußere Kräfte in Richtung der
Die Schubspannung
Methode
Die obige Gleichung wird herangezogen, wenn der Querschnitt des Bauteils über die gesamte Länge konstant ist. Ist der Querschnitt hingegen veränderlich, so muss die Berechnung mittels Integral erfolgen:
Methode
Hinweis
Greift eine Kraft in
Biegemoment
Eine weitere Resultierende ist das Moment
Methode
Bei veränderlichem Querschnitt wird das Moment
Methode
Bei Betrachtung der
Die Schnittfläche am linken Teilkörper wird als linkes Schnittufer bezeichnet, die Schnittfläche am rechten Teilkörper als rechtes Schnittufer. Nach dem Wechselwirkungsprinzip sind die Schnittgrößen für beide Schnittufer gleich groß und entgegengesetzt gerichtet.
Es wird außerdem noch zwischen dem positiven und negativen Schnittufer unterschieden. Am positiven Schnittufer zeigen alle Schnittgrößen in positive Achsenrichtung bzw. drehen im positiven Drehsinn (Linksdrehung) um die Achsen. Betrachten wir also das obige
Zusammenfassung Schnittgrößen
Für die gerade Biegung ergeben sich die Schnittgrößen zu:
Methode
Bei nicht veränderlichen Querschnitten, also bei konstanten Spannungen, vereinfachen sich die Formeln zu:
Methode
Grundsätzlich sind nicht die Spannungen gegeben aus denen dann die Schnittgrößen berechnet werden sollen, sondern es werden die Schnittgrößen berechnet und daraus die Spannungen bestimmt. Die Vorgehensweise ist dann wie folgt:
Expertentipp
- Freischnitt
- Gegebenenfalls Kräftezerlegung durchführen
- Lagerkräfte aus den Gleichgewichtsbedingungen berechnen
- Schnitt(e) durch den Balken durchführen und Schnittgrößen abtragen (linkes oder rechtes Schnittufer).
- Schnittgrößen aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmen.
- Sind dann die zulässigen Normalspannungen gegeben, so können aus den Schnittgrößen mittels der obigen Formel die tatsächlich auftretenden Spannungen berechnet und mit den zulässigen Spannungen verglichen werden.
In den folgenden zwei Videos wird gezeigt, wie die Schnittgrößen bestimmt werden, wenn eine rechteckige Streckenlast gegeben ist:
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