Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Kurs: Elastostatik
    Kurs: Elastostatik
    Kurs: Elastostatik
    ... Schritt auf die Themen Stabbeanspruchung, Balkenbiegung, Torsion, Schub, Festigkeitshypothesen, sowie Stabilität und Knickung eingehen. Sie haben jederzeit die Möglichkeit Ihren Umgang mit Definitionen, Formeln und mathematischen Zusammenhängen anhand von Übungsaufgaben zu jedem Themenpunkt zu verbessern. Am Ende eines jeden Kapitels steht eine Abschlussprüfung an, welche das bereits erlernte Wissen aus dem jeweiligen Kapitel überprüft. Wenn Sie sich mit unserem Kurs auf eine Klausur ...
  2. Beanspruchungsarten
    Grundlagen > Beanspruchungsarten
    Beanspruchungsarten
    ... Zugbeanspruchung 3. Beanspruchung durch Biegung: Durch eine Belastung quer (vertikal) zur Bauteilachse treten Biegemomente auf. Durch die einwirkenden Kräfte entstehen bei dieser Beanspruchung Zug- und Druckspannungen am und im Bauteil.  1. Fall Die Kraft greift rechts unter dem "freien" Ende des Balken an. Zudem gehe man davon aus, dass die linke Seite des Balkens fest eingespannt sei. Dadurch entsteht ein Biegemoment. Einseitige Biegung 2. Fall Gleich verhält sich dies in ...
  3. Arten der Biegung
    Balkenbiegung > Arten der Biegung
    Arten der Biegung
    In der technischen Mechanik ist die Biegung eine der Belastungsarten, welche am häufigsten auftritt. Hierbei werden Bauteile betrachtet, dessen Längsabmessungen um einiges größer sind als deren Querschnitte, also z.B. Balken und Bögen. In diesem Abschnitt werden die verschiedenen Arten der Biegung aufgezeigt.  Es werden die zwei folgenden Arten der Biegung anhand der Art der Belastung voneinander unterschieden: Die reine Biegung: Bei der reinen Biegung erfolgt die Biegung des Bauteils ...
  4. Flächenträgheitsmomente
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente
    ... die Steifigkeit eines ebenen Querschnitts gegen Biegung. Nur mit dem Unterschied, dass der E-Modul den Werkstoff charakterisiert. Mit diesem Maß lassen sich Verformungen und Spannungen berechnen, die infolge von Biege- und Torsionsbeanspruchungen auftreten. Es ist also ein Maß für den Widerstand eines Bauteils gegen Biegung.   Das Flächenträgheitsmoment ist nicht zu verwechseln mit dem Trägheitsmoment, welches die Trägheit eines Körpers in Rotation beschreibt.  $\\$ Allgemein ...
  5. Flächenträgheitsmomente: Definition
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Flächenträgheitsmomente: Definition
    Flächenträgheitsmomente: Definition
    ... $ I_{yy} $ bzw. $ I_{zz}$ wird die Verbiegung eines Balkens unter Belastung in Abhängigkeit des Querschnitts umfassend beschrieben. Je größer das axiale Flächenträgheitsmoment, desto kleiner die Verbiegung und infolgedessen die im Querschnitt entstehenden inneren Belastungen. Es gilt, dass das axiale Flächenträgheitsmoment stets $ > 0 $ ist. Formal gilt: $\ I_{yy} = I_y = \int_A z^2 dA$        axiales Flächenträgheitsmoment bzgl. der $y$-Achse $\ I_{zz} = I_z = \int_A ...
  6. Hauptträgheitsmomente / Hauptachsen
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Hauptträgheitsmomente / Hauptachsen
    Hauptträgheitsmomente / Hauptachsen
    ... ob es sich um eine einachsige bzw. gerade Biegung oder zweiachsige bzw. schiefe Biegung handelt.
  7. Gerade bzw. einachsige Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung
    Gerade bzw. einachsige Biegung
    ... weiteren zunächst die gerade bzw. einachsige Biegung betrachtet. Dabei sei das Profil des betrachteten Balkens einfach oder doppelt symmetrisch bezüglich der $y,z$-Achsen. Das bedeutet, dass die $y,z$-Achsen des Querschnittes auch gleichzeitig die Hauptachsen darstellen. In den vorherigen Abschnitten wurde gezeigt, dass die Hauptachsen vorliegen, wenn die Flächenträgheitsmomente ihre Extremwerte annehmen. Hauptachsen sind alle Symmetrieachsen und die dazu senkrecht stehenden Achsen. Kann ...
  8. Reine Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Reine Biegung
    Reine Biegung
    Unter reiner Biegung versteht man einen Zustand, in welchem im Balken ein konstantes und querkraftfreies Biegemoment vorliegt. Der Zustand der reinen Biegung kann im gesamten Balken vorliegen oder nur in Teilbereichen.  Reine Biegung In der obigen Grafik ist die reine Biegung zu sehen. Bei dieser ist das Biegemoment konstant. Es sollen am Beispiel der reinen Biegung die Gleichungen für die Ermittlung der Spannungen und Deformationen bestimmt werden, die bei einer Biegung von Balken auftreten. ...
  9. Normalspannung bei reiner Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Reine Biegung > Normalspannung bei reiner Biegung
    Normalspannung bei reiner Biegung
    ... die Normalspannung für eine einachsige reine Biegung hergeleitet. Bei der reinen Biegung tritt keine äußere Kraft und damit auch keine Querkraft auf. Da sich die Querkraft aus der Ableitung des Biegemoments berechnet (siehe technische Mechanik I), gilt hier, dass bei einem konstanten Moment die Querkraft den Wert null annimmt: $M(x) = const.$   $\rightarrow \; M'(x) = 0$ $M'(x) = Q(x) \; \rightarrow \; Q(x) = 0$ . Alternativ kann man natürlich auch wieder einen Schnitt durch den ...
  10. Maximale Normalspannung bei reiner Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Reine Biegung > Maximale Normalspannung bei reiner Biegung
    Maximale Normalspannung bei reiner Biegung
    ... Abschnitt wird das durch die einachsige reine Biegung verursachte Spannungsmaximum und Spannungsminimum aufgeführt.  Normalspannungen In Bezug auf Beanspruchungen gilt, dass einem äußeren Moment (reine Biegung) innere Spannungen entgegen wirken. Bevor wir nun mit deren Bestimmung beginnen, treffen wir zuvor zwei Annahmen Annahme nach Bernoulli: Die Querschnitte bleiben bei einer Verformung eben. Annahme nach St. Vernant: Die Krafteinleitungsstelle darf nicht direkt neben einer Einspannung ...
  11. Widerstandsmoment bei reiner Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Reine Biegung > Widerstandsmoment bei reiner Biegung
    Widerstandsmoment bei reiner Biegung
    ... wird das Widerstandsmoment $W_b$ gegen Biegung eingeführt. Hiermit ist es möglich das Betragsmaximum der Spannung auszudrücken: $W_b = \frac{I_y}{z_{max}}$                        Widerstandsmoment Das Widerstandsmoment setzt das Flächenträgheitsmoment $I$ ins Verhältnis zum maximalen senkrechten Abstand $z_{max}$ der Randfaser zur neutralen (spannungsfreien) Faser. In der Randfaser treten die gesuchten maximalen Bauteilbeanspruchungen auf. Das Widerstandsmoment ist eine ...
  12. Querkraftbiegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Querkraftbiegung
    Querkraftbiegung
    In diesem Abschnitt soll die einachsige Querkraftbiegung veranschaulicht werden. Im Gegensatz zur reinen Biegung wirkt bei der Querkraftbiegung eine äußere Querkraft auf den Balken. Die Belastung findet in der $x,z$-Ebene statt. Das bedeutet, dass ein Moment um die $y$-Achse auftritt und zusätzlich eine Querkraft berücksichtigt werden muss.  Bei der Querkraftbiegung ist im Gegensatz zur reinen Biegung das Schnittmoment nicht konstant und somit veränderlich. Aus der Statik ist bekannt, ...
  13. Beispiel: Querkraftbiegung bei einachsiger Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Querkraftbiegung > Beispiel: Querkraftbiegung bei einachsiger Biegung
    Beispiel: Querkraftbiegung bei einachsiger Biegung
    ... Abschnitt soll ein Beispiel für die Querkraftbiegung bei einachsiger Biegung aufgezeigt werden.  Gegeben sei der obige Balken mit rechteckigem Querschnitt. Auf den Balken wirkt am Ende eine Kraft von $F = 150 N$. Bestimmen Sie die maximale Normalspannung und die maximale Schubspannung für den Schnitt bei $x = 3m$. Bestimmung der Auflagerreaktionen Zunächst werden die Auflagerreaktionen bestimmt, indem der Balken von außen freigeschnitten wird: Es werden die drei Gleichgewichtsbedingungen ...
  14. Beispiel: Spannungsmaximum bei reiner Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Beispiele: Normalspannungen bei einachsiger Balkenbiegung > Beispiel: Spannungsmaximum bei reiner Biegung
    Beispiel: Spannungsmaximum bei reiner Biegung
    Anwendungsbeispiel: Reine Biegung Gegeben sei der obige Balken mit einem einfach symmetrischen trapezförmigen Querschnitt. Der Balken ist fest eingespannt. Es soll das Widerstandsmoment und die maximale sowie minimale Normalspannung bestimmt werden. Zunächst wird der Balken freigeschnitten: Es folgt nun die Bestimmung der Lagerkräfte. Die Einspannung ist ein dreiwertiges Lager (siehe obige Grafik). Die Lagerkräfte werden am ungeschnittenem Balken mittels der drei Gleichgewichtsbedingungen ...
  15. Beispiel: Widerstandsmoment, zulässige Spannung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Beispiele: Normalspannungen bei einachsiger Balkenbiegung > Beispiel: Widerstandsmoment, zulässige Spannung
    Beispiel: Widerstandsmoment, zulässige Spannung
    Anwendungsbeispiel: Querkraftbiegung Beispiel Widerstandsmoment berechnen Gegeben sei der folgende Balken mit quadratischem Kastenquerschnitt der Dicke $b = 20 mm$, der Breite $a$ und der Länge $l = 20m$. Das zulässige $\sigma_{zul}$ sei $150 N /mm^2$ und darf nicht überschritten werden. Die äußere Belastung sei $F = 100kN$. Wie groß müssen die Seitenlängen $a$ dann sein? Da der Querschnitt vorgegeben ist, gilt folgende Gleichung: $\sigma_{zul} \ge \frac{|M_y|}{W_b}$   Berechnung ...
  16. Balkenverformung bei einachsiger Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung
    Balkenverformung bei einachsiger Biegung
    ... Balkens zu treffen. Die Verformung eines durch Biegung belasteten Balkens nennt man Durchbiegung. Die zugehörige Funktion hat den Ausdruck $ w(x) $ und beschreibt die Form der gebogenen Balkenachse. Die Definition für die Durchbiegung ist wie folgt: Unter der Durchbiegung eines Balkens versteht man die Biegelinie der neutralen Faser, die auch als elastische Linie bezeichnet wird.  Balkenverformung In den nachfolgenden Abschnitten werden u.a. die Differentialgleichung der Biegelinie bestimmt ...
  17. Differentialgleichung der elastischen Biegelinie
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Differentialgleichung der elastischen Biegelinie
    Differentialgleichung der elastischen Biegelinie
    ... der elastischen Biegelinie für eine einachsige Biegung hergeleitet.  Man erinnere sich an die Spannungsberechnung für die gerade Biegung, von dort ist folgende Gleichung bekannt: $ M_y = E\cdot I_{y} \varphi' $  Ferner ist auch diese Gleichung interessant: $\tau_{xz} = G\gamma_{xz} = G(w' + \varphi) $ Und zuletzt die Gleichung zur Berechnung der Querkraft: $ Q = \int_A \tau_{xz} dA $ Setzt man nun die 2. Gleichung in die 3. Gleichung ein, so folgt daraus:  $ Q = \int_A G(w' + \varphi) ...
  18. Lösung der Differentialgleichung (elastische Biegelinie)
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Lösung der Differentialgleichung (elastische Biegelinie)
    ... auftritt. Es wird immernoch die einachsige Biegung betrachtet. Auflösen der Differentialgleichung der Biegelinie Um die Differentialgleichung zu lösen, startet man mit der Differentialgleichung der Biegelinie und integriert diese zweimal: $EI \cdot w'' = - M_y(x)$ mit $EI$ Biegesteifigkeit $E$ Elastizitätsmodul $I_y$ Flächenträgheitsmoment bezüglich der y-Achse (Querschnitt) $M_y(x)$ Momentenverlauf (Schnittgröße) Zur Integration muss diese Gleichung aber gegebenenfalls ...
  19. Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle
    Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle
    ... Randbedingungen Dabei gilt für die gerade Biegung: $EIw'' = -M(x)$ $EIw''' = -Q(x)$ $EIw^{IV} = q(x)$
  20. Lösung von Einbereichsaufgaben (Biegelinie)
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle > Lösung von Einbereichsaufgaben (Biegelinie)
    Lösung von Einbereichsaufgaben (Biegelinie)
    ... durch eine Kraft $F$ belastet wird (Querkraftbiegung). Ferner wird angenommen, dass der Balkenquerschnitt über den gesamten Verlauf konstant ist.  1. Bestimmung der Lagerreaktionen Nachdem der Balken freigeschnitten wurde, werden die Lagerreaktionen bestimmt: $\uparrow: A_v - F = 0 \; \rightarrow \; A = F$ Da $A_h = 0$ (aus der horizontalen Gleichgewichtsbedingung), wird im Folgenden $A_v = A$ verwendet. $ \curvearrowleft{A}: M_A - F \cdot l = 0 \; \rightarrow \; M_A = F \cdot l$. 2. ...
  21. Biegelinie mit Streckenlast
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle > Biegelinie mit Streckenlast
    Biegelinie mit Streckenlast
    ... Anwendungsbeispiel 1: Bestimmung der Durchbiegung Gegeben sei der obige Balken, auf dem eine Streckenlast wirkt. Die Biegesteifigkeit sei konstant. Bestimme die Biegelinie! Die Formel für die Berechnung der Biegelinie ergibt sich zu: $EIw^{IV} = q(x)$ Die Streckenlast ist über die gesamte Balkenlänge konstant, weshalb $q(x) = q_0$: $EIw^{IV} = q_0$ Es folgt die 1. Integration: $EIw^{III} = \int q_0 \; dx$ $EIw^{III} = q_0 \cdot x + C_1$ 2. Integration: $EIw^{II} = \int ...
  22. Lösung von Mehrbereichsaufgaben (Biegelinie)
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle > Lösung von Mehrbereichsaufgaben (Biegelinie)
    Lösung von Mehrbereichsaufgaben (Biegelinie)
    ... Balkenlänge vor mit derer sich die Durchbiegung bestimmen lässt, sondern eine abschnittsweise Bestimmung des Momentenverlaufs. Das führt zu zwei Änderungen gegenüber dem vorherigen Schema: 1. Die Differentialgleichung der Biegelinie muss abschnittsweise integriert werden. 2. Neben den Randbedingungen sind nun Übergangsbedingungen für die Übergänge zweier Bereiche zu formulieren.  Unter der Berücksichtigung dieser beiden Punkte lässt sich nun die folgende Aufgabe lösen. Beispiel: ...
  23. Superpositionsprinzip
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Superpositionsprinzip
    Superpositionsprinzip
    ... Beispiel wäre die Lösung für die Gesamtdurchbiegung: $ w_{1,2,3} (x) = w_1(x) + w_2(x) + w_3(x) $  Für die Bestimmung der Einzellösungen verwendet man die bereits bekannten Methoden aus den vorangegangenen Abschnitten.  Anwendungsbeispiel 1: Überlagerung  Beispiel: Überlagerung In der obigen Abbildung ist ein fest eingespannter Balken zu sehen, an welchem die äußere Belastung $F$ am Ende des Balkens angreift und zusätzlich noch ein Moment $M$. Es wird nun die Durchbiegung ...
  24. Statisch unbestimmt gelagerte Balken
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Statisch unbestimmt gelagerte Balken
    Statisch unbestimmt gelagerte Balken
    ... das einwertige Lager $B$ und beginnt die Durchbiegung durch $F$ und $B$ zu berechnen. Kraft F Die Berechnung für ein solches Problem wurde bereits im vorherigen Abschnitt (2. Anwendungsbeispiel) durchgeführt bzw. ist aus der Tabelle im Anhang dieses Kapitels zu entnehmen (unter Durchbiegung). Hier muss allerdings die Länge angepasst werden: $w_F (x = 2a) = \frac{Fa^3}{3EI} + \frac{Fa^2}{2EI} \cdot b$ Die Anpassung erfolgt, indem $b = a$ gesetzt wird: $w_F (x = 2a) = \frac{Fa^3}{3EI} ...
  25. Übersicht Formeln: Einachsige Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Übersicht Formeln: Einachsige Biegung
    ... aufgezeigten Formeln für die einachsige Biegung ohne Normalkraft. Dabei ist immer von einer Belastung des Balkens in $z$-Richtung ausgegangen worden, was zu einem Biegemoment um die $y$-Achse geführt hat. Es ist natürlich ebenfalls möglich, dass die Belastung in $y$-Richtung stattfindet und damit ein Moment um die $z$-Achse resultiert. Die Formeln werden dann wie folgt angepasst: $M(y) = M(z)$ $Q_z = Q_y$ $z = y$ Die im Folgenden aufgestellen Formeln gelten für symmetrische Querschnitte, ...
  26. Schiefe bzw. zweiachsige Biegung
    Balkenbiegung > Schiefe bzw. zweiachsige Biegung
    Schiefe bzw. zweiachsige Biegung
    ... und die Biegelinie für die einachsige Biegung bestimmt werden können. Bei der einachsigen Biegung (Belastung in der $x,z$-Ebene) erfolgte die Durchbiegung in Richtung der Hauptachse $z$. Das Biegemoment $M_y$ wirkte demnach um die Hauptachse $y$ des Querschnitts. In den folgenden Abschnitten wird nun die zweiachsige bzw. schiefe Biegung betrachtet (ohne Zug-/Druckkraft). Hierbei wirkt das Moment nicht mehr nur um eine Hauptachse, sondern um beide Hauptachsen. Eine zweiachsige Biegung ...
  27. Gerade und schiefe Biegung mit Zug
    Balkenbiegung > Gerade und schiefe Biegung mit Zug
    ... Abschnitten ist die gerade und schiefe Biegung betrachtet worden. Dabei wurden Kräfte entlang der Balkenachsen vernachlässigt. In diesem Abschnitt soll die Bestimmung der Normalspannung für Balken betrachtet werden, welche zusätzlich auf Zug oder Druck belastet werden. Aus dem zweiten Kapitel ist bekannt, dass die Normalspannung für einen auf Zug belasteten Balken bestimmt wird durch: $\sigma = \frac{N}{A}$ Für die in den vorherigen Abschnitten aufgeführten Formeln, muss diese ...
  28. Balkenverformung infolge von Schub
    Schub > Balkenverformung infolge von Schub
    Balkenverformung infolge von Schub
    ... infolge von Schub eingegangen. Im Kapitel Biegung ist bereits die Durchbiegung des Balkens betrachtet worden. Dort wurde die Differentialgleichung der Biegelinie hergeleitet, wobei davon ausgegangen wurde, dass der Balken schubstarr ist und die Bernoullische Normalenhypothese gilt. Die Differentialgleichung der Biegelinie für gerade Biegung ergab dabei: $w''_B = -\frac{M_y}{EI_y}$ Es wurde hier nun der Index $B$ eingeführt, um zu zeigen, dass es sich bei dieser Gleichung nur um den reinen ...
  29. Schub bei dünnwandigen Profilen
    Schub > Schub bei dünnwandigen Profilen
    Schub bei dünnwandigen Profilen
    ... Hauptachsen darstellen und damit gerade Biegung gegeben ist. Eine erste Abschätzung darüber, wie groß die auftretenden Schubspannungen aufgrund der äußeren Belastung sind, gibt die mittlere Schubspannung: $\tau_{mittel} = \frac{Q_z}{A}$ Bei dünnwandigen Profilen fällt die Querschnittsfläche $A$ üblicherweise sehr klein aus. Das bedeutet, dass große Schubspannungen auftreten. Wie groß die sind, dass soll in den folgenden Abschnitten gezeigt werden.  In den kommenden Abschnitten ...
  30. Eulersche Fälle der Stabknickung
    Stabilität und Knickung > Eulersche Fälle der Stabknickung
    Eulersche Fälle der Stabknickung
    ... dieser Fälle gelten neben den Annahmen zur Biegung eines Balkens nach Bernoulli weiter: 1. Neben den Randbelastungen seitens der Stabachse treten keine weiteren Belastungen auf. 2. Verschiebungen längs der Stabachse werden vernachlässigt. 3. Die Achsen, die nicht mit der Stabachse zusammenfallen, sind die Hauptzentralachsen. 4. Flächenmittelpunkt und Schubmittelpunkt sind deckungsgleich. 5. Die Belastung der Stabendkraft entspricht einer zentrierten Druckkraft.
  31. Kritische Knickkraft
    Stabilität und Knickung > Eulersche Fälle der Stabknickung > Kritische Knickkraft
    Kritische Knickkraft
    In diesem Abschnitt soll aufgezeigt werden, wie man die kritische Knickkraft $F_K$ bestimmt. Bei der kritischen Knickkraft $F_K$ handelt es sich um die kleinst mögliche Druckkraft, bei welcher der Stab knickt. Zur Berechnung der kritischen Knickkraft $F_K$ müssen folgende Daten gegeben sein: - Geometrie des Stabes, - Lagerbedingungen, - Querschnittsform des Stabes und - Kenntnis über den Werkstoff [E-Modul]. Mit der Kenntnis über den Werkstoff lässt sich das E-Modul (aus Tabellen) ...
Technische Mechanik 2: Elastostatik
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Maschinenelemente 1

  1. Beanspruchungsanalyse
    Berechnungsgrundlagen > Beanspruchungsanalyse
    Beanspruchungsanalyse
    ... fort. Art der Belastungsgrößen: Zug, Druck, Biegung, Torsion Zeitlicher Verlauf der Belastungsgrößen: statisch, dynamisch (sinusförmig), regellos. Zeitliche Verläufe: Beanspruchungen im Zeitverlauf
  2. Grundbelastungsarten von Bauteilen
    Berechnungsgrundlagen > Grundbelastungsarten von Bauteilen
    ... den Grundbelastungsarten:  Zug und Druck, Biegung, [Trägheitsmoment] Querkraft und  Torsion. Aus diesem Grund ist es naheliegend, dass bei der Berechnung von Maschinenbauteilen sämtliche Beanspruchungen auf genau diese Grundbelastungsarten  zurückgeführt werden.  In den nachfolgenden Kurstexten werden wir nacheinander auf die einzelnen Grundbelastungsarten eingehen.
  3. Hooksche Gesetz
    Berechnungsgrundlagen > Grundbelastungsarten von Bauteilen > Bestimmung der Zugkraft > Hooksche Gesetz
    ... die nun folgenden Grundrechnungen zu Druck, Biegung, etc.  Anwendungsbeispiel: Berechnung Elastizitätsmodul Das Elastizitätsmodul $E$ für einen Stab soll durch einen Zugversuch ermittelt werden. Hierzu wird ein Rundstab mit einem Durchmesser von $d = 10 mm$ und einer Anfangsmesslänge $l_0 = = 50 mm$ verwendet. Auf der geradlinig verlaufenden Stabachse wirkt eine Kraft $F = 10 kN$. Diese Kraft $F$ führt dazu, dass der Stab sich um $\triangle = 0,5 mm$ verlängert. 1) Wie groß ...
  4. Bestimmung und Berechnung der Biegung
    Berechnungsgrundlagen > Grundbelastungsarten von Bauteilen > Bestimmung und Berechnung der Biegung
    Bestimmung und Berechnung der Biegung
    Nach Art der Belastung kann die Biegung in zwei unterschiedliche Biegungsarten unterschieden werden: Die reine Biegung = Querkraftfreie Biegung:Hier entsteht die Biegung durch das Aufbringen zweier Biegemomente an den Enden eines Balkens. Vertikal gerichtete Kräfte (Querkräfte) treten hier nicht auf. Es entstehen demnach nur Normalspannungen $\sigma$. Die Querkraft-Biegung: Die Biegung wird hier verursacht durch eine vertikale Kraft (Querkraft), welche auf den Balken drückt. Neben dem Biegemoment, ...
  5. Bestimmung und Berechnung der Normalspannungen bei Biegung
    Berechnungsgrundlagen > Grundbelastungsarten von Bauteilen > Bestimmung und Berechnung der Normalspannungen bei Biegung
    Bestimmung und Berechnung der Normalspannungen bei Biegung
    In diesem Abschnitt werden die durch reine Biegung oder Querkraft-Biegung verursachten Normalspannungen $\sigma$ aufgeführt.  Normalspannungen In Bezug auf Beanspruchungen gilt, dass einem äußeren Moment innere Spannungen entgegen wirken. Bevor wir nun mit deren Bestimmung beginnen, treffen wir zuvor zwei Annahmen Annahme nach Bernoulli: Die Querschnitte bleiben bei einer Verformung eben. Annahme nach St. Vernant: Die Krafteinleitungsstelle darf nicht direkt neben einer Einspannung liegen, ...
  6. Bestimmung und Berechnung der Schubkraft bei Biegung
    Berechnungsgrundlagen > Grundbelastungsarten von Bauteilen > Bestimmung und Berechnung der Schubkraft bei Biegung
    Bestimmung und Berechnung der Schubkraft bei Biegung
    Bei reiner Biegung treten nur die im vorherigen Abschnitt gezeigten Normalspannungen $\sigma$ auf. Bei Querkraft-Biegung treten neben den im vorherigen Abschnitt gezeigten Normalspannungen $sigma$ zusätzlich noch Schubspannungen $\tau$ auf. Da auch hier nur die größte Beanspruchung von Interesse ist, verwendet man den Begriff Widerstandsmoment. Im Folgenden werden wir zuerst die möglichen Folgen einer Schubbeanspruchung visualisieren. Schubspannungen am mehrschichtigen Balken Auf der ...
  7. Bestimmung und Berechnung der Torsion
    Berechnungsgrundlagen > Grundbelastungsarten von Bauteilen > Bestimmung und Berechnung der Torsion
    Bestimmung und Berechnung der Torsion
    ... dieser Gleichung lässt sich wie im Fall der Biegung die Gebrauchsformel ableiten: $\tau_{T max} = \frac{T}{W_p} \le \tau_{zul} $ Das Widerstandsmoment $ W_p $ ergibt sich durch $\ W_p = W_y  + W_z $ oder $ W_p = \frac{J_p}{r} $ Hier verwendet man zur Berechnung der Torsion den Gleichungsaufbau wie bei Kreisquerschnitten und bildet Rechenwerte für das Trägheitsmoment $ J* $ und das Widerstandsmoment $ W* $, die das entsprechende Verhalten annähernd wiedergeben. In beinahe jedem Fall können ...
  8. Zusammengesetzte Beanspruchungen
    Berechnungsgrundlagen > Zusammengesetzte Beanspruchungen
    Zusammengesetzte Beanspruchungen
    ... ausgesetzt ist. Es tritt eine Normalkraft, eine Biegung, eine Querkraft und eine Torsion am Stab auf.  Normalspannungen und Schubspannungen am Stab Unter dem Stab sehen Sie die unterschiedlichen Verteilungen der Spannungen und deren Addition.  Man fasst alle Normalspannungen $\sigma $ und alle Schubspannungen $\tau $ zusammen.  Durch die Addition der Spannungskomponenten erhält man den Spannungszustand, der schließlich im Spannungstensor $\gamma $ zusammengefasst wird.  Spannungstensor Der ...
  9. Wöhler-Kurve und Smith-Diagramm
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Beanspruchungsfälle und Werkstoffkennwerte > Wöhler-Kurve und Smith-Diagramm
    Wöhler-Kurve und Smith-Diagramm
    ... für jede Belastung, wie Zug/Druck, Torsion und Biegung, separat ermittelt.  Anfertigung eines Smith-Diagramm Die Aufstellung der Wöhlerlinien und der Dauerfestigkeitsdiagramme (Smith-Diagramm) beruht auf der statistischen Auswertung vieler Versuche. Speziell für die Anfertigung eines Smith-Diagramms liegen viele Maschinenbauwerkstoffkennwerte vor. Sollte der Fall eintreten, dass für einen interessierenden Werkstoff und Belastungsfall keine Versuchsergebnisse vorliegen, so kann ein vereinfachtes ...
  10. Kerbwirkung und konstruktive Gestaltung
    Kerbwirkung und konstruktive Gestaltung
    Kerbwirkung und konstruktive Gestaltung
    ... abhängig von der Belastungsart (Zug, Torsion, Biegung). Für jede Belastungsart existiert eine Formzahl! Sie ist abhängig von der Kerbgeometrie, Je nach Belastungsart hat die Formzahl eine unterschiedliche Größe: $\alpha_{k Zug} > \alpha_{k Biegung} > \alpha_{k Torsion} $ Liegen keine Kenntnisse bezüglich der Belastungsart vor, so wählt man die Biegungs- oder Torsions-Formzahl. Kerbengeometrie In der nächsten Abbildung sehen Sie das Schema einer Kerbe. In die Abbildung sind ...
  11. Kerbwirkung unter dynamischer Beanspruchung
    Kerbwirkung und konstruktive Gestaltung > Kerbwirkung unter dynamischer Beanspruchung
    ... Kerbwirkungszahl: $\beta_{k Zug} > \beta_{k Biegung} > \beta_{k Torsion} $ Sonderfall: Spröde Werkstoffe unter dynamischer Belastung Liegt ein spröder Werkstoff vor, so wird das beschriebene Mikrogleiten erschwert, weshalb hier Spröder Werkstoff $\beta_k \rightarrow \alpha_k $ gilt. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von der Kerbempfindlichkeit der Werkstoffe. Um ein Mikrogleiten dennoch zu begünstigen, werden hoch beanspruchte Bauteil in der Herstellung nicht durchgehärtet. ...
  12. Beispiel zur Berücksichtigung der Kerbwirkung
    Kerbwirkung und konstruktive Gestaltung > Beispiel zur Berücksichtigung der Kerbwirkung
    Beispiel zur Berücksichtigung der Kerbwirkung
    ... der dimensionslosen Kerbformzahl für Biegung [aus Tabelle] $ \alpha_{kb} = 3,0 $ erhalten wir für die Maximalspannung: Maximal zulässige Biegebeanspruchung: $\sigma_{bmax} = \alpha_{kb} \cdot \sigma_{zb} = 3,0 \cdot 38,2 \frac{N}{mm^2} = 114,6 \frac{N}{mm^2}$. Torsionsbeanspruchung: Als letzte Größe bestimmen wir die Spannung, die infolge der Torsion auftritt. Die allgemeine Gleichung ist $\tau_{tn} = \frac{T}{W_p}$. $ \rightarrow $ Daraus folgt für die Torsionsbeanspruchung: Torsionsbeanspruchung: $\tau_{tn} ...
  13. Eigenschaften einer Stiftverbindung
    Verbindungen und Verbindungselemente > Formschlüssige Verbindungen > Bolzen und Stifte > Eigenschaften einer Stiftverbindung
    Eigenschaften einer Stiftverbindung
    ... der Flächenpressung, der Scherung und der Biegung. Längs- und Tangentialstifte hingegen sind nicht zur Übertragung größerer und dynamischer Kraftgrößen geeignet und ergeben zusätzlich Probleme bei der Montage.  Um ihrer Pass- und Positionierfunktion gerecht zu werden, bohrt und reibt man die Stifte erst bei der Montage vor Ort. Zudem findet ein Einbau zumindest teilweise unter Vorspannung statt. Diese Vorspannung wird durch elastische und teilweise plastische Verformung des ...
  14. Festigkeitsberechnung einer Bolzen- und Stiftverbindung
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Verbindungen und Verbindungselemente > Formschlüssige Verbindungen > Bolzen und Stifte > Festigkeitsberechnung einer Bolzen- und Stiftverbindung
    Festigkeitsberechnung einer Bolzen- und Stiftverbindung
    ... bezüglich der Versagensursache Abscheren und Biegung  In der nächsten Abbildung sehen Sie einen eingeschlagenen Bolzen, der durch eine Kraft $ F $ belastet wird.  Bolzen mit zusätzlichen Biegespannungen Es treten sowohl Scherspannung als auch Biegespannungen auf. Die Scherspannung ergibt sich wie oben durch $\tau_a = \frac{F}{A} $. Neu sind nun die zusätzlich auftretenden Biegespannungen infolge der Kraft $ F $. Formal beschrieben wird die Biegespannung durch: Biegespannung: $\sigma_b ...
  15. Sicherungsringe, Splinte und Federstecker
    Verbindungen und Verbindungselemente > Formschlüssige Welle-Nabe-Verbindungen > Sicherungsringe, Splinte und Federstecker
    Sicherungsringe, Splinte und Federstecker
    ... werden wie Wellen auf Abscherung sowie Biegung beansprucht. Infolge der Belastung treten hohe Kerbwirkung auf. Aus diesen beiden Gründen stellt man die Ringe aus Federstahl her. Bei hohen Anforderungen an die Sicherheit kann ein radial formschlüssige Halterung des Ringes durch Überdeckung durch die Nabe vorgenommen werden. Wegen der oben erwähnten hohen Kerbwirkung der Nuten empfiehlt es sich die Ringe ausschließlich an den biegungsfreien Enden von Bolzen, Achsen oder Wellen anzuordnen.  Axiale ...
Maschinenelemente 1
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Maschinenelemente 2

  1. Elastische Verbindungselemente
    Elastische Verbindungselemente
    Elastische Verbindungselemente
    ... werden $\rightarrow $ Lastabhängige Biegung, temperaturäbhängige VerformungEs können kraftgesteuerte Bewegungen erzeugt werden $\rightarrow $ SicherheitsventileEs können Kraftverformungszusammenhänge erzeugt werden $\rightarrow $ Federwaagen zum Wiegen von LKW-Ladungen, Drehmomentschlüssel  Beeinflussung des dynamischen Verhaltens eines Systems: Ändert sich das dynamische Verhalten eines Systems [Maschine], so entstehen Stöße und Schwingungen, die eine Resonanz erzeugen. ...
  2. Biegebeanspruchung von Federn
    Elastische Verbindungselemente > Elastisches Verhalten von Federn > Metallfedern > Biegebeanspruchung von Federn
    Biegebeanspruchung von Federn
    ... Bei diesen Biegebeanspruchten Feder stellt die Biegung die überwiegende Beanspruchung dar.  Blattfedern (historisch) Einfache Blattfedern Einfache Blattfedern kommen meistens als Andrückfedern von Schiebern und Ankern, oder als Kontaktfedern in Schaltern zum Einsatz. In weiteren Anwendungen werden sie als Führungsfedern genutzt.  Schema einer Blattfeder In der nächsten Abbildung sehen Sie eine Blattfeder, die einer Biegebeanspruchung unterliegt.  Biegebeanspruchte Blattfeder Dabei ...
  3. Wellen und Achsen
    Wellen und Achsen
    Wellen und Achsen
    ... und unterliegen Torsionsbelastungen sowie Biegungen. Die Belastung durch Quer- und Längskräfte ist zwar vorhanden, aber vernachlässigbar klein.  In den kommenden Kurstexten werden wir die für Achsen und Wellen notwendigen Berechnungen durchführen. Den Anfang macht hierbei die Trägfähigkeitsberechnung im folgenden Kurstext. 
  4. Tragfähigkeitsnachweis
    Wellen und Achsen > Tragfähigkeitsnachweis
    Tragfähigkeitsnachweis
    ... es sich um Belastungen durch Torsion oder Biegung.  Tragfähigkeitsnachweis Der Tragfähigkeitsnachweis, oder auch Festigkeitsrechnung, von Wellen und Achsen muss die nachfolgenden spezifischen Probleme berücksichtigen:  I Belastungen und Geometrie Trennung von statischen und dynamischen Lasten $\rightarrow \sigma_V $ für beiden bestimmen $ \rightarrow $ Smith-Diagramm. Wellen und Naben sind durch Spannungen aus unterschiedlichen Lastgrößen beansprucht, welche wiederum unterschiedliche ...
Maschinenelemente 2
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