Technische Mechanik 1: Statik

  1. Resultierende grafisch bestimmen
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende grafisch bestimmen
    Parallelogrammkonstruktion
    ... vorzuziehen. Räumliche VektoradditionAnwendungsbeispiel: Grafische VektoradditionBeispiel: Grafische VektoradditionGegeben seien die obigen 5 Vektoren. Für diese soll mittels grafischer Vektoraddition die Resultierende bestimmt werden. Zunächst ist es für die grafische Vektoraddition notwendig, dass die Vektoren ihren Beträgen entsprechend Abmessungen erhalten. Größere Kräfte erhalten demnach größere Abmessungen, als kleinere Kräfte. ...
  2. Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende analytisch bestimmen > Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie
    Addition von Krften
    ... Wirkungslinie wie die beiden Kräfte.Anwendungsbeispiel: Kräfte mit gemeinsamer WirkungslinieGegeben sei der obige Balken mit den zwei Kräften $F_1 = 37 N$ und $F_2 = 15 N$. Wie groß ist die Resultierende? In welche Richtung zeigt die Resultierende?Es wird zunächst die Vorzeichenkonvention so festgelegt, dass Kräfte die nach oben wirken positiv eingehen und Kräfte die nach unten wirken negativ:$\uparrow: R = F_2 - F_1 = 15N - 37 N = -22N$Da die Resultierende ...
  3. Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende analytisch bestimmen > Kräfte mit unterschiedlicher Wirkungslinie > Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
    Dreieck
    ... veranschaulicht:Das Video wird geladen...Anwendungsbeispiel: Kräfte im nichtrechtwinkligen DreieckGegeben seien folgende Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt und dem eingeschlossenen Winkel $\gamma$.Beispiel: Kräfte im nichtrechtwinkligen DreieckDer Betrag der Resultierenden und ihre Wirkrichtung soll berechnet werden.Um den Betrag zu ermitteln wird der Kosinussatz angewandt:1. Möglichkeit$R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2 \cdot F_1 \cdot F_2 \cdot \cos (\gamma)}$$R = ...
  4. Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende analytisch bestimmen > Kräfte mit unterschiedlicher Wirkungslinie > Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
    Krftezerlegung
    ... KräftegruppeAnwendungsbeispiel: KomponentendarstellungGegeben sei die folgende Darstellung der Kräfte $F_1$, $F_2$ und $F_3$ mit gleichem Angriffspunkt, sowie deren Winkel gemessen zur positiven $x$-Achse:Beispiel Berechne den Betrag der Resultierenden und ihre Richtung!In der obigen Grafik sind die Kräfte und ihre Winkel gemessen zur $x$-Achse angegeben. Diese Kräfte müssen zunächst jeweils in Komponenten zerlegt werden, welche ...
  5. Kräftegleichgewicht bei mehr als zwei Kräften
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Kräftegleichgewicht in der Ebene > Kräftegleichgewicht bei mehr als zwei Kräften
    Krftegleichgewicht ermitteln
    ... Kräfte zu berechnen. Anwendungsbeispiel: KräftegleichgewichtMan hängt ein Bild mit Hilfe eines Faden an einem in die Wand eingeschlagenen Nagel auf. Siehe hierzu die nachfolgende Abbildung: Beispiel: KräftegleichgewichtIn diesem Beispiel treten drei Kräfte auf. Die Gewichtskraft $ F_G $ wirkt senkrecht nach unten und durch die Aufhängung entstehen 2 Seilkräfte $ F_1 $ und $ F_2 $, welche im jeweils gleichen Winkelmaß nach oben ...
  6. Kräftegleichgewicht im Raum
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Kräftegleichgewicht im Raum
    Beispiel: Krftegleichgewicht im Raum
    ... F_{iy} = 0, \sum F_{iz} = 0$. Anwendungsbeispiel: Kräftegleichgewicht im RaumBeispiel: Kräftegleichgewicht im RaumDie obige Grafik zeigt das Gelenk $C$, welches sich im Gleichgewicht befindet. Auf das Gelenk wirken die Stabkräfte 1 und 2, die Seilkraft 3 und die Gewichtskraft G. Die Stab- und Seilkräfte wirken als Zugkräfte. All diese Kräfte bewirken, dass das Gelenk im Gleichgewicht bleibt. Die Gewichtskraft sei gegeben mit 10 Newton. Ebenfalls gegeben ...
  7. Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    Parallele Krfte
    ... von statischen Problemen sein wird.   Anwendungsbeispiel: Kräfte mit parallelen WirkungslinienGegeben sei die obige Grafik, in welcher zwei Kräfte $F_1 = 10 N$ und $F_2 = 5 N$ auf parallelen Wirkungslinien im Abstand von $h = 8 m$ auf den Balken wirken. Wie groß ist die Resultierende der beiden Kräfte und wo genau liegt sie?Um nun die Resultierende der beiden Kräfte zu bestimmen, werden die Gleichgewichtskräfte $ F_h $ und $ - F_h $ hinzugefügt. Diese ...
  8. Resultierende ebener Kräftegruppen
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Resultierende ebener Kräftegruppen
    Beispiel: Resultierende ebener Krftegruppen
    ... für die Wirkweise der Momente.  Anwendungsbeispiel: Resultierende ebener KräftegruppenBeispiel: Resultierende ebener KräftegruppenGegeben sei ein gleichseitiges Sechseck, welches durch vier Kräfte $F_1$ und $F_2$ belastet wird. Die Kräfte $F_1$ haben den Betrag von 10 N, die Kräfte $F_2$ den Betrag von 20 N. Für den Ursprung des Koordinatensystems soll der Bezugspunkt $A$ (genau die Mitte des Sechsecks) gewählt werden. Wie groß ist die Resultierende ...
  9. Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    Beispiel: Gleichgewicht ebener Krftegruppen
    ... = 0$    GleichgewichtsbedingungAnwendungsbeispiel 1: Gleichgewichtsbedingungen ebener KräftegruppenBeispiel: Gleichgewicht ebener KräftegruppenAn welcher Stelle muss das Lager angebracht werden, damit sich der gewichtslose Balken im Gleichgewicht befindet? Wie groß ist die Lagerkraft?Die beiden Kräfte $F_1$ und $F_2$ sind vertikal gerichtet, weshalb auch die Lagerkraft $F_L$ vertikal gerichtet sein muss. Es wird der Bezugspunkt $X$ gewählt und der Abstand ...
  10. Räumliche Zusammensetzung von Kräften
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Räumliches Kräftesystem > Räumliche Zusammensetzung von Kräften
    Krfte im Raum
    ... = 0$$M^{(X)}_{R_z} = \sum M^{(X)}_{iz} = 0$.Anwendungsbeispiel: Kräfte im RaumKräfte im RaumGegeben sei der obige Quader auf den die 6 Kräfte $F_1$ bis $F_6$ wirken. Die Seitenlängen sind gegeben mit $a = 5m$, $b = 5m$ und $c = 10m$. Die Beträge der Kräfte sind der Grafik zu entnehmen. Berechne die Resultierende sowie das Moment für den Bezugspunkt $X$.Die Resultierende wird aus den drei Teilresultierenden $R_x$, $R_y$ und $R_z$ berechnet. Dazu benötigt ...
  11. Einzelne parallele Kräfte
    Schwerpunkte > Einzelne parallele Kräfte
    Haltekraft
    ... um den Balken im Gleichgewicht zu halten.Anwendungsbeispiel: Haltekraft bei parallelen EinzelkräftenHaltekraftIn der obigen Grafik sind die Kräfte $F_1 = 10 kN$, $F_2 = 20 kN$, $F_3 = 15 kN$ und $F_4 = 18 kN$ abgebildet, die alle parallel zueinander sind und auf den gewichtslosen Balken wirken. Es stellt sich die Frage, wie groß die Haltekraft $H$ sein muss, damit der Balken im Gleichgewicht ist. Es wird insbesondere der Punkt gesucht, in dem die Haltekraft angreifen muss.Der ...
  12. Lagerreaktionsberechnung ebener Tragwerke
    Lagerreaktionen > Lagerreaktionsberechnung ebener Tragwerke
    Lagerreaktionen
    ... Erlernten folgt nun ein exemplarisches Beispiel.Anwendungsbeispiel: Bestimmung von LagerreaktionenIn der unteren Abbildung ist ein Balken dargestellt, der auf einem Festlager $A$ und einem Loslager $ B$ gelagert ist. Zudem wirkt auf ihn die Kraft $ F = 20 kN $ im Winkel $\alpha = 50 ° $. Es gilt nun die unbekannten Lagerreaktionen zu bestimmen. Beispiel: Bestimmung der LagerreaktionenZur Berechnung der Lagerreaktionen benötigt man die drei Gleichgewichtsbedingungen $R_x = 0$, $R_y ...
  13. Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    Lagerreaktionen > Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    Lagerreaktionsberechnung bei rumlichen Tragwerken
    ... der Momentengleichungen in dieses Lager. Anwendungsbeispiel: Bestimmung der Lagerreaktionen bei räumlichen TragwerkenIn der obigen Grafik ist eine Winde zu sehen. Mittels der Kraft $F$ wird die Kurbel gedreht und damit dreht sich das Rad, wodurch sich das Gewicht nach oben ziehen lässt. Das Lager $A$ sei ein Loslager, welches Verschiebungen senkrecht zur Kurbel verhindert, das Lager $B$ ein Festlager, welches in Verschiebungen in alle drei Raumrichtungen verhindert. Die Kurbel ...
  14. Anwendungsbeispiel Dreigelenkbogen
    Lagerreaktionen > Statische Bestimmheit mehrteiliger Tragwerke > Anwendungsbeispiel Dreigelenkbogen
    Zweigelenkbogen
    ... miteinander verbunden sind (drei Gelenke).Anwendungsbeispiel: DreigelenkbogenBeispiel DreigelenkbogenGegeben sei der obige Dreigelenkbogen mit den Lagern $A$ und $B$, dem Gelenk $G$ und den Kräften $F_1$ und $F_2$. Wie groß sind die Lagerkräfte und wie groß die Gelenkkräfte? Prüfe bitte auf statische Bestimmtheit!Statische BestimmtheitDer obige Dreigelenkbogen hat $r = 2 + 2$ Lagerreaktionen, $v = 2$ Kräfte, die das Gelenk übertragen kann und $n = ...
  15. Anwendungsbeispiel Gelenkbalken
    Lagerreaktionen > Statische Bestimmheit mehrteiliger Tragwerke > Anwendungsbeispiel Gelenkbalken
    Gelenkbalken Beispiel
    ... wie das gemacht wird, folgt ein Beispiel.Anwendungsbeispiel: GelenkbalkenGegeben sei der obige Balken mit den drei Lagerkräften (A, B, C) und den zwei Kräften $F_1 = 20 N$ und $F_2 = 15 N$. Es sollen die Lagerkräfte bestimmt werden.Statische BestimmtheitZunächst wird der Balken auf statische Bestimmtheit überprüft:$ f = 3 - r = 0$$r$ ist hierbei die Anzahl der Lagerreaktionen. A ist ein Festlager, welches zwei Kräfte übertragen kann. B und C sind Loslager, ...
  16. Statische Bestimmtheit von Fachwerken
    Fachwerke > Statische Bestimmtheit von Fachwerken
    Fachwerke statische Bestimmtheit
    ... ein einfaches Fachwerk handelt. Anwendungsbeispiel: Statische Bestimmtheit von FachwerkenFachwerkDas obige Fachwerk besteht aus sieben Stäben (1 bis 7), die in fünf Knoten ($K_1$ bis $K_5$) miteinander verbunden sind. Außerdem besitzt das Fachwerk ein Loslager (rechts), welches nur vertikale Kräfte übertragen kann (= 1 Lagerreaktion) und ein Festlager (links), welches vertikale und horizontale Kräfte überträgt ( = 2 Lagerreaktionen). Es ...
  17. Beispiel: Knotenpunktverfahren
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Knotenpunktverfahren > Beispiel: Knotenpunktverfahren
    Knotenpunktverfahren Beispiel
    ... anhand eines Beispiels erfolgen.Anwendungsbeispiel: KnotenpunktverfahrenGegeben sei das obige Fachwerk mit den zwei Kräften $F_1$ und $F_2$, sowie dem Festlager (links) und dem Loslager (rechts). Bestimme bitte alle Stäbe nach dem Knotenpunktverfahren!In den folgenden Abschnitten wird das Beispiel Schritt für Schritt und unter Zuhilfenahme von Grafiken gelöst.
  18. Beispiel 2: Ritterschnittverfahren
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Rittersches Schnittverfahren > Beispiel 2: Ritterschnittverfahren
    Ritterschnittverfahren Beispiel
    ... einzelnen Stäben innerhalb eines Fachwerks.Anwendungsbeispiel: Ritterschnittverfahren für einzelne StäbeGegeben sei das obige Fachwerk, welches durch die zwei Kräfte $F_1 = 10 N$ und $F_2 = 15 N$ belastet wird. Wie groß ist die Stabkraft $S_3$?Bevor der Schnitt durchgeführt wird, müssen zunächst die Lagerreaktionen berechnet werden. $A$ ist ein Festlager mit zwei Kräften und $B$ ein Loslager mit einer Kraft:$\curvearrowleft{A} : B \cdot 25 m - F_1 \cdot ...
  19. Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
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    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
    Schnittgren am Balken Beispiel
    ... Beispiels und anhand von Videos demonstriert.Anwendungsbeispiel: Bestimmung der Querkraftlinie und Momentenlinie eines belasteten BalkensGegeben sei ein Balken, welcher durch drei Einzelkräfte belastet wird. Der Balken selbst ist auf einem Loslager B und einem Festlager A gelagert. $ F_1 = 10 kN, \; F_2 = 20 kN, \; F_3 = -10 kN  \rightarrow $ Es sind die Querkraftlinie und die Momentenlinie zu erstellen.Beispiel: BalkenKoordinatensystemWie bereits im vorherigen Abschnitt dargestellt, ...
  20. Streckenlast: Schnittgrößen anhand der Gleichgewichtsbedingungen
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    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Streckenlast am Balken > Streckenlast: Schnittgrößen anhand der Gleichgewichtsbedingungen
    Verteilte Last Gleichgewichtsbedinungen
    ... kommen:$Q = \int_0^x q_0 dx = q_0 \cdot x$.Anwendungsbeispiel: Schnittgrößen mit StreckenlastGegeben sei die obige Grafik mit der verteilten Last $q_0 = \frac{4F}{l}$ und der Kraft $F$ mit dem Winkel $30°$ zur Horizontalen. Bestimmen Sie(a) die Lagerreaktionen(b) die Schnittgrößen $Q$, $N$ und $M$.(a) Zunächst werden die Lagerreaktionen bestimmt. Hierzu wird die Streckenlast zu einer einzigen Kraft zusammengefasst. Dafür muss die Last $q_0$ (ein einziger ...
  21. Föppl-Klammer
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Föppl-Klammer
    Fppl-Klammer Beispiel Schnittgren
    ... So entsteht eine vereinfachte Schreibweise.Anwendungsbeispiel: Föppl-KlammerGegeben sei der obige Balken, der durch die Kraft $F = 20N$ mit $\alpha = 50°$ und durch das Moment $M = 40 Nm$ belastet ist. Die Abstände seien $l_1 = 5m$, $l_2 = 12m$ und $l_3 = 16m$. Bestimmen Sie die Schnittgrößenbereiche und geben Sie diese mit der Föppl-Klammer an.Lagerkräfte bestimmenZunächst werden die Lagerkräfte $A_h$, $A_v$ und $B$ bestimmt. Es wird zunächst ...
  22. Haftreibung
    Reibung und Haftung > Haftreibung
    Haftreibung, Geschwindigkeit = 0
    ... Metall0,4Autoreifen auf Straße0,7 - 0,9Anwendungsbeispiel: HaftreibungGegeben sei der nachfolgende rechteckige Körper aus Stahl, welcher sich auf einer schiefen Ebene aus Teflon befindet. Der Neigungswinkel beträgt $\alpha = 20°$ und der Haftungskoeffizient sei $\mu_0 = 0,04$. Der Körper hat das Gewicht $G = 10 N$ mit einer angreifenden Kraft $F$. Innerhalb welcher Grenzen befindet sich $F$, wenn der Körper sich in Ruhe befindet?Haftreibung BeispielBewegung nach ...
  23. Seilreibung
    Reibung und Haftung > Seilreibung
    Seilreibung: Beispiel
    ... Haftreibung an Pollern am Steg befestigt. Anwendungsbeispiel: Seil um PollerPollerIn der obigen Grafik ist ein Seil zweimal um einen Poller gewickelt. Die Kraft $F_s$ stellt die Zugkraft des Schiffes dar, welches an diesem Seilende befestigt ist. Der Haftungskoeffizient sei $\mu_0 = 0,2$. Die Kraft $F$ sei 20 Newton. Wie groß darf die Kraft $F_s$, mit der das Schiff maximal ziehen darf, sein?Bei Überschreitung der Kraft, setzt sich das Seil in Richtung des Schiffes in Bewegung. ...
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Implizite und explizite Darstellung
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Darstellungsarten ebener Kurven > Implizite und explizite Darstellung
    Implizite Darstellung eines Kreises
    ... auch Ellipsen und Kreise dargelegt werden.AnwendungsbeispieleUm einen Kreis abzubilden, bedarf es bei der expliziten Darstellung zwei Funktionen. Gegeben sei: $y = f(x) = \sqrt{1-x^2}$Mit dieser expliziten Funktion kann nur ein Halbkreis dargelegt werden. Um einen Kreis darzustellen, bedarf es einer zweiten Funktion: $y = -f(x) = -\sqrt{1-x^2}$.Explizite Darstellung eines KreisesIndem man die explizite Funktion in eine implizite Funktion umstellt, kann der Kreis mithilfe einer Funktion ...
  2. Krümmungsradius
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Krümmungsradius
    Krmmungsradius
    ...        ParameterdarstellungAnwendungsbeispielGegeben sei die Funktion: $f(x) = 0,5x^2$ (Parabel). Bestimme für den Punkt $P(0, 0)$ den Krümmungsradius.KrümmungsradiusZuerst werden die beiden Ableitungen gebildet:$f´(x) = x$$f´´(x) = 1$Danach in die Formel einsetzen und $x_0 = 0$ einsetzen:$r = |\frac{(1 + (x)^2)^{\frac{3}{2}}}{1}| = |\frac{(1)^{\frac{3}{2}}}{1}| = 1$  Im Punkt $P(0,0)$ beträgt der Krümmungsradius $r=1$.Krü...
  3. Evolvente berechnen
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Evolvente berechnen
    Normalenvektor der Parabel
    ... dem Abschnitt 'Evolute' gezeigt werden. Anwendungsbeispiel: Tangenten der EvoluteGegeben sei die Parabel: $0,5x^2$. Die Krümmungskreismittelpunkte wurden für verschiedene Punkte berechnet (siehe Kapitel "Evolute"). In diesem Beispiel wurden noch zwei weitere Punkte $X(-1,5, \ 1,25)$ und $Y(1,5, \ 1,25)$ eingefügt, um die Evolute genauer darzustellen. Die Evolute der Parabel sieht dann wie folgt aus:Evolute der ParabelBestimmung des NormalenvektorsDie Tangenten der ...
  4. Hauptnormalenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Hauptnormalenvektor im Raum
    ... (t)}}{{| \dot{\vec{t}}_e (t)|}}$AnwendungsbeispielGegeben sei die Kurve $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{pmatrix} \; 0 \le t \le 2\pi$.Die Kurve $\alpha (t)$ ist in Parameterdarstellung gegeben. Der dazugehörige Hauptnormalenvektor wird wie folgt ermittelt:Ableitungen bilden$\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix}$$\ddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix}$Kreuzprodukt des ...
  5. Binormalenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Binormalenvektor im Raum
    ... alle drei Vektoren senkrecht zueinander stehen.AnwendungsbeispielGegeben sei die Raumkurve $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{pmatrix}$. Berechne den Binormalenvektor.Ableitungen bilden$\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix}$$\ddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix}$Vektorprodukt bilden$\dot{\vec{r}}(t) \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}(t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos ...
  6. Begleitendes Dreibein und Schmiegebene
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Begleitendes Dreibein und Schmiegebene
    ... \vec{b} (t) \cdot (\vec{r} (t) - \vec{x}_0) = 0$AnwendungsbeispielGegeben sei die Raumkurve $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{pmatrix}$. Berechne das begleitende Dreibein  $\ (\vec{t}_e (t),\vec{n}(t),\vec{b}(t))$  für  $t = 0$.Ableitungen bilden:$\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \; (0, 1, 1)$$\ddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \; ...
  7. Bogenlänge im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Bogenlänge im Raum
    ... nach $t$ umgestellt und dann eingesetzt wird.AnwendungsbeispielGegeben sei die Raumkurve: $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \sin (t) \\ \cos (t) \\ t \end{pmatrix} \; 0 \le t \le 2\pi$.Die Formel zum Wechsel zur Bogenlänge $s$ ist:$s =  \int\limits_0^t |\dot{\vec{r}}(t)| dt$Ableitung bilden und Länge berechnen$\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ -\sin (t) \\ 1 \end{pmatrix}$$|\dot{\alpha} (t)| = \sqrt{ \cos^2 (t) + \sin^2 (t) + 1^2} = \sqrt{2}$Bogenlänge ...
  8. Krümmung und Torsion im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Krümmung und Torsion im Raum
    ... \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}|^2}$AnwendungsbeispielGegeben sei die Raumkurve $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{pmatrix}$. Bestimme die Krümmung und Torsion im Punkt $t = 0$.Ableitungen bilden$\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow (0, 1, 1)$$\ddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow (-1, 0, 0)$$\dddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} \sin (t) ...
  9. Partielle Ableitung höherer Ordnung
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Partielle Ableitung > Partielle Ableitung höherer Ordnung
    ... sind, dh. keine Sprünge aufweisen. AnwendungsbeispieleGegeben sei die Funktion $w = f(x,y,z) = x^2 y + z^2 x$1. MöglichkeitDie Ableitung nach $x$ und dann nach $y$:$\frac{\partial}{\partial x} f_x (x,y,z) = 2xy + z^2$$\frac{\partial}{\partial x} f_{x,y} (x,y,z) = 2x$Die Ableitung nach $y$ und dann nach $x$:$\frac{\partial}{\partial x} f_y (x,y,z) = x^2$$\frac{\partial}{\partial x} f_{y,x} (x,y,z) = 2x$$\rightarrow \ f_{xy} (x,y,z) $ = $\ f_{yx} (x,y,z)$.2. MöglichkeitOder ...
  10. Totales Differential
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Totales Differential
    ... darstellen) ist das Differential der Funktion.AnwendungsbeispielGegeben sei die Funktion $z = f(x,y) = x^2 + y^2$Das totale Differential ist:$\frac{\partial f}{\partial x} dx = 2x \ dx$$\frac{\partial f}{\partial y} dy = 2y \ dy$$\rightarrow \; dz = 2x \ dx + 2y \ dy$Gegeben sei die Funktion $ w = f(x,y,z) = x^2 y z$Das totale Differential ist:$\frac{\partial f}{\partial x} dx = 2xyz \ dx$$\frac{\partial f}{\partial y} dy = x^2z \ dy$$\frac{\partial f}{\partial z} dz =x^2y \ dz$$\rightarrow \ ...
  11. Richtungsableitung
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Richtungsableitung
    ... \le 2\pi $ (Einheitskreis = Länge $1$).AnwendungsbeispielGegeben sei folgende Funktion $ f(x,y)=\left(\begin{array}{ll}\frac{x^3-xy^2}{x^2+y^2}, & (x,y)\not= (0,0) \\ 0, & (x,y)= (0,0)\end{array}\right) $.Wie sieht der Grenzwert zur Bestimmung von Richtungsableitungen im Punkt $(0,0)$ aus, wenn man ihn statt des Richtungsvektor nun mit dem Einheitsvektor bestimmt, und wie ist die Richtungsableitung?$f$ ist in $(0,0)$ stetig, da$ \lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = \lim\limits_{r ...
  12. Kettenregel
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Kettenregel
    ... bei Funktionen mit 3 oder n Veränderlichen.AnwendungsbeispieleGegeben sei die Funktion $z = f(x,y)$ mit $x = \sin (t)$ und $y = \cos (t)$.Dann ist die Ableitung:$\frac{dz}{dt} =  \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}$$\frac{\partial z}{\partial x}  = f(x)$$\frac{dx}{dt} = \cos (t)$$\frac{\partial z}{\partial y} = f(y)$$\frac{dy}{dt} = -\sin (t)$Insgesamt ergibt sich:$\frac{dz}{dt} = \frac{dz}{dt} = f(x) \cdot \cos ...
  13. Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Picard-Lindelöf > Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf
    ... $f$ in $G$ einer lokalen Lipschitzbedingung.Anwendungsbeispiele: Globale LipschitzbedingungGegeben sei die Funktion $f(x,y)=x^2 + y^2 $. Mit $x \in \mathbb{R}$. Zeige dass $f$ in $\mathbb{R}^2$ nicht global einer Lipschitzbedingung bezüglich $y$ genügt!Gesucht wird ein reelles $L$ mit $ | f(x, y_1) - f(x, y_2)| \le L \cdot |y_1 - y_2| $  für alle  $(x, y_1), \; (x, y_2) \; \in G \subset \mathbb{R}$$ | (x^2 + y_1^2) - (x^2 + y_2^2)| \le L \cdot |y_1 - y_2| $$ | ...
  14. Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Picard-Lindelöf > Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren
    ... (x) := y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y_n (t))dt $.Anwendungsbeispiel: Iterationsverfahren von Picard-LindelöfMan Löse iterativ das Anfangswertproblem $\ y' = 2xy $ mit  $ y(0) := 1 $.  Aus der Anfangsbedingung $y(0) = 1$ kann abgelesen werden: $x_0 = 0$ und $y_0 = 1$$\ y_0 (x) \equiv 1 $$\ y_1 (x) = 1 + \int\limits_0^x 2t \cdot 1 \ dt = 1 + [t^2] = 1 + x^2 - 0 = 1 + x^2 $$\ y_2 (x) = 1 + \int\limits_0^x 2t \cdot (1 + t^2) dt = 1 + \int\limits_0^x  2t + 2t^3 \ dt$$= 1 + 2 \int\limits_0^x ...
  15. Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    ... g(y) \not= 0 $ in impliziter Form ergeben. Anwendungsbeispiel: TDVLösen Sie die Differentialgleichung $y' = -2x(y^2 - y) $ mit Hilfe der "Trennung der Veränderlichen"-Methode!0. Zerlegung der Veränderlichen Es handelt sich um eine Funktion der Form: $y' = f(x) \cdot g(y)$mit  $ f(x) = -2x $ und $ g(y) = y^2-y $1. Bestimmung der Nullstellen von g(y):$ y^2 - y = y(y-1) = 0 \rightarrow y_1= 0, \ y_2 = 1 $Diese konstanten Funktionen $ y_1 = 0 $ und $ y_2 = 1 $ sind [partikuläre] ...
  16. Bernoulli Differentialgleichung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Spezielle Differentialgleichungen > Bernoulli Differentialgleichung
    ... substituiert $ u = y^{1-\alpha} $ zurück.Anwendungsbeispiel: Bernoulli DifferentialgleichungLöse die folgende Differentialgleichung $y' + \frac{y}{x} - x^2 \sqrt[3]{y} = 0 $. 1. Man formt zuerst um und erhält mit$y' + \frac{1}{x}y = x^2 y^{\frac{1}{3}} $ mit $ \alpha = \frac{1}{3} $  eine Bernoulli Differentialgleichung.2. Als nächstes multipliziert man die Gleichung mit $y^{-\frac{1}{3}}$ und erhält:$y^{-\frac{1}{3}} \cdot y' + \frac{1}{x} y^{\frac{2}{3}} ...
  17. Ricatti Differentialgleichung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Spezielle Differentialgleichungen > Ricatti Differentialgleichung
    ... zu verstehen.Anwendungsbeispiel: Ricatti DifferentialgleichungLöse folgende Differentialgleichung $ \ y' + \frac{2}{x}y + y^2 = \frac{2}{x^2}$Davon ausgehend, dass mit $ y_1 = \frac{1}{x} $ durch Einsetzen eine spezielle Lösung gefunden wurde, kann die Riccati-Differentialgleichung transformiert werden.1. Als Substitution erhält man $ u = \frac{1}{y-\frac{1}{x}} $Daraus folgt: $\ y = \frac{1}{u} + \frac{1}{x} $ und $ y' = - \frac{u'}{u^2} - \frac{1}{x^2} ...
  18. Exakte Differentialgleichung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Exakte Differentialgleichung
    ... die von $y$ abhängig ist.Anwendungsbeispiel: Exakte DifferentialgleichungLöse die Differentialgleichung: $2x + 5 + (2y + 5)y´= 0$$p(x,y) = M = 2x + 5$$q(x,y) = N = 2y + 5$1.) Auf Exaktheit überprüfen:$M_y = 0$$N_x = 0$Da, $M_y = N_x$ ist die Exaktheitsbedingung erfüllt, d.h. es existiert ein $\psi_x = M, \; \psi_y = N$.2.) Integration$\psi (x,y) = \int \psi_x \; dx + I(y) = \int (2x + 5) dx + I(y)$$\psi (x,y) = x^2 + 5x + I(y)$3.) Bestimmung der ...
  19. Homogene Differentialgleichungen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Homogene Differentialgleichungen
    ... der Differentialgleichung sind. Anwendungsbeispiele: Homogene DifferentialgleichungLöse folgende homogene, lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit dem d' Alembertschen Reduktionsverfahren.$\ (1 + x^2)y'' - 2xy' + 2y = 0 $. Durch hinsehen lässt sich erkennen, dass $ y_1 = x$  eine Lösung ist. Setzt man für $y = x$ und für $y' = 1$ (1. Ableitung von $x$) und für $y'' = 0$ (2. Ableitung von $x$) ein, so ergibt die gesamte Gleichnung null.Daraus ...
  20. Inhomogene Differentialgleichungen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Inhomogene Differentialgleichungen
    ... = \sum\limits^n_{k=1} c_k (x) y_k(x)$. Anwendungsbeispiel: Inhomogene DifferentialgleichungBestimme die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung $ y_S $ für folgende lineare Differentialgleichung$ y'' - \frac{x}{x-1}y' + \frac{1}{x-1}y = x - 1, \; \; x \not= 1$.Lösungsgesamtheit homogene DifferentialgleichungDie zugehörige homogene Differentialgleichung ist $ y'' - \frac{x}{x-1}y' + \frac{1}{x-1}y = 0 $.Sie besitzt die Lösungen $ y_1 = x $ und $ ...
  21. Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
    ... 1, 2 \pm 3i $$ e^x, e^{2x}cos3x, e^{2x}sin3x $Anwendungsbeispiel: Homogene Differentialgleichung mit konstanten KoeffizientenLöse die folgenden homogene Differentialgleichung 3. Ordnung mit konstanten Koeffizienten$\ y''' - 2y'' - 5y' + 6y = 0 $Zuerst gilt es die homogene Differentialgleichung als charakteristische Gleichung darzustellen$\color{grey}{y''' - 2y'' - 5y' + 6y = 0} \rightarrow \lambda^3 - 2\lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0 $.Anschließend bestimmt man die Lösungen ...
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Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Spannungen im Stab (Schnitt mit Winkel)
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Spannungen im Stab (Schnitt mit Winkel)
    Senkrechter Schnitt am Balken
    ... \pm 45° $ besitzt.Das Video wird geladen...Anwendungsbeispiel: Schnitt mit WinkelSchnitt mit Winkel - Beispiel Gegeben sei der obige Stab, welcher auf Druck belastet wird. Der Stab besitzt eine kreisförmige Querschnittsfläche mit einem Durchmesser von $d = 5cm$. Es soll ein Schnitt im Winkel von 45° durchgeführt werden. Wie groß ist die Normalspannung und die Schubspannung?Es wird der Schnitt durchgeführt, die Normalkraft senkrecht zum Schnitt eingezeichnet ...
  2. Beispiel zu Spannungen im Stab: Hängender Zugstab
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Beispiel zu Spannungen im Stab: Hängender Zugstab
    Beispiel Zugstab Freischnitt
    Anwendungsbeispiel: ZugstabZugstab Gegeben sei der obige Balken (1m breit, 10m lang), welcher an einem Stab $d = 0,15 m$ befestigt ist. Der Stab ist mittels eines Hakens an der Wand befestigt. Der Balken hat ein Eigengewicht von $F_{Balken} = 50 N$. Auf dem Balken befindet sich eine gleichmäßig verteilte Schneedecke (Flächenlast), mit $q_0 = 2 N/m^2$. Die Stabkraft soll vernachlässigt werden. Wie groß muss die Hakenkraft mindestens sein, damit diese den Balken samt ...
  3. Hookesches Gesetz
    Stabbeanspruchungen > Materialgesetz / Zugversuch > Hookesches Gesetz
    Hooksche Gerade
    ... l$ = Verlängerung des ProbestabesAnwendungsbeispiel: Berechnung ElastizitätsmodulDas Elastizitätsmodul $E$ für einen Stab soll durch einen Zugversuch ermittelt werden. Hierzu wird ein Rundstab mit einem Durchmesser von $d = 10 mm$ und einer Anfangsmesslänge $l_0 = = 50 mm$ verwendet. Auf der geradlinig verlaufenden Stabachse wirkt eine Kraft $F = 10 kN$. Diese Kraft $F$ führt dazu, dass der Stab sich um $\triangle = 0,5 mm$ verlängert.1) Wie groß ...
  4. Wärmedehnungen
    Stabbeanspruchungen > Wärmedehnungen
    Wrmedehnungen Beispiel
    ... \triangle T + \frac{\sigma}{E}$.Anwendungsbeispiel: WärmedehnungenGegeben sei der oben abgebildete Stab aus ferritischem Stahl, welcher durch die Kraft $F$ und die Temperaturänderung $\triangle T(x)$ belastet wird.Gegeben: $L = 2m$, $A = 10 cm^2$, $E = 210.000 \frac{N}{mm^2}$, $\alpha_{th} = 12 \cdot 10^{-6} \frac{1}{K}$, $F = 2.000 N$, $\triangle T_0 = 25 K$.Wie groß ist die Längenänderung $\triangle l$ des Stabes?Die Längenänderung $\triangle ...
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Produktion

  1. Einperiodige Produktionsprogrammplanung (mehrere Engpässe)
    Aggregierte Produktionsplanung > Einstufige Produktionsprogrammplanung > Einstufige einperiodige Produktionsprogrammplanung > Einperiodige Produktionsprogrammplanung (mehrere Engpässe)
    Grafische Ermittlung des optimalen Produktionsprogramms
    ... des optimalen Produktionsprogramms. Anwendungsbeispiel: Grafische Ermittlung des optimalen ProduktionsprogrammsEin Osnabrücker Traditionsunternehmen produziert  zwei Sorten von Torten. Eine einfache Variante  $ x_1 $ und eine Premiumvariante $ x_2 $ . Beide Torten durchlaufen eine Maschine, welche eine maximale Kapazität von 3.750 ZE besitzt. Die Einfachvariante durchläuft die Maschine in 0,5 ZE, die Permiumvariante in 1,25 ZE.  Die Kosten der Einfachvariante ...
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Maschinenelemente 1

  1. Bestimmung und Berechnung der Torsion
    Berechnungsgrundlagen > Grundbelastungsarten von Bauteilen > Bestimmung und Berechnung der Torsion
    Entstehung von Torsion
    ... F \cdot a $Beanspruchungen und VerformungenAls Anwendungsbeispiel behandeln wir einen geraden Torsionsstab mit einem Kreisquerschnitt. Belastungsverlauf eines TorsionsstabsAn einer allgemeinen Stelle des Stabes x gilt formal:Torsion: $\tau_T = \frac{T}{J_p} \cdot r = \frac{M_T}{J_P} \cdot r $$ J_p $ steht für das polare Flächenträgheitsmoment des Kreisquerschnitts und ergibt sich aus: $\ J_p = J_y + J_z $Aus dieser Gleichung lässt sich wie im Fall der Biegung die Gebrauchsformel ...
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