Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Implizite und explizite Darstellung
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    Darstellungsarten ebener Kurven > Implizite- und explizite Darstellung
    Implizite und explizite Darstellung
    ... auch Ellipsen und Kreise dargelegt werden. Anwendungsbeispiele Um einen Kreis abzubilden, bedarf es bei der expliziten Darstellung zwei Funktionen.  Gegeben sei: $y = f(x) = \sqrt{1-x^2}$ Mit dieser expliziten Funktion kann nur ein Halbkreis dargelegt werden. Um einen Kreis darzustellen, bedarf es einer zweiten Funktion: $y = -f(x) = -\sqrt{1-x^2}$. Explizite Darstellung eines Kreises Indem man die explizite Funktion in eine implizite Funktion umstellt, kann der Kreis mithilfe einer ...
  2. Krümmungsradius
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Krümmungsradius
    Krümmungsradius
    ...                  Parameterdarstellung Anwendungsbeispiel Gegeben sei die Funktion: $f(x) = 0,5x^2$ (Parabel). Bestimme für den Punkt $P(0, 0)$ den Krümmungsradius. Krümmungsradius Zuerst werden die beiden Ableitungen gebildet: $f´(x) = x$ $f´´(x) = 1$ Danach in die Formel einsetzen und $x_0 = 0$ einsetzen: $r = |\frac{(1 + (x)^2)^{\frac{3}{2}}}{1}| = |\frac{(1)^{\frac{3}{2}}}{1}| = 1$   Im Punkt $P(0,0)$ beträgt der Krümmungsradius $r=1$. Krümmungsradius
  3. Evolvente
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Evolvente
    Evolvente
    ... aus dem Abschnitt 'Evolute' gezeigt werden.  Anwendungsbeispiel: Tangenten der Evolute Gegeben sei die Parabel: $0,5x^2$.  Die Krümmungskreismittelpunkte wurden für verschiedene Punkte berechnet (siehe Kapitel "Evolute").  In diesem Beispiel wurden noch zwei weitere Punkte $X(-1,5, \ 1,25)$ und $Y(1,5, \ 1,25)$ eingefügt, um die Evolute genauer darzustellen. Die Evolute der Parabel sieht dann wie folgt aus: Evolute der Parabel Bestimmung des Normalenvektors Die Tangenten der ...
  4. Hauptnormalenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Hauptnormalenvektor im Raum
    ... (t)}}{{| \dot{\vec{t}}_e (t)|}}$ Anwendungsbeispiel Gegeben sei die Kurve $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{pmatrix} \; 0 \le t \le 2\pi$. Die Kurve $\alpha (t)$ ist in Parameterdarstellung gegeben. Der dazugehörige Hauptnormalenvektor wird wie folgt ermittelt: Ableitungen bilden $\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix}$ $\ddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix}$ Kreuzprodukt ...
  5. Binormalenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Binormalenvektor im Raum
    ... drei Vektoren senkrecht zueinander stehen. Anwendungsbeispiel Gegeben sei die Raumkurve $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{pmatrix}$. Berechne den Binormalenvektor. Ableitungen bilden $\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix}$ $\ddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix}$ Vektorprodukt bilden $\dot{\vec{r}}(t) \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}(t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) ...
  6. Begleitendes Dreibein und Schmiegebene
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Begleitendes Dreibein und Schmiegebene
    ... (t) \cdot (\vec{r} (t) - \vec{x}_0) = 0$ Anwendungsbeispiel Gegeben sei die Raumkurve $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{pmatrix}$. Berechne das begleitende Dreibein  $\ (\vec{t}_e (t),\vec{n}(t),\vec{b}(t))$  für  $t = 0$. Ableitungen bilden: $\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \; (0, 1, 1)$ $\ddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \; (-1, 0, 0)$ Vektorprodukt ...
  7. Bogenlänge im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Bogenlänge im Raum
    ... $t$ umgestellt und dann eingesetzt wird. Anwendungsbeispiel Gegeben sei die Raumkurve: $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \sin (t) \\ \cos (t) \\ t \end{pmatrix} \; 0 \le t \le 2\pi$. Die Formel zum Wechsel zur Bogenlänge $s$ ist: $s =  \int\limits_0^t |\dot{\vec{r}}(t)| dt$ Ableitung bilden und Länge berechnen $\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ -\sin (t) \\ 1 \end{pmatrix}$ $|\dot{\alpha} (t)| = \sqrt{ \cos^2 (t) + \sin^2 (t) + 1^2} = \sqrt{2}$ Bogenlänge berechnen $s ...
  8. Krümmung und Torsion im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Krümmung und Torsion im Raum
    ... \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}|^2}$ Anwendungsbeispiel Gegeben sei die Raumkurve $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{pmatrix}$. Bestimme die Krümmung und Torsion im Punkt $t = 0$. Ableitungen bilden $\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow (0, 1, 1)$ $\ddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow (-1, 0, 0)$ $\dddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} \sin (t) ...
  9. Partielle Ableitung höherer Ordnung
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Partielle Ableitung > Partielle Ableitung höherer Ordnung
    Partielle Ableitung höherer Ordnung
    ... stetig sind, dh. keine Sprünge aufweisen.  Anwendungsbeispiele Gegeben sei die Funktion $w = f(x,y,z) = x^2 y + z^2 x$ 1. Möglichkeit Die Ableitung nach $x$ und dann nach $y$: $\frac{\partial}{\partial x} f_x (x,y,z) = 2xy + z^2$ $\frac{\partial}{\partial x} f_{x,y} (x,y,z) = 2x$ Die Ableitung nach $y$ und dann nach $x$: $\frac{\partial}{\partial x} f_y (x,y,z) = x^2$ $\frac{\partial}{\partial x} f_{y,x} (x,y,z) = 2x$ $\rightarrow \ f_{xy} (x,y,z) $ = $\ f_{yx} (x,y,z)$. 2. ...
  10. Totales Differential
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Totales Differential
    ... darstellen) ist das Differential der Funktion. Anwendungsbeispiel Gegeben sei die Funktion $z = f(x,y) = x^2 + y^2$ Das totale Differential ist: $\frac{\partial f}{\partial x} dx = 2x \ dx$ $\frac{\partial f}{\partial y} dy = 2y \ dy$ $\rightarrow \; dz = 2x \ dx + 2y \ dy$ Gegeben sei die Funktion $ w = f(x,y,z) = x^2 y z$ Das totale Differential ist: $\frac{\partial f}{\partial x} dx = 2xyz \ dx$ $\frac{\partial f}{\partial y} dy = x^2z \ dy$ $\frac{\partial f}{\partial z} ...
  11. Richtungsableitung
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Richtungsableitung
    ... \le 2\pi $ (Einheitskreis = Länge $1$). Anwendungsbeispiel Gegeben sei folgende Funktion $ f(x,y)=\left(\begin{array}{ll}\frac{x^3-xy^2}{x^2+y^2}, & (x,y)\not= (0,0) \\ 0, & (x,y)= (0,0)\end{array}\right) $.Wie sieht der Grenzwert zur Bestimmung von Richtungsableitungen im Punkt $(0,0)$ aus, wenn man ihn statt des Richtungsvektor nun mit dem Einheitsvektor bestimmt, und wie ist die Richtungsableitung? $f$ ist in $(0,0)$ stetig, da $ \lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = \lim\limits_{r ...
  12. Kettenregel
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Kettenregel
    ... bei Funktionen mit 3 oder n Veränderlichen. Anwendungsbeispiele Gegeben sei die Funktion $z = f(x,y)$ mit $x = \sin (t)$ und $y = \cos (t)$. Dann ist die Ableitung: $\frac{dz}{dt} =  \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}$ $\frac{\partial z}{\partial x}  = f(x)$ $\frac{dx}{dt} = \cos (t)$ $\frac{\partial z}{\partial y} = f(y)$ $\frac{dy}{dt} = -\sin (t)$ Insgesamt ergibt sich: $\frac{dz}{dt} = \frac{dz}{dt} = f(x) \cdot \cos ...
  13. Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Picard-Lindelöf > Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf
    ... $f$ in $G$ einer lokalen Lipschitzbedingung. Anwendungsbeispiele: Globale Lipschitzbedingung Gegeben sei die Funktion $f(x,y)=x^2 + y^2 $. Mit $x \in \mathbb{R}$. Zeige dass $f$ in $\mathbb{R}^2$ nicht global einer Lipschitzbedingung bezüglich $y$ genügt! Gesucht wird ein reelles $L$ mit $ | f(x, y_1) - f(x, y_2)| \le L \cdot |y_1 - y_2| $  für alle  $(x, y_1), \; (x, y_2) \; \in G \subset \mathbb{R}$ $ | (x^2 + y_1^2) - (x^2 + y_2^2)| \le L \cdot |y_1 - y_2| $ $ | x^2 + y_1^2 ...
  14. Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Picard-Lindelöf > Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren
    Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren
    ... (x) := y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y_n (t))dt $. Anwendungsbeispiel: Iterationsverfahren von Picard-Lindelöf Man Löse iterativ das Anfangswertproblem $\ y' = 2xy $ mit  $ y(0) := 1 $.   Aus der Anfangsbedingung $y(0) = 1$ kann abgelesen werden: $x_0 = 0$ und $y_0 = 1$ $\ y_0 (x) \equiv 1 $ $\ y_1 (x) = 1 + \int\limits_0^x 2t \cdot 1 \ dt = 1 + [t^2] = 1 + x^2 - 0 = 1 + x^2 $ $\ y_2 (x) = 1 + \int\limits_0^x 2t \cdot (1 + t^2) dt = 1 + \int\limits_0^x  2t + 2t^3 \ dt$ $= 1 + 2 \int\limits_0^x ...
  15. Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    ... $ g(y) \not= 0 $ in impliziter Form ergeben.  Anwendungsbeispiel: TDV Lösen Sie die Differentialgleichung $y' = -2x(y^2 - y) $ mit Hilfe der "Trennung der Veränderlichen"-Methode! 0. Zerlegung der Veränderlichen  Es handelt sich um eine Funktion der Form: $y' = f(x) \cdot g(y)$ mit  $ f(x) = -2x $ und $ g(y) = y^2-y $ 1. Bestimmung der Nullstellen von g(y): $ y^2 - y = y(y-1) = 0 \rightarrow y_1= 0, \ y_2 = 1 $ Diese konstanten Funktionen $ y_1 = 0 $ und $ y_2 = 1 $ sind [partikuläre] ...
  16. Bernoulli Differentialgleichung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Spezielle Differentialgleichungen > Bernoulli Differentialgleichung
    ... und substituiert $ u = y^{1-\alpha} $ zurück. Anwendungsbeispiel: Bernoulli Differentialgleichung Löse die folgende Differentialgleichung $y' + \frac{y}{x} - x^2 \sqrt[3]{y} = 0 $.  1. Man formt zuerst um und erhält mit $y' + \frac{1}{x}y = x^2 y^{\frac{1}{3}} $ mit $ \alpha = \frac{1}{3} $  eine Bernoulli Differentialgleichung. 2. Als nächstes multipliziert man die Gleichung mit $y^{-\frac{1}{3}}$ und erhält: $y^{-\frac{1}{3}} \cdot y' + \frac{1}{x} y^{\frac{2}{3}} = x^2$ 3. ...
  17. Ricatti Differentialgleichung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Spezielle Differentialgleichungen > Ricatti Differentialgleichung
    ... zu verstehen. Anwendungsbeispiel: Ricatti Differentialgleichung Löse folgende Differentialgleichung $ \ y' + \frac{2}{x}y + y^2 = \frac{2}{x^2}$ Davon ausgehend, dass mit $ y_1 = \frac{1}{x} $ durch Einsetzen eine spezielle Lösung gefunden wurde, kann die Riccati-Differentialgleichung transformiert werden. 1. Als Substitution erhält man $ u = \frac{1}{y-\frac{1}{x}} $ Daraus folgt: $\ y = \frac{1}{u} + \frac{1}{x} $ und $ y' = - \frac{u'}{u^2} - \frac{1}{x^2} ...
  18. Exakte Differentialgleichung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Exakte Differentialgleichung
    ... die von $y$ abhängig ist. Anwendungsbeispiel: Exakte Differentialgleichung Löse die Differentialgleichung: $2x + 5 + (2y + 5)y´= 0$ $p(x,y) = M = 2x + 5$ $q(x,y) = N = 2y + 5$ 1.) Auf Exaktheit überprüfen: $M_y = 0$ $N_x = 0$ Da, $M_y = N_x$ ist die Exaktheitsbedingung erfüllt, d.h. es existiert ein $\psi_x = M, \; \psi_y = N$. 2.) Integration $\psi (x,y) = \int \psi_x \; dx + I(y) = \int (2x + 5) dx + I(y)$ $\psi (x,y) = x^2 + 5x + I(y)$ 3.) Bestimmung ...
  19. Homogene Differentialgleichungen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Homogene Differentialgleichungen
    ... der Differentialgleichung sind.  Anwendungsbeispiele: Homogene Differentialgleichung Löse folgende homogene, lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit dem d' Alembertschen Reduktionsverfahren.$\ (1 + x^2)y'' - 2xy' + 2y = 0 $.  Durch hinsehen lässt sich erkennen, dass $ y_1 = x$  eine Lösung ist. Setzt man für $y = x$ und für $y' = 1$ (1. Ableitung von $x$) und für $y'' = 0$ (2. Ableitung von $x$) ein, so ergibt die gesamte Gleichnung null. Daraus folgt $\rightarrow ...
  20. Inhomogene Differentialgleichungen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Inhomogene Differentialgleichungen
    ... = \sum\limits^n_{k=1} c_k (x) y_k(x)$.  Anwendungsbeispiel: Inhomogene Differentialgleichung Bestimme die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung $ y_S $ für folgende lineare Differentialgleichung$ y'' - \frac{x}{x-1}y' + \frac{1}{x-1}y = x - 1, \; \; x \not= 1$. Lösungsgesamtheit homogene Differentialgleichung Die zugehörige homogene Differentialgleichung ist $ y'' - \frac{x}{x-1}y' + \frac{1}{x-1}y = 0 $. Sie besitzt die Lösungen $ y_1 = x $ und $ y_2 = e^x $. Lösungsgesamtheit ...
  21. Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
    ... 3i $ $ e^x, e^{2x}cos3x, e^{2x}sin3x $ Anwendungsbeispiel: Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten Löse die folgenden homogene Differentialgleichung 3. Ordnung mit konstanten Koeffizienten$\ y''' - 2y'' - 5y' + 6y = 0 $ Zuerst gilt es die homogene Differentialgleichung als charakteristische Gleichung darzustellen $\color{grey}{y''' - 2y'' - 5y' + 6y = 0} \rightarrow \lambda^3 - 2\lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0 $. Anschließend bestimmt man die Lösungen der charakteristischen ...
Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen
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Analysis und Lineare Algebra

  1. Ungleichungen
    Grundlagen: Mengenlehre und Reelle Zahlen > Reelle Zahlen > Ungleichungen
    ... \le y \cdot z$ Im folgenden Abschnitt werden Anwendungsbeispiele zur Lösung von einfachen Ungleichungen, Bruchungleichungen und Betragsungleichungen aufgezeigt.
  2. Beispiele: Betragsungleichungen, Bruchungleichungen
    Grundlagen: Mengenlehre und Reelle Zahlen > Reelle Zahlen > Ungleichungen > Beispiele: Betragsungleichungen, Bruchungleichungen
    ... Größe, kehrt sich das Ungleichzeichen um. Anwendungsbeispiele: Einfach Ungleichungen Gegeben sei die folgende Ungleichung: $- \frac{1}{3}x - \frac{1}{2}x \le - \frac{4}{3}$ Bestimmen Sie alle reellen Lösungen dieser Ungleichung! Die Ungleichung wird unter Berücksichtigung des Ungleichheitszeichens nach $x$ umgestellt: $- \frac{5}{6}x \le - \frac{4}{3}$ Nun ist es so, dass nach $x$ aufgelöst wird. Da bei der Auflösung nach $x$ die gesamte Gleichung mit $-\frac{6}{5}$ multipliziert ...
  3. Fakultät und Binomialkoeffizienten
    Grundlagen: Mengenlehre und Reelle Zahlen > Reelle Zahlen > Fakultät und Binomialkoeffizienten
    Fakultät und Binomialkoeffizienten
    ... $n$ Elementen genau $k$ auszuwählen. Anwendungsbeispiel: Binominalkoeffizient Beim Lotto >>6 aus 49<< werden aus den 49 Zahlen 6 Zahlen gezogen. Es gibt ${49 \choose 6} = \frac{49!}{6!(49-6)!} = \frac{49!}{6!43!}$ $=\frac{\not1*\not2*\not3*...*\not43*44*45*46*47*48*49}{(1*2*3*...*5*6)(\not1*\not2*\not3*...*\not43)} = \frac{44*45*46*47*48*49}{1*2*3*...*5*6} = 13.983.816$ verschiedene Möglichkeiten 6 "Richtige" zu ziehen. In diesem Beispiel kann man den Wert auch ...
  4. Anwendungsbeispiele: Mengenlehre und reelle Zahlen
    Grundlagen: Mengenlehre und Reelle Zahlen > Anwendungsbeispiele: Mengenlehre und reelle Zahlen
    In diesem Abschnitt folgen einige Anwendungsbeispiele zu den vorherigen Abschnitten. Intervalle Gegeben seinen die folgenen Intervalle der reellen Zahlen: a) Offenes Intervall von $3$ bis $\frac{14}{3}$. b) Rechts halboffenes Intervall von $x_1$ bis $x_2$. c) Links halboffenes Intervall von $\frac{5}{8}$ bis $z$. d) Geschlossenes Intervall von $-15$ bis $0$ . e) Das Intervall aller Zahlen größer oder gleich $3$. e) Das Intervall aller Zahlen kleiner als $2$. Geben Sie diese als Klammerausdruck ...
  5. Addition von Vektoren
    Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Addition von Vektoren
    Addition von Vektoren
    ... = (12, 8)$ $\vec{b} + \vec{a} = (12,8)$ Anwendungsbeispiel: Assoziativgesetz Gegeben seien die Vektoren $\vec{a} = (4, 6)$, $\vec{b} = (8,2)$ und $\vec{c} = (1,3)$. Bitte zeigen Sie, dass das Assoziativgesetz gilt! Assoziativgesetz:   (1)    $(\vec{a} + \vec{b}) = (12,8)$  $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}  = (13,11)$ (2)   $(\vec{b} + \vec{c}) = (9,5)$ $(\vec{b} + \vec{c}) + \vec{a} = (13,11)$
  6. Einheitsvektor, Länge von Vektoren
    Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Einheitsvektor, Länge von Vektoren
    Einheitsvektor, Länge von Vektoren
    ... und $\vec{b}$ Das Video wird geladen ... Anwendungsbeispiel: Länge von Vektoren / Einheitsvektor Berechnen Sie die Länge des Vektors zwischen den Punkten $A(6,3)$ und $B(1,5)$. Es soll nun die Länge des Vektors $\vec{AB}$ berechnet werden. Dieser Vektor geht vom Punkt $A$ zum Punkt $B$, der Pfeil zeigt also auf den Punkt $B$. Die beiden Punkte können mittels der Ortsvektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ dargestellt werden. Diese zeigen vom Koordinatenursprung auf die jeweiligen Punkte: Es ...
  7. Skalarprodukt und Winkel
    Vektorrechnung > Das Skalarprodukt > Skalarprodukt und Winkel
    Skalarprodukt und Winkel
    ... man $\vec{a} \cdot \vec{b}$. Projektion Anwendungsbeispiel: Skalarprodukt Es seien folgende Vektoren gegeben: $\vec{a} = (4,0)$ und $\vec{b} = (4,4)$. Berechnen Sie $\vec{a} \cdot \vec{b}$. Es werden zunächst die beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ eingezeichnet. Der Winkel zwischen den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ beträgt $45°$: Es wird als nächstes das Skalarprodukt berechnet durch: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\varphi) = \sqrt{4^2 ...
  8. Zerlegung von Vektoren
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Vektorrechnung > Das Skalarprodukt > Zerlegung von Vektoren
    Zerlegung von Vektoren
    ... Fall liegt $s$ zwischen $0 < s < 1$. Anwendungsbeispiel: Zerlegung von Vektoren Gegeben seien die folgenden Vektoren: $\vec{a} = (0,4)$ und $\vec{b} = (3,3)$. Lösung der orthogonale Zerlegung:  $\vec{a} = s \cdot \vec{b} + \vec{x}$  $\left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \end{array}\right) = s \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array}\right)+ \vec{x}$ Die obige Umformung ergab: $\vec{x} =  \vec{a} - \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{\vec{b} \cdot \vec{b}} \cdot \vec{b}$ Es ...
  9. Das Vektorprodukt
    Vektorrechnung > Das Vektorprodukt
    Das Vektorprodukt
    ... \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{array}\right)$ Anwendungsbeispiel: Vektorprodukt Bilde das Vektorprodukt aus den Vektoren  $\vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right)$ und  $\vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$.  Berechne außerdem die Fläche und den Winkel des von $\vec{a}$  und  $\vec{b}$  aufgespannten Parallelogramms. Lösung: Berechnung des Vektorprodukts $\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right) ...
  10. pq-Formel
    Komplexe Zahlen > Nullstellen von Polynomen > pq-Formel
    ... = \frac{-b\; \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ Anwendungsbeispiel: p/q-Formel Gegeben sei folgende quadratische Gleichung $ 4x^2 + 16x + 8$. Bestimmen Sie die Nullstellen. Zuerst ist die Gleichung in die allgemeine Form zu überführen.  $4x^2 + 16x + 8 = 0 | :4 $ $x^2 + 4x + 2 = 0 $ In dieser Form ist $p= 4$ und $q= 2$. Mit diesen Werten lässt sich die pq-Formel lösen und die Nullstellen bestimmen. Die Rechnung muss zwei mal durchgeführt werden, wegen $\pm$. Also: $x_1 = - \frac {4}{2} ...
  11. Mittelwertsätze
    Differentialrechnung > Mittelwertsätze
    Mittelwertsätze
    ... + 2$ $y = 4x – 4 + 2$ $y = 4x - 2$ Anwendungsbeispiel zu Mittelwertsätze Gegeben sei die Funktion:  $f(x) = -x^2 + 12$.  Berechne die Sekante, welche durch die Punkte $S_1(-1, 11)$ und $S_2(3, 3)$ geht. Berechne außerdem die Tangente, welche die gleiche Steigung wie die Sekante hat und den Schnittpunkt der Tangente mit  $f(x)$. Sekantengleichung $s(x) = mx + b$ $m$ bestimmen: $m = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{3 - 11}{3 + 1} = -2$ $s(x) = -2x + b$ $b$ bestimmen mit ...
  12. Nachweis Konkavität und Konvexität durch Differentation
    Differentialrechnung > Konkave und konvexe Funktionen > Nachweis Konkavität und Konvexität durch Differentation
    ... die Konkavität bzw. Konvexität bestimmen. Anwendungsbeispiele: Nachweis über Konkavität bzw. Konvexität $F(x) = 10x - 4x^2$ $F'(x) = 10 - 8x$ $F''(x) = -8$ $\rightarrow$ streng konkav! $F(x) = 8x^3 - 2x^4$ $F'(x) = 24x^2 - 8x^3$ $F''(x) = 48x - 24x^2$ $x$ ausklammern: $F''(x) = x(48 - 24x)$ Die 2. Ableitung ist noch abhängig von $x$. Es werden die Nullstellen der 2. Ableitung bestimmt: $F''(x) = x(48 - 24x) = 0$ $x_1 = 0$ $48 - 24 x = 0$ $x_2 = 2$ Es gelten also ...
  13. Beispiel 1: Diagonalisierbarkeit
    Lineare Algebra > Eigenwerte und Eigenvektoren > Diagonalisierbarkeit > Beispiel 1: Diagonalisierbarkeit
    ... \times n$-Matrix $n$ Nullstellen resultieren. Anwendungsbeispiel 1: Diagonalisierbarkeit  $A = \begin{pmatrix} 2 & - \sqrt{5} & 0 \\ \sqrt{2} & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ Ist die obige Matrix diagonalisierbar? 1. Schritt: Berechnung des charakteristischen Polynoms $\chi_A(\lambda) = det(A-\lambda E) $ mit $\chi_A(\lambda)$ charakteristisches Polynom $\lambda E = \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & ...
  14. Beispiel 2: Diagonalisierbarkeit
    Lineare Algebra > Eigenwerte und Eigenvektoren > Diagonalisierbarkeit > Beispiel 2: Diagonalisierbarkeit
    ... der geometrischen Vielfachheit übereinstimmt. Anwendungsbeispiel 2: Diagonalisierbarkeit $A = \begin{pmatrix} 9 & 0 & -6 \\ 18 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$ Ist die obige Matrix diagonalisierbar? 1. Schritt: Berechnung des charakteristischen Polynoms Berechnung des charakteristischen Polynoms mittels Regel von Sarrus: $\chi_n(\lambda) = det(A-\lambda E) = \begin{vmatrix} 9-\lambda & 0 & -6 \\ 18 & 6-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 6-\lambda ...
Analysis und Lineare Algebra
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Technische Mechanik 1: Statik

  1. Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Bestimmung der Resultierenden > Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie
    Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie
    ... Wirkungslinie wie die beiden Kräfte. Anwendungsbeispiel: Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie Gegeben sei der obige Balken mit den zwei Kräften $F_1 = 37 N$ und $F_2 = 15 N$. Wie groß ist die Resultierende? In welche Richtung zeigt die Resultierende? Es wird zunächst die Vorzeichenkonvention so festgelegt, dass Kräfte die nach oben wirken positiv eingehen und Kräfte die nach unten wirken negativ: $\uparrow: R = F_2 - F_1 = 15N - 37 N = -22N$ Da die Resultierende negativ ist, ...
  2. Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Bestimmung der Resultierenden > Kräfte mit unterschiedlicher Wirkungslinie > Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
    Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
    ... veranschaulicht: Das Video wird geladen ... Anwendungsbeispiel: Kräfte im nichtrechtwinkligen Dreieck Gegeben seien folgende Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt und dem eingeschlossenen Winkel $\gamma$. Beispiel: Kräfte im nichtrechtwinkligen Dreieck Der Betrag der Resultierenden und ihre Wirkrichtung soll berechnet werden. Um den Betrag zu ermitteln wird der Kosinussatz angewandt: 1. Möglichkeit $R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2 \cdot F_1 \cdot F_2 \cdot \cos (\gamma)}$ $R ...
  3. Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Bestimmung der Resultierenden > Kräfte mit unterschiedlicher Wirkungslinie > Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
    Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
    ... bzw. in x-, y- und z-Richtung [Raum] wirkt. Anwendungsbeispiel: Komponentendarstellung Gegeben sei die folgende Darstellung der Kräfte $F_1$, $F_2$ und $F_3$ mit gleichem Angriffspunkt, sowie deren Winkel gemessen zur $x$-Achse: Beispiel  Berechne den Betrag der Resultierenden und ihre Richtung! In der obigen Grafik sind die Kräfte und ihre Winkel gemessen zur $x$-Achse angegeben. Diese Kräfte müssen zunächst jeweils in Komponenten zerlegt werden, welche in $x$- und $y$-Richtung ...
  4. Kräftegleichgewicht bei mehr als zwei Kräften
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Kräftegleichgewicht in der Ebene > Kräftegleichgewicht bei mehr als zwei Kräften
    Kräftegleichgewicht bei mehr als zwei Kräften
    ... eine unbekannte Kraft ermitteln zu können. Anwendungsbeispiel: Kräftegleichgewicht Man hängt ein Bild mit Hilfe eines Faden an einem in die Wand eingeschlagenen Nagel auf. Siehe hierzu die nachfolgende Abbildung:  Beispiel: Kräftegleichgewicht In diesem Beispiel treten drei Kräfte auf. Die Gewichtskraft $ F_G $ wirkt senkrecht nach unten und durch die Aufhängung entstehen 2 Seilkräfte $ F_1 $ und $ F_2 $, welche im jeweils gleichen Winkelmaß nach oben wirken. Erstellt man ...
  5. Kräftegleichgewicht im Raum
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Kräftegleichgewicht im Raum
    Kräftegleichgewicht im Raum
    ... = 0, \sum F_{iy} = 0, \sum F_{iz} = 0$.  Anwendungsbeispiel: Kräftegleichgewicht im Raum Beispiel: Kräftegleichgewicht im Raum Die obige Grafik zeigt das Gelenk $C$, welches sich im Gleichgewicht befindet. Auf das Gelenk wirken die Stabkräfte 1 und 2, die Seilkraft 3 und die Gewichtskraft G. Die Stab- und Seilkräfte wirken als Zugkräfte. All diese Kräfte bewirken, dass das Gelenk im Gleichgewicht bleibt. Die Gewichtskraft sei gegeben mit 10 Newton. Ebenfalls gegeben sind die ...
  6. Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    ... von statischen Problemen sein wird.    Anwendungsbeispiel: Kräfte mit parallelen Wirkungslinien Gegeben sei die obige Grafik, in welcher zwei Kräfte $F_1 = 10 N$ und $F_2 = 5 N$ auf parallelen Wirkungslinien im Abstand von $h = 8 m$ auf den Balken wirken. Wie groß ist die Resultierende der beiden Kräfte und wo genau liegt sie? Um nun die Resultierende der beiden Kräfte zu bestimmen, werden die Gleichgewichtskräfte $ F_h $ und $ - F_h $ hinzugefügt. Diese sind auf einer gemeinsamen ...
  7. Resultierende ebener Kräftegruppen
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Resultierende ebener Kräftegruppen
    Resultierende ebener Kräftegruppen
    ... bedeutend für die Wirkweise der Momente.  Anwendungsbeispiel: Resultierende ebener Kräftegruppen Beispiel: Resultierende ebener Kräftegruppen Gegeben sei ein gleichseitiges Sechseck, welches durch vier Kräfte $F_1$ und $F_2$ belastet wird. Die Kräfte $F_1$ haben den Betrag von 10 N, die Kräfte $F_2$ den Betrag von 20 N. Für den Ursprung des Koordinatensystems soll der Bezugspunkt $A$ (genau die Mitte des Sechsecks) gewählt werden. Wie groß ist die Resultierende und wo befindet ...
  8. Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    ... = 0$    Gleichgewichtsbedingung Anwendungsbeispiel 1: Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftegruppen Beispiel: Gleichgewicht ebener Kräftegruppen An welcher Stelle muss das Lager angebracht werden, damit sich der gewichtslose Balken im Gleichgewicht befindet? Wie groß ist die Lagerkraft? Die beiden Kräfte $F_1$ und $F_2$ sind vertikal gerichtet, weshalb auch die Lagerkraft $F_L$ vertikal gerichtet sein muss. Es wird der Bezugspunkt $X$ gewählt und der Abstand von ...
  9. Räumliche Zusammensetzung von Kräften
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Räumliches Kräftesystem > Räumliche Zusammensetzung von Kräften
    Räumliche Zusammensetzung von Kräften
    ... tatsächlicher Lage berücksichtigt wird.  Anwendungsbeispiel: Kräfte im Raum Kräfte im Raum Gegeben sei der obige Quader auf den die 6 Kräfte $F_1$ bis $F_6$ wirken. Die Seitenlängen sind gegeben mit $a = 5m$, $b = 5m$ und $c = 10m$. Die Beträge der Kräfte sind der Grafik zu entnehmen. Berechne die Resultierende sowie das Moment für den Bezugspunkt $X$. Die Resultierende wird aus den drei Teilresultierenden $R_x$, $R_y$ und $R_z$ berechnet. Dazu benötigt man das Einzeichnen ...
  10. Einzelne parallele Kräfte
    Schwerpunkte > Einzelne parallele Kräfte
    Einzelne parallele Kräfte
    ... um den Balken im Gleichgewicht zu halten. Anwendungsbeispiel: Haltekraft bei parallelen Einzelkräften Haltekraft In der obigen Grafik sind die Kräfte $F_1 = 10 kN$, $F_2 = 20 kN$, $F_3 = 15 kN$ und $F_4 = 18 kN$ abgebildet, die alle parallel zueinander sind und auf den gewichtslosen Balken wirken. Es stellt sich die Frage, wie groß die Haltekraft $H$ sein muss, damit der Balken im Gleichgewicht ist. Es wird insbesondere der Punkt gesucht, in dem die Haltekraft angreifen muss. Der ...
  11. Lagerreaktionsberechnung ebener Tragwerke
    Lagerreaktionen > Lagerreaktionsberechnung ebener Tragwerke
    Lagerreaktionsberechnung ebener Tragwerke
    ... folgt nun ein exemplarisches Beispiel. Anwendungsbeispiel: Bestimmung von Lagerreaktionen In der unteren Abbildung ist ein Balken dargestellt, der auf einem Festlager $A$ und einem Loslager $ B$ gelagert ist. Zudem wirkt auf ihn die Kraft $ F = 20 kN $ im Winkel $\alpha = 50 ° $. Es gilt nun die unbekannten Lagerreaktionen zu bestimmen.  Beispiel: Bestimmung der Lagerreaktionen Zur Berechnung der Lagerreaktionen benötigt man die drei Gleichgewichtsbedingungen $R_x = 0$, $R_y ...
  12. Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    Lagerreaktionen > Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    ... der Momentengleichungen in dieses Lager.  Anwendungsbeispiel: Bestimmung der Lagerreaktionen bei räumlichen Tragwerken In der obigen Grafik ist eine Winde zu sehen. Mittels der Kraft $F$ wird die Kurbel gedreht und damit dreht sich das Rad, wodurch sich das Gewicht nach oben ziehen lässt. Das Lager $A$ sei ein Loslager, welches Verschiebungen senkrecht zur Kurbel verhindert, das Lager $B$ ein Festlager, welches in Verschiebungen in alle drei Raumrichtungen verhindert. Die Kurbel greift ...
  13. Anwendungsbeispiel Dreigelenkbogen
    Lagerreaktionen > Statische Bestimmheit mehrteiliger Tragwerke > Anwendungsbeispiel Dreigelenkbogen
    Anwendungsbeispiel Dreigelenkbogen
    ... miteinander verbunden sind (drei Gelenke). Anwendungsbeispiel: Dreigelenkbogen Beispiel Dreigelenkbogen Gegeben sei der obige Dreigelenkbogen mit den Lagern $A$ und $B$, dem Gelenk $G$ und den Kräften $F_1$ und $F_2$. Wie groß sind die Lagerkräfte und wie groß die Gelenkkräfte? Prüfe bitte auf statische Bestimmtheit! Statische Bestimmtheit Der obige Dreigelenkbogen hat $r = 2 + 2$ Lagerreaktionen, $v = 2$ Kräfte, die das Gelenk übertragen kann und $n = 2$ Teilkörper (durch ...
Technische Mechanik 1: Statik
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Thermodynamik

  1. Spezialfälle des allgemeinen Gasgesetzes
    Grundlagen der Thermodynamik > Thermische Zustandsgleichungen > Spezialfälle des allgemeinen Gasgesetzes
    Spezialfälle des allgemeinen Gasgesetzes
    ... gilt: $\frac{p_1}{p_2} = \frac{T_1}{T_2}$ Anwendungsbeispiel: Goethe Barometer Gegeben sei obiges Goethe-Barometer. Dieses wurde bei einem mittleren Atmosphärendruck von $p_{amb} = 101.325 Pa$ mit Wasser ($\rho = 998,2 kg/m^3$) gefüllt, wobei die Wasserhöhe im Behälter und in dem Schnabel gleich hoch sind. Ist dies der Fall, so sind Innendruck (im Behälter) und Außendruck gleich hoch. Ändert sich nun der Atmosphärendruck (Außendruck) so ändert sich die Wasserhöhe im Behälter. ...
Thermodynamik
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Operations Research 1

  1. Dijkstra-Algorithmus
    Graphentheorie > Kürzeste Wege > Dijkstra-Algorithmus
    Dijkstra-Algorithmus
    ... anhand eines Beispiels demonstriert werden. Anwendungsbeispiel: Dijkstra-Algorithmus Gegeben sei der obige Diagraph. Für diesen soll nach dem Dijkstra-Algorithmus der kürzeste Weg von einem Startknoten zu allen anderen Knoten bestimmt werden. Begonnen wird mit der Initialisierung: Als Startknoten wird der Knoten 1 gewählt: $M = \{1 \}$, $D(1) = 0$, $D(i) = \infty$ für die Knoten $i = 2,3,4,5,6$ und $V(i) = -$ für alle Knoten $i = 1,2,3,4,5,6$. Das Ganze wird in eine Tabelle ...
Operations Research 1
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