Anwendungsbeispiel

... Normalbedingungen eine gute Näherung. Anwendungsbeispiel 1: Thermische Zustandsgleichung des idealen GasesIn einem Behälter mit dem Volumen von $0,1 m^3$ herrscht ein Druck von 20 MPa. Die Temperatur beträgt $t = 25 °C$ und der Behälter ist mit Sauerstoff gefüllt. Der Sauerstoff soll näherungsweise als ideales Gas angenommen werden. Berechne die Masse des Sauerstoffs!Die thermische Zustandsgleichung ist:$pV = m \; R_i \; T$         Gegeben ...

... durch den Reibungskoeffizienten $\mu$ ersetzt.Anwendungsbeispiel: HaftungswinkelBetrachten wir nun den obigen Klotz auf der rauen schiefen Ebene. Bei welchem Winkel $\rho_0$ befindet sich der Klotz gerade noch in Ruhe, wenn $\mu_0 = 0,8$? Der Haftungswinkel wird berechnet zu:$\rho_0 = arctan(\mu_0)$  $\rho_0 = arctan(0,8)$  $\rho_0 = 38,67°$Der Winkel zwischen Grenzhaftkraft $R$ und Normalkraft $N$ darf höchstens 38,67° betragen.Anwendungsbeispiel: HaftungskoeffizientDer ...

... nochmals aufgeführt und Anwendungsbeispiele aufgeführt.Anwendungsbeispiel 1: Ungedämpfte harmonische SchwingungEin Körper führt eine ungedämpfte harmonische Schwingung aus. Die Weg-Zeit-Funktion seiner Bewegung lautet:$y(t) = 2m \cdot \sin(\pi s^{-1} \cdot t)$Bestimme für diese Schwingung: die Eigenfrequenz $\omega$ die Schwingungsdauer $T$ die Amplitude $A$Wir betrachten die obige Bewegungsgleichung und kennen aus diesem Abschnitt ...

... \cdot A^2 \cdot e^{-2\delta \cdot t}$Anwendungsbeispiel: Gedämpfte SchwingungEine gedämpfte Schwingung startet mit maximaler Amplitude und hat nach 15 s nur noch 2% ihrer Anfangsamplitude. Wie groß ist der Abklingkoeffizient der Schwingung?Hier können wir die Amplitudenfunktion heranziehen:$A(t) = A \cdot e^{-\delta \cdot t}$      Nach $t = 15s$ ist nur noch 2% der Anfangsamplitude $A$ gegeben:$A(t) = 0,02 A$Wir setzen ein:$0,02 A = A \cdot e^{-\delta ...

... Frequenz ist Hertz.Einheit: $1 Hz = \frac{1}{s}$Anwendungsbeispiel: FrequenzDu steigst in ein Riesenrad ein und fährst insgesamt 3 Runden (3 Kreisumdrehungen) in einer Zeit von 10 Minuten. Wie ist die Frequenz?Riesenrad$f = \frac{3}{10 min} = 0,3 \frac{1}{min} $In Hertz: $1 Hz = \frac{1}{s}$$0,3 \frac{1}{min} = 0,3 \frac{1}{60} \frac{1}{s} = 0,005 Hz$In einer Minute schafft das Reisenrad eine Drehung von 0,3 Runden.Anwendungsbeispiel: Gleichförmige KreisbewegungGegeben sei ein Schwungrad ...

... + a_3^2} \cdot \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}$Anwendungsbeispiel: Skalarprodukt und WinkelberechnungGegeben seien die Vektoren $\vec{a} = (1,4)$ und $\vec{b} = (4,3)$. Berechne das Skalarprodukt und den Winkel, welcher durch die beiden Vektoren eingeschlossen wird!Das Skalarprodukt kann ohne Kenntnis des Winkels wie folgt berechnet werden:$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 = 1 \cdot 4 + 4 \cdot 3 = 16 $Es liegt ein positives Skalarprodukt vor, d.h. es liegt ein spitzer Winkel ...

... der Kraft (siehe Abschnitt feste Rolle). Anwendungsbeispiel: FlaschenzugGegeben sei der obige Flaschenzug. Wie groß muss die aufzubringende Zugkraft sein, wenn der Körper ein Gewicht von 80 kg aufweist.Zunächst berechnen wird die Gewichtskraft:$G = m \cdot g = 80 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} = 784,8 N$Danach berechnen wir die Zugkraft:$F_{zug} = \frac{1}{n} \cdot G$Wir benötigen nun die Anzahl an tragenden Seilstücken. Zwischen Wandhaken und loser Rolle und zwischen ...

... da kein Wärmetransport stattfindet.Anwendungsbeispiel 1: EntropieEs wird innerhalb eines Stirlingmotors Luft bei einer konstanten Temperatur von 50°C komprimiert. Dabei wird dem System Dissipationsarbeit von 100 Joule zugeführt sowie Wärme von 350 Joule abgeführt. Wie ändert sich die Entropie?Es wird folgende Formel herangezogen:$S_2 - S_1 = \int_1^2 \frac{dQ + dW_{diss}}{T}$.Es werden die Werte mit den richtigen Einheiten eingesetzt und dann die Entropieänderung ...

... = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2 + ... + a_n^2}$Anwendungsbeispiel: Länge von VektorenGegeben sei der Vektor $\vec{a} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 5 \end{array} \right)$Berechne die Länge des Vektors!$|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 7,071$EinheitsvektorEin Vektor der die Länge $|1|$ besitzt, wird in der Mathematik als Einheitsvektor bezeichnet und weist in Richtung der positiven Koordinatenachsen.Für den Raum existieren drei Einheitsvektoren:$\vec{e}_x ...

... ist) in ihre $x$- und $y$-Komponente zerlegt.Anwendungsbeispiel: Hangantriebskraft und NormalkraftBeispiel: Hangantriebskraft und Normalkraft Gegeben sei die obige Kiste mit $m = 20 kg$ auf der schiefen Ebene mit dem Winkel $\alpha$ zur Horizontalen. Berechne die Hangantriebskraft und Normalkraft für $\alpha = 25°$ und $\alpha = 60°$. Bestimme außerdem die Beschleunigung für beide Winkel! Zunächst erfolgt der Freischnitt der Kiste:Freischnitt Danach ...

... auf Straße0,7 - 0,90,5 - 0,8Anwendungsbeispiel: Klotz auf horizontaler EbeneGegeben sei ein Klotz, welcher durch die Kraft $F$ belastet wird.Gegeben sind: $\mu_0 = 0,5$, $\mu = 0,3$, $m = 20 kg$, $F = 15 kN$.a) Unter welchen Haftungswinkel $\rho_0$ befindet sich der Klotz gerade noch in Ruhe?b) Die Kraft greife in einem Winkel $\alpha =60°$ an dem Klotz an. Wie groß ist die Beschleunigung (Annahme: Klotz hebt nicht von der Horizontalen ab)?a) Der Haftungswinkel wird ...

... mit einem negativen Vorzeichen versehen werden.Anwendungsbeispiel: Elastischer StoßEin Klotz mit der Masse $m = 3 kg$ wird durch eine Feder mit Federkonstante $k = 5.400 \frac{N}{m}$, die zu Anfang um $s = 30 cm$ zusammengedrückt ist, auf einer ebenen Fläche weggeschleudert. Nachdem der Klotz einen Gleitweg von $s = 6m$ zurückgelegt hat, stößt dieser mit einem zweiten ruhenden Klotz der Masse $m_2 = 5 kg$ zusammen.In welchem Abstand voneinander bleiben die beiden ...

... welche den Ball auf eine Kreisbahn zwingt.Anwendungsbeispiel: ZentripetalkraftEin 0.8 kg schwerer Körper wird an einer 1,8 m langen Schnur auf einer Kreisbahn geschleudert. Die Schnur hält eine Belastung von 400N aus. Wie groß ist die Geschwindigkeit des Körpers?$F_Z = m \cdot \frac{v^2}{r}$   Umstellen nach $v$:$v = \sqrt{F_Z \cdot r}{m}$Einsetzen der Werte:$v = \sqrt{400 N \cdot 1,8m}{0,8 kg}$$v = 30 \frac{m}{s}$

... fortbewegen.  Astronaut an der ISSAnwendungsbeispiel: RückstoßGegeben sei eine Person mit dem Gewicht von 80 kg, welche sich auf einem glatten zugefrorenen See befindet (keine Haftreibung). Neben dieser Person befindet sich eine große Kiste der Masse $m = 150 kg$. Beide stoßen sich voneinander ab. Bestimme das Verhältnis der Geschwindigkeiten!Die Impulse sind Null, weil sich die Person und die Kiste zunächst in Ruhe befinden (v = 0):$p_1 = 80 kg \cdot ...

... Kräfte zu berechnen. Anwendungsbeispiel: KräftegleichgewichtMan hängt ein Bild mit Hilfe eines Faden an einem in die Wand eingeschlagenen Nagel auf. Siehe hierzu die nachfolgende Abbildung: Beispiel: KräftegleichgewichtIn diesem Beispiel treten drei Kräfte auf. Die Gewichtskraft $ F_G $ wirkt senkrecht nach unten und durch die Aufhängung entstehen 2 Seilkräfte $ F_1 $ und $ F_2 $, welche im jeweils gleichen Winkelmaß nach oben ...

... um den Balken im Gleichgewicht zu halten.Anwendungsbeispiel: Haltekraft bei parallelen EinzelkräftenHaltekraftIn der obigen Grafik sind die Kräfte $F_1 = 10 kN$, $F_2 = 20 kN$, $F_3 = 15 kN$ und $F_4 = 18 kN$ abgebildet, die alle parallel zueinander sind und auf den gewichtslosen Balken wirken. Es stellt sich die Frage, wie groß die Haltekraft $H$ sein muss, damit der Balken im Gleichgewicht ist. Es wird insbesondere der Punkt gesucht, in dem die Haltekraft angreifen muss.Der ...

... = 0$    GleichgewichtsbedingungAnwendungsbeispiel 1: Gleichgewichtsbedingungen ebener KräftegruppenBeispiel: Gleichgewicht ebener KräftegruppenAn welcher Stelle muss das Lager angebracht werden, damit sich der gewichtslose Balken im Gleichgewicht befindet? Wie groß ist die Lagerkraft?Die beiden Kräfte $F_1$ und $F_2$ sind vertikal gerichtet, weshalb auch die Lagerkraft $F_L$ vertikal gerichtet sein muss. Es wird der Bezugspunkt $X$ gewählt und der Abstand ...

... von statischen Problemen sein wird.   Anwendungsbeispiel: Kräfte mit parallelen WirkungslinienGegeben sei die obige Grafik, in welcher zwei Kräfte $F_1 = 10 N$ und $F_2 = 5 N$ auf parallelen Wirkungslinien im Abstand von $h = 8 m$ auf den Balken wirken. Wie groß ist die Resultierende der beiden Kräfte und wo genau liegt sie?Um nun die Resultierende der beiden Kräfte zu bestimmen, werden die Gleichgewichtskräfte $ F_h $ und $ - F_h $ hinzugefügt. Diese ...

... Haftreibung an Pollern am Steg befestigt. Anwendungsbeispiel: Seil um PollerPollerIn der obigen Grafik ist ein Seil zweimal um einen Poller gewickelt. Die Kraft $F_s$ stellt die Zugkraft des Schiffes dar, welches an diesem Seilende befestigt ist. Der Haftungskoeffizient sei $\mu_0 = 0,2$. Die Kraft $F$ sei 20 Newton. Wie groß darf die Kraft $F_s$, mit der das Schiff maximal ziehen darf, sein?Bei Überschreitung der Kraft, setzt sich das Seil in Richtung des Schiffes in Bewegung. ...

... anhand eines Beispiels erfolgen.Anwendungsbeispiel: KnotenpunktverfahrenGegeben sei das obige Fachwerk mit den zwei Kräften $F_1$ und $F_2$, sowie dem Festlager (links) und dem Loslager (rechts). Bestimme bitte alle Stäbe nach dem Knotenpunktverfahren!In den folgenden Abschnitten wird das Beispiel Schritt für Schritt und unter Zuhilfenahme von Grafiken gelöst.

... ein einfaches Fachwerk handelt. Anwendungsbeispiel: Statische Bestimmtheit von FachwerkenFachwerkDas obige Fachwerk besteht aus sieben Stäben (1 bis 7), die in fünf Knoten ($K_1$ bis $K_5$) miteinander verbunden sind. Außerdem besitzt das Fachwerk ein Loslager (rechts), welches nur vertikale Kräfte übertragen kann (= 1 Lagerreaktion) und ein Festlager (links), welches vertikale und horizontale Kräfte überträgt ( = 2 Lagerreaktionen). Es ...

... Wirkungslinie wie die beiden Kräfte.Anwendungsbeispiel: Kräfte mit gemeinsamer WirkungslinieGegeben sei der obige Balken mit den zwei Kräften $F_1 = 37 N$ und $F_2 = 15 N$. Wie groß ist die Resultierende? In welche Richtung zeigt die Resultierende?Es wird zunächst die Vorzeichenkonvention so festgelegt, dass Kräfte die nach oben wirken positiv eingehen und Kräfte die nach unten wirken negativ:$\uparrow: R = F_2 - F_1 = 15N - 37 N = -22N$Da die Resultierende ...

... wenn diese parallel zueinander sind. 1. AnwendungsbeispielDazu betrachten wir zwei Vektoren im $\mathbb{R}^3$.Gegeben seien die Vektoren $\vec{a} = (2,1,0)$ und $\vec{b} = (3,2,4)$.Sind die beiden Vektoren abhängig oder unabhängig voneinander?Man kann hier auch ohne Berechnung erkennen, dass die beiden Vektoren linear unabhängig voneinander sind, da der Vektor $\vec{a}$ an der dritten Stelle eine Null enthält und der Vektor $\vec{b}$ an dieser Stelle keine ...

... kehrt sich das Ungleichheitszeichen um.Anwendungsbeispiele: Einfache UngleichungenGegeben sei die folgende Ungleichung:$- \frac{1}{3}x - \frac{1}{2}x \le - \frac{4}{3}$Bestimme bitte alle reellen Lösungen dieser Ungleichung!Die Ungleichung wird unter Berücksichtigung des Ungleichheitszeichens nach $x$ umgestellt:$- \frac{5}{6}x \le - \frac{4}{3}$Nun lösen wir nach $x$ auf. Da bei der Auflösung nach $x$ die gesamte Gleichung mit $-\frac{6}{5}$ multipliziert wird, kehrt ...

... man $\vec{a} \cdot \vec{b}$.Projektion Anwendungsbeispiel: SkalarproduktEs seien folgende Vektoren gegeben: $\vec{a} = (4,0)$ und $\vec{b} = (4,4)$. Bitte berechne $\vec{a} \cdot \vec{b}$!Es werden zunächst die beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ eingezeichnet. Der Winkel zwischen den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ beträgt $45°$:Es wird als nächstes das Skalarprodukt berechnet durch:$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\varphi) = ...

... \choose 4} = \frac{5 \cdot 4}{4} = 5$Anwendungsbeispiel: BinominalkoeffizientBeim Lotto 6 aus 49 ist die Anzahl der möglichen Ziehungen 49 über 6:${49 \choose 6} = \frac{49!}{6!(49-6)!} = \frac{49!}{6!43!}$$=\frac{\not1*\not2*\not3*...*\not43*44*45*46*47*48*49}{(1*2*3*...*5*6)(\not1*\not2*\not3*...*\not43)} = \frac{44*45*46*47*48*49}{1*2*3*...*5*6} = 13.983.816$verschiedene Möglichkeiten 6 "Richtige" zu ziehen.In diesem Beispiel können wir den Wert auch gut ohne ...

... sind, wenn diese parallel zueinander sind. AnwendungsbeispielDazu betrachten wir zunächst als einfaches Beispiel die Einheitsvektoren im $\mathbb{R}^2$.$\vec{e_x} = (1,0)$ und $\vec{e_y} = (0,1)$Da die beiden Einheitsvektoren nicht parallel zueinander sind und im $\mathbb{R}^2$ liegen, sind diese unabhängig voneinander. Berechnung:Zwei Vektoren $\vec{a_1}$ und $\vec{a_2}$ sind genau dann linear abhängig, wenn sich der Nullvektor durch eine Linearkombination der Vektoren ...

... folgenden Abschnitt werden wir dir Anwendungsbeispiele zur Lösung von einfachen Ungleichungen, Bruchungleichungen und Betragsungleichungen vorstellen.

Gegeben sei wieder das in Anwendungsbeispiel 2 gegebene U-Rohr-Manometer, mit der mit Stickstoff gefüllten geschlossenen Säule.Die Angaben sind der Grafik zu entnehmen.Es wird der Säule nun Wärme zugeführt, was dazu führt, dass sich der Stickstoff in der linken Säule um 20mm ausbreitet. Die Druckänderung im Behälter sowie die Dichte- und Längenänderung des Quecksilbers können dabei vernachlässigt werden.Wie groß ist die Temperaturdifferenz ...

... Dabei entstehen Wasser und ein Salz. Anwendungsbeispiel:In unserem Beispiel liegt eine wässrige Lösung mit dem pH-Wert von 2 vor.  Über den pH-Wert wissen wir, dass er sich im sauren Bereich befindet. Daraus können wir schließen, dass die Oxoniumionenkonzentration ($[H_3O^+]$) höher ist als die Hydroxidionenkonzentration ($[OH^-]$). Um diese beiden Konzentrationen auszugleichen, müssen wir der sauren Lösung eine Base hinzufügen um den ...

... für diese Elemente. Anwendungsbeispiel Ionisierung von ChlorIn diesem Beispiel betrachten wir nun die Ionisierung von Chlor (Cl). Die Reaktionsgleichung ist die folgende:ReaktionsgleichungWie im Beispiel des vorangegangenen Kurstextes war das Chlor-Atom vor der Ionisierung neutral. Nach der Ionisierung liegt ein Elektron $ e^- $ mehr in der Atomhülle vor. Deshalb resultiert das hochgestellte Minus in der Reaktionsgleichung $ Cl^- $. Aus dem Chlor wird dann ein Chloridion.Ionisierung ...

... unter den zuvor behandelten Bindungsarten. AnwendungsbeispielWasser besteht aus Wasserstoff und Sauerstoff. Wasserstoff hat eine positive Partialladung und Sauerstoff eine zweifache negative Ladung. Es bildet sich ein Dipol. Dadurch kommt es zur Bildung von Wasserstoffbrückenbindungen. Diese Bindung setzt sich aus zwei Wasserstoffatomen eines Molekül mit einem Sauerstoffatom eines anderen Molekül zusammen.  WasserstoffbrückenbindungOhne diese Wechselwirkung der Wassermoleküle ...

... PeriodeIonisierungsenergie der 2. und 3. PeriodeAnwendungsbeispiel Ionisierung von NatriumIn diesem Beispiel betrachten wir die Ionisierung von Natrium (Na). Die Reaktionsgleichung hierbei ist folgende:ReaktionsgleichungIn unserem Beispiel hat das zuvor neutrale Atom immer noch die identische Anzahl von Protonen $ p^+ $ im Atomkern, jedoch ein Elektron $ e^-$ weniger in der Atomhülle. Daraus resultiert auch das hochgestellte Plus in der Reaktionsgleichung $ Na^+ $. Das Natrium trägt nun ...

... rechts im Periodensystem zu finden sind. Anwendungsbeispiel Fluorwasserstoff-MolekülZum besseren Verständnis folgt nun ein Beispiel veranschaulicht durch die chemische Bindung zwischen einem Wasserstoff-Atom und einem Fluor-Atom. Diese Bindung zählt zu den kovalenten Bindungen, bei der sich Elektronenpaare binden. Dabei stellen beide Bindungspartner je ein Elektron zur Verfügung.FluorwasserstoffBeide haben unterschiedliche Elektronegativitäten:Wasserstoff: EN(H) ...

... wurde bereits im vorherigen Abschnitt (2. Anwendungsbeispiel) durchgeführt bzw. ist aus der Tabelle Anhang: Biegelinie für unterschiedliche Balkenbelastung im nächsten Abschnitt zu entnehmen:$w_F (x = l) = \frac{Fa^3}{3EI} + \frac{Fa^2}{2EI} \cdot (l - a)$Hier muss allerdings die Länge $l = 2a$:$w_F (x = 2a) = \frac{Fa^3}{3EI} + \frac{Fa^2}{2EI} \cdot a$In einem zweiten Schritt betrachtet wir nun die Durchbiegung des Balkens, wenn die statisch Unbestimmte $X$ auf ...

... besseren Verständnis folgt nun ein Anwendungsbeispiel:AnwendungsbeispielGegeben sei ein statisch unbestimmter Stab mit den Querschnittsflächen $ A_1 $ und $ A_2 $. Dieser Stab ist zwischen zwei starren Wänden gelagert. In horizontaler Richtung treten zwei Lagerkräfte A und B auf. Gesucht sind die Lagerreaktionen des rechten Bereichs, welcher um die Temperatur $\triangle T $ gleichmäßig erwärmt wird. Statisch unbestimmter StabWieder stehen die ...

... I_{y^*z^*} = I_{yz} - z_s^*y_s^* \cdot A $Anwendungsbeispiel: Steinersche Sätze / Parallelverschiebung der AchsenEs soll anhand eines einfachen Beispiels dargestellt werden, wie man mittels der Steinerschen Sätze die Flächenträgheitsmomente bestimmt oder durch die direkte Lösung der Integrale. Dies soll anhand des bereits bekannten Rechtecks durchgeführt werden. Später wird dies dann auch anhand von zusammengesetzten Flächen gezeigt.Es sollen die Flächenträgheitsmomente ...

... die Winkelabtragung in einer Rechtsdrehung.Anwendungsbeispiel: HauptträgheitsmomenteDer obige rechteckige Querschnitt eines Balkens hat die Flächenträgheitsmomente:$I_y = \frac{a^3b}{12}$$I_z =  \frac{b^3a}{12}$$I_{yz} = 0$.Das bedeutet die Flächenträgheitsmomente sind auch gleichzeitig die Hauptträgheitsmomente, da das Deviationsmoment $I_{yz} = 0$ ist. Das liegt daran, dass mindestens eine Achse eine Symmetrieachse darstellt. In diesem Fall stellen ...

... $f$ in $G$ einer lokalen Lipschitzbedingung.Anwendungsbeispiele: Globale LipschitzbedingungGegeben sei die Funktion $f(x,y)=x^2 + y^2 $. Mit $x \in \mathbb{R}$. Zeige dass $f$ in $\mathbb{R}^2$ nicht global einer Lipschitzbedingung bezüglich $y$ genügt!Gesucht wird ein reelles $L$ mit $ | f(x, y_1) - f(x, y_2)| \le L \cdot |y_1 - y_2| $  für alle  $(x, y_1), \; (x, y_2) \; \in G \subset \mathbb{R}$$ | (x^2 + y_1^2) - (x^2 + y_2^2)| \le L \cdot |y_1 - y_2| $$ | ...

...        ParameterdarstellungAnwendungsbeispielGegeben sei die Funktion: $f(x) = 0,5x^2$ (Parabel). Bestimme für den Punkt $P(0, 0)$ den Krümmungsradius.KrümmungsradiusZuerst werden die beiden Ableitungen gebildet:$f´(x) = x$$f´´(x) = 1$Danach in die Formel einsetzen und $x_0 = 0$ einsetzen:$r = |\frac{(1 + (x)^2)^{\frac{3}{2}}}{1}| = |\frac{(1)^{\frac{3}{2}}}{1}| = 1$  Im Punkt $P(0,0)$ beträgt der Krümmungsradius $r=1$.Krü...

... darstellen) ist das Differential der Funktion.AnwendungsbeispielGegeben sei die Funktion $z = f(x,y) = x^2 + y^2$Das totale Differential ist:$\frac{\partial f}{\partial x} dx = 2x \ dx$$\frac{\partial f}{\partial y} dy = 2y \ dy$$\rightarrow \; dz = 2x \ dx + 2y \ dy$Gegeben sei die Funktion $ w = f(x,y,z) = x^2 y z$Das totale Differential ist:$\frac{\partial f}{\partial x} dx = 2xyz \ dx$$\frac{\partial f}{\partial y} dy = x^2z \ dy$$\frac{\partial f}{\partial z} dz =x^2y \ dz$$\rightarrow \ ...

... (x) := y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y_n (t))dt $.Anwendungsbeispiel: Iterationsverfahren von Picard-LindelöfMan Löse iterativ das Anfangswertproblem $\ y' = 2xy $ mit  $ y(0) := 1 $.  Aus der Anfangsbedingung $y(0) = 1$ kann abgelesen werden: $x_0 = 0$ und $y_0 = 1$$\ y_0 (x) \equiv 1 $$\ y_1 (x) = 1 + \int\limits_0^x 2t \cdot 1 \ dt = 1 + [t^2] = 1 + x^2 - 0 = 1 + x^2 $$\ y_2 (x) = 1 + \int\limits_0^x 2t \cdot (1 + t^2) dt = 1 + \int\limits_0^x  2t + 2t^3 \ dt$$= 1 + 2 \int\limits_0^x ...

... üben. Hierzu haben wir sechs verschiedene Anwendungsbeispiele verfasst, die Dir helfen werden ein Verständnis für Signalflusspläne zu bekommen.Stelle Regelstreckengleichung als Signalflussplan dar.Stelle eine Integrationgleichung als Signalflussplan dar.Stelle eine Differentialgleichung als Signalflussplan dar.Stelle die Gleichung für eine elektische Leistung P als Signalflussplan dar.Stelle den Zusammenhang von Kraft, Beschleunigung und Weg bei einer Masse als Signalflussplan ...

... $\ dim [K_P] = \frac{dim[x_a]}{dim[x_e]} $Anwendungsbeispiel:Wir betrachten erneut einen Generator mit einer Spannung in der Einheit Volt und einer Drehzahl in der Einheit Umdrehungen pro Minute. Bestimmen Sie die Dimension für den Proportionalbeiwert.Ankerspannung $ U_A $: Volt (V) Drehzahl $ n $: $ min^{-1} $Proportionalbeiwert: $ dim[KP] = \frac{dim[n]}{dim[U_A]} = \frac{min^{-1}}{V} = (V \cdot min)^{-1}$

In diesem Anwendungsbeispiel soll nun das Übertragungsverhalten von $ x_a $ in Abhängigkeit von $ x_e $ ermittelt werden. Hierzu wollen wir den vorliegenden Wirkungsplan schrittweise vereinfachen.Übertragungselemente 1. Schritt: Zusammenfassen von $ F_{21} $ und $ F_{22} $ durch Verwendung der Umformungsregel 21. Umformung $ F_2 = F_{21} \cdot F_{22} $2. Schritt: zusammenfassen von $ F_{31} $ und $ F_{32} $ durch Verwendung der Umformungsregel 12. Umformung $ F_3 = F_{31} ...

...   Im nächsten Kurstext folgt ein Anwendungsbeispiel zur ungleichförmigen Bewegung.

... zur Zeit $t$.Im kommenden Abschnitt folgen Anwendungsbeispiele zur Bestimmung des Geschwindigkeitsvektor für einen bestimmten Punkt.

Übungsbeispiel 4Im vierten und letzten Anwendungsbeispiel betrachten wir wieder einen Widerstand und einen Kondensator. Beide befinden sich auch nicht mehr in einer Reihen-, sondern in einer Parallelschaltung.Parallelschaltung eines Widerstandes und einer KondensatorParallelschaltung eines Widerstandes und eines Kondensators In der obigen Abbildung entdeckst du erneut einen Widerstand $R$ und einen Kondensator $C$. Beide sind diesmal innerhalb eines Wechselstromkreises parallel ...

... $w$ verwendet. Es können aber in Anwendungsbeispielen auch $c$ oder $v$ auftreten.

... der WasserstoffbrückenbindungAnwendungsbeispielWasser besteht aus Wasserstoff und Sauerstoff. Wasserstoff hat eine positive Partialladung und Sauerstoff eine zweifache negative Ladung. Es bildet sich ein Dipol. Dadurch kommt es zur Bildung von Wasserstoffbrückenbindungen. Diese Bindung setzt sich aus zwei Wasserstoffatomen eines Molekül mit einem Sauerstoffatom eines anderen Molekül zusammen.  Wasserstoffbrückenbindung