Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Krümmung und Torsion im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Krümmung und Torsion im Raum
    ... \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}|^2}$AnwendungsbeispielGegeben sei die Raumkurve $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{pmatrix}$. Bestimme die Krümmung und Torsion im Punkt $t = 0$.Ableitungen bilden$\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow (0, 1, 1)$$\ddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow (-1, 0, 0)$$\dddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} \sin (t) ...
  2. Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Picard-Lindelöf > Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf
    ... $f$ in $G$ einer lokalen Lipschitzbedingung.Anwendungsbeispiele: Globale LipschitzbedingungGegeben sei die Funktion $f(x,y)=x^2 + y^2 $. Mit $x \in \mathbb{R}$. Zeige dass $f$ in $\mathbb{R}^2$ nicht global einer Lipschitzbedingung bezüglich $y$ genügt!Gesucht wird ein reelles $L$ mit $ | f(x, y_1) - f(x, y_2)| \le L \cdot |y_1 - y_2| $  für alle  $(x, y_1), \; (x, y_2) \; \in G \subset \mathbb{R}$$ | (x^2 + y_1^2) - (x^2 + y_2^2)| \le L \cdot |y_1 - y_2| $$ | ...
  3. Totales Differential
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Totales Differential
    ... darstellen) ist das Differential der Funktion.AnwendungsbeispielGegeben sei die Funktion $z = f(x,y) = x^2 + y^2$Das totale Differential ist:$\frac{\partial f}{\partial x} dx = 2x \ dx$$\frac{\partial f}{\partial y} dy = 2y \ dy$$\rightarrow \; dz = 2x \ dx + 2y \ dy$Gegeben sei die Funktion $ w = f(x,y,z) = x^2 y z$Das totale Differential ist:$\frac{\partial f}{\partial x} dx = 2xyz \ dx$$\frac{\partial f}{\partial y} dy = x^2z \ dy$$\frac{\partial f}{\partial z} dz =x^2y \ dz$$\rightarrow \ ...
  4. Binormalenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Binormalenvektor im Raum
    ... alle drei Vektoren senkrecht zueinander stehen.AnwendungsbeispielGegeben sei die Raumkurve $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{pmatrix}$. Berechne den Binormalenvektor.Ableitungen bilden$\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix}$$\ddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix}$Vektorprodukt bilden$\dot{\vec{r}}(t) \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}(t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos ...
  5. Ricatti Differentialgleichung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Spezielle Differentialgleichungen > Ricatti Differentialgleichung
    ... zu verstehen.Anwendungsbeispiel: Ricatti DifferentialgleichungLöse folgende Differentialgleichung $ \ y' + \frac{2}{x}y + y^2 = \frac{2}{x^2}$Davon ausgehend, dass mit $ y_1 = \frac{1}{x} $ durch Einsetzen eine spezielle Lösung gefunden wurde, kann die Riccati-Differentialgleichung transformiert werden.1. Als Substitution erhält man $ u = \frac{1}{y-\frac{1}{x}} $Daraus folgt: $\ y = \frac{1}{u} + \frac{1}{x} $ und $ y' = - \frac{u'}{u^2} - \frac{1}{x^2} ...
  6. Bogenlänge im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Bogenlänge im Raum
    ... nach $t$ umgestellt und dann eingesetzt wird.AnwendungsbeispielGegeben sei die Raumkurve: $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \sin (t) \\ \cos (t) \\ t \end{pmatrix} \; 0 \le t \le 2\pi$.Die Formel zum Wechsel zur Bogenlänge $s$ ist:$s =  \int\limits_0^t |\dot{\vec{r}}(t)| dt$Ableitung bilden und Länge berechnen$\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ -\sin (t) \\ 1 \end{pmatrix}$$|\dot{\alpha} (t)| = \sqrt{ \cos^2 (t) + \sin^2 (t) + 1^2} = \sqrt{2}$Bogenlänge ...
  7. Exakte Differentialgleichung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Exakte Differentialgleichung
    ... die von $y$ abhängig ist.Anwendungsbeispiel: Exakte DifferentialgleichungLöse die Differentialgleichung: $2x + 5 + (2y + 5)y´= 0$$p(x,y) = M = 2x + 5$$q(x,y) = N = 2y + 5$1.) Auf Exaktheit überprüfen:$M_y = 0$$N_x = 0$Da, $M_y = N_x$ ist die Exaktheitsbedingung erfüllt, d.h. es existiert ein $\psi_x = M, \; \psi_y = N$.2.) Integration$\psi (x,y) = \int \psi_x \; dx + I(y) = \int (2x + 5) dx + I(y)$$\psi (x,y) = x^2 + 5x + I(y)$3.) Bestimmung der ...
  8. Hauptnormalenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Hauptnormalenvektor im Raum
    ... (t)}}{{| \dot{\vec{t}}_e (t)|}}$AnwendungsbeispielGegeben sei die Kurve $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{pmatrix} \; 0 \le t \le 2\pi$.Die Kurve $\alpha (t)$ ist in Parameterdarstellung gegeben. Der dazugehörige Hauptnormalenvektor wird wie folgt ermittelt:Ableitungen bilden$\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix}$$\ddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix}$Kreuzprodukt des ...
  9. Partielle Ableitung höherer Ordnung
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Partielle Ableitung > Partielle Ableitung höherer Ordnung
    ... sind, dh. keine Sprünge aufweisen. AnwendungsbeispieleGegeben sei die Funktion $w = f(x,y,z) = x^2 y + z^2 x$1. MöglichkeitDie Ableitung nach $x$ und dann nach $y$:$\frac{\partial}{\partial x} f_x (x,y,z) = 2xy + z^2$$\frac{\partial}{\partial x} f_{x,y} (x,y,z) = 2x$Die Ableitung nach $y$ und dann nach $x$:$\frac{\partial}{\partial x} f_y (x,y,z) = x^2$$\frac{\partial}{\partial x} f_{y,x} (x,y,z) = 2x$$\rightarrow \ f_{xy} (x,y,z) $ = $\ f_{yx} (x,y,z)$.2. MöglichkeitOder ...
  10. Begleitendes Dreibein und Schmiegebene
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Begleitendes Dreibein und Schmiegebene
    ... \vec{b} (t) \cdot (\vec{r} (t) - \vec{x}_0) = 0$AnwendungsbeispielGegeben sei die Raumkurve $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{pmatrix}$. Berechne das begleitende Dreibein  $\ (\vec{t}_e (t),\vec{n}(t),\vec{b}(t))$  für  $t = 0$.Ableitungen bilden:$\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \; (0, 1, 1)$$\ddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \; ...
  11. Richtungsableitung
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Richtungsableitung
    ... \le 2\pi $ (Einheitskreis = Länge $1$).AnwendungsbeispielGegeben sei folgende Funktion $ f(x,y)=\left(\begin{array}{ll}\frac{x^3-xy^2}{x^2+y^2}, & (x,y)\not= (0,0) \\ 0, & (x,y)= (0,0)\end{array}\right) $.Wie sieht der Grenzwert zur Bestimmung von Richtungsableitungen im Punkt $(0,0)$ aus, wenn man ihn statt des Richtungsvektor nun mit dem Einheitsvektor bestimmt, und wie ist die Richtungsableitung?$f$ ist in $(0,0)$ stetig, da$ \lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = \lim\limits_{r ...
  12. Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    ... g(y) \not= 0 $ in impliziter Form ergeben. Anwendungsbeispiel: TDVLösen Sie die Differentialgleichung $y' = -2x(y^2 - y) $ mit Hilfe der "Trennung der Veränderlichen"-Methode!0. Zerlegung der Veränderlichen Es handelt sich um eine Funktion der Form: $y' = f(x) \cdot g(y)$mit  $ f(x) = -2x $ und $ g(y) = y^2-y $1. Bestimmung der Nullstellen von g(y):$ y^2 - y = y(y-1) = 0 \rightarrow y_1= 0, \ y_2 = 1 $Diese konstanten Funktionen $ y_1 = 0 $ und $ y_2 = 1 $ sind [partikuläre] ...
  13. Kettenregel
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Kettenregel
    ... bei Funktionen mit 3 oder n Veränderlichen.AnwendungsbeispieleGegeben sei die Funktion $z = f(x,y)$ mit $x = \sin (t)$ und $y = \cos (t)$.Dann ist die Ableitung:$\frac{dz}{dt} =  \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}$$\frac{\partial z}{\partial x}  = f(x)$$\frac{dx}{dt} = \cos (t)$$\frac{\partial z}{\partial y} = f(y)$$\frac{dy}{dt} = -\sin (t)$Insgesamt ergibt sich:$\frac{dz}{dt} = \frac{dz}{dt} = f(x) \cdot \cos ...
  14. Inhomogene Differentialgleichungen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Inhomogene Differentialgleichungen
    ... = \sum\limits^n_{k=1} c_k (x) y_k(x)$. Anwendungsbeispiel: Inhomogene DifferentialgleichungBestimme die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung $ y_S $ für folgende lineare Differentialgleichung$ y'' - \frac{x}{x-1}y' + \frac{1}{x-1}y = x - 1, \; \; x \not= 1$.Lösungsgesamtheit homogene DifferentialgleichungDie zugehörige homogene Differentialgleichung ist $ y'' - \frac{x}{x-1}y' + \frac{1}{x-1}y = 0 $.Sie besitzt die Lösungen $ y_1 = x $ und $ ...
  15. Bernoulli Differentialgleichung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Spezielle Differentialgleichungen > Bernoulli Differentialgleichung
    ... substituiert $ u = y^{1-\alpha} $ zurück.Anwendungsbeispiel: Bernoulli DifferentialgleichungLöse die folgende Differentialgleichung $y' + \frac{y}{x} - x^2 \sqrt[3]{y} = 0 $. 1. Man formt zuerst um und erhält mit$y' + \frac{1}{x}y = x^2 y^{\frac{1}{3}} $ mit $ \alpha = \frac{1}{3} $  eine Bernoulli Differentialgleichung.2. Als nächstes multipliziert man die Gleichung mit $y^{-\frac{1}{3}}$ und erhält:$y^{-\frac{1}{3}} \cdot y' + \frac{1}{x} y^{\frac{2}{3}} ...
  16. Homogene Differentialgleichungen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Homogene Differentialgleichungen
    ... der Differentialgleichung sind. Anwendungsbeispiele: Homogene DifferentialgleichungLöse folgende homogene, lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit dem d' Alembertschen Reduktionsverfahren.$\ (1 + x^2)y'' - 2xy' + 2y = 0 $. Durch hinsehen lässt sich erkennen, dass $ y_1 = x$  eine Lösung ist. Setzt man für $y = x$ und für $y' = 1$ (1. Ableitung von $x$) und für $y'' = 0$ (2. Ableitung von $x$) ein, so ergibt die gesamte Gleichnung null.Daraus ...
  17. Krümmungsradius
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Krümmungsradius
    Krmmungsradius
    ...        ParameterdarstellungAnwendungsbeispielGegeben sei die Funktion: $f(x) = 0,5x^2$ (Parabel). Bestimme für den Punkt $P(0, 0)$ den Krümmungsradius.KrümmungsradiusZuerst werden die beiden Ableitungen gebildet:$f´(x) = x$$f´´(x) = 1$Danach in die Formel einsetzen und $x_0 = 0$ einsetzen:$r = |\frac{(1 + (x)^2)^{\frac{3}{2}}}{1}| = |\frac{(1)^{\frac{3}{2}}}{1}| = 1$  Im Punkt $P(0,0)$ beträgt der Krümmungsradius $r=1$.Krü...
  18. Implizite und explizite Darstellung
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Darstellungsarten ebener Kurven > Implizite und explizite Darstellung
    Implizite Darstellung eines Kreises
    ... auch Ellipsen und Kreise dargelegt werden.AnwendungsbeispieleUm einen Kreis abzubilden, bedarf es bei der expliziten Darstellung zwei Funktionen. Gegeben sei: $y = f(x) = \sqrt{1-x^2}$Mit dieser expliziten Funktion kann nur ein Halbkreis dargelegt werden. Um einen Kreis darzustellen, bedarf es einer zweiten Funktion: $y = -f(x) = -\sqrt{1-x^2}$.Explizite Darstellung eines KreisesIndem man die explizite Funktion in eine implizite Funktion umstellt, kann der Kreis mithilfe einer Funktion ...
  19. Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
    ... 1, 2 \pm 3i $$ e^x, e^{2x}cos3x, e^{2x}sin3x $Anwendungsbeispiel: Homogene Differentialgleichung mit konstanten KoeffizientenLöse die folgenden homogene Differentialgleichung 3. Ordnung mit konstanten Koeffizienten$\ y''' - 2y'' - 5y' + 6y = 0 $Zuerst gilt es die homogene Differentialgleichung als charakteristische Gleichung darzustellen$\color{grey}{y''' - 2y'' - 5y' + 6y = 0} \rightarrow \lambda^3 - 2\lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0 $.Anschließend bestimmt man die Lösungen ...
  20. Evolvente berechnen
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Evolvente berechnen
    Normalenvektor der Parabel
    ... dem Abschnitt 'Evolute' gezeigt werden. Anwendungsbeispiel: Tangenten der EvoluteGegeben sei die Parabel: $0,5x^2$. Die Krümmungskreismittelpunkte wurden für verschiedene Punkte berechnet (siehe Kapitel "Evolute"). In diesem Beispiel wurden noch zwei weitere Punkte $X(-1,5, \ 1,25)$ und $Y(1,5, \ 1,25)$ eingefügt, um die Evolute genauer darzustellen. Die Evolute der Parabel sieht dann wie folgt aus:Evolute der ParabelBestimmung des NormalenvektorsDie Tangenten der ...
  21. Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Picard-Lindelöf > Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren
    ... (x) := y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y_n (t))dt $.Anwendungsbeispiel: Iterationsverfahren von Picard-LindelöfMan Löse iterativ das Anfangswertproblem $\ y' = 2xy $ mit  $ y(0) := 1 $.  Aus der Anfangsbedingung $y(0) = 1$ kann abgelesen werden: $x_0 = 0$ und $y_0 = 1$$\ y_0 (x) \equiv 1 $$\ y_1 (x) = 1 + \int\limits_0^x 2t \cdot 1 \ dt = 1 + [t^2] = 1 + x^2 - 0 = 1 + x^2 $$\ y_2 (x) = 1 + \int\limits_0^x 2t \cdot (1 + t^2) dt = 1 + \int\limits_0^x  2t + 2t^3 \ dt$$= 1 + 2 \int\limits_0^x ...
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Analysis und Lineare Algebra

  1. Grenzwerte gebrochen rationaler Funktionen
    Elementare Funktionen > Rationale Funktion > Gebrochen rationale Funktionen > Grenzwerte gebrochen rationaler Funktionen
    ... \text{und } \frac{a_n}{b_m} < 0 \end{cases}$Anwendungsbeispiel 1: Grenzwert einer gebrochen rationalen FunktionGegeben sei die folgende Funktion:$f(x) = \frac{2x^2 - 2x - 12}{6x^2-12x}$Gegen welchen Wert konvergiert die Funktion für $x \to \pm \infty$?Für die obige Funktion gilt, dass der Zählergrad und der Nenngrad gleich sind, also:$n = m$.Sowohl für minus als auch für plus unendlich strebt die Funktion gegen:$\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \frac{a_n}{b_m} = \frac{2}{6} ...
  2. Nachweis Konkavität und Konvexität durch Differentation
    Differentialrechnung > Konkave und konvexe Funktionen > Nachweis Konkavität und Konvexität durch Differentation
    ... Konkavität bzw. Konvexität bestimmen.Anwendungsbeispiele: Nachweis über Konkavität bzw. Konvexität$F(x) = 10x - 4x^2$$F'(x) = 10 - 8x$$F''(x) = -8$$\rightarrow$ streng konkav!$F(x) = 8x^3 - 2x^4$$F'(x) = 24x^2 - 8x^3$$F''(x) = 48x - 24x^2$$x$ ausklammern:$F''(x) = x(48 - 24x)$Die 2. Ableitung ist noch abhängig von $x$. Es werden die Nullstellen der 2. Ableitung bestimmt:$F''(x) = x(48 - 24x) = 0$$x_1 = 0$$48 - 24 x = 0$$x_2 = 2$Es gelten also die folgenden Bereiche:$x ...
  3. Beispiel 1: Diagonalisierbarkeit
    Lineare Algebra > Eigenwerte und Eigenvektoren > Diagonalisierbarkeit > Beispiel 1: Diagonalisierbarkeit
    ... $n \times n$-Matrix $n$ Nullstellen resultieren.Anwendungsbeispiel 1: Diagonalisierbarkeit $A = \begin{pmatrix} 2 & - \sqrt{5} & 0 \\ \sqrt{2} & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$Ist die obige Matrix diagonalisierbar?1. Schritt: Berechnung des charakteristischen Polynoms$\chi_A(\lambda) = det(A-\lambda E) $mit$\chi_A(\lambda)$ charakteristisches Polynom$\lambda E = \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda ...
  4. Beispiel 2: Diagonalisierbarkeit
    Lineare Algebra > Eigenwerte und Eigenvektoren > Diagonalisierbarkeit > Beispiel 2: Diagonalisierbarkeit
    ... geometrischen Vielfachheit übereinstimmt.Anwendungsbeispiel 2: Diagonalisierbarkeit$A = \begin{pmatrix} 9 & 0 & -6 \\ 18 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$Ist die obige Matrix diagonalisierbar?1. Schritt: Berechnung des charakteristischen PolynomsBerechnung des charakteristischen Polynoms mittels Regel von Sarrus:$\chi_n(\lambda) = det(A-\lambda E) = \begin{vmatrix} 9-\lambda & 0 & -6 \\ 18 & 6-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 6-\lambda \\ ...
  5. pq-Formel
    Komplexe Zahlen > Nullstellen von Polynomen > pq-Formel
    ... x_{1/2} = \frac{-b\; \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$Anwendungsbeispiel zur pq-FormelGegeben sei folgende quadratische Gleichung $ 4x^2 + 16x + 8$. Bestimmen Sie die Nullstellen.Zuerst ist die Gleichung in die allgemeine Form zu überführen. $4x^2 + 16x + 8 = 0 | :4 $$x^2 + 4x + 2 = 0 $In dieser Form ist $p= 4$ und $q= 2$. Mit diesen Werten lässt sich die pq-Formel lösen und die Nullstellen bestimmen. Die Rechnung muss zwei mal durchgeführt werden, wegen $\pm$.Also:$x_1 ...
  6. Mittelwertsätze
    Differentialrechnung > Mittelwertsätze
    Mittelwertsatz, Sekante, Tangente
    ... 1) + 2$$y = 4x – 4 + 2$$y = 4x - 2$Anwendungsbeispiel zu MittelwertsätzeGegeben sei die Funktion:  $f(x) = -x^2 + 12$.  Berechne die Sekante, welche durch die Punkte $S_1(-1, 11)$ und $S_2(3, 3)$ geht. Berechne außerdem die Tangente, welche die gleiche Steigung wie die Sekante hat und den Schnittpunkt der Tangente mit  $f(x)$.Sekantengleichung$s(x) = mx + b$$m$ bestimmen:$m = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{3 - 11}{3 + 1} = -2$$s(x) = -2x + b$$b$ bestimmen ...
  7. Skalarprodukt und Winkel
    Lineare Algebra > Vektorrechnung > Das Skalarprodukt > Skalarprodukt und Winkel
    Skalarprodukt eingeschlossener Winkel
    ... man $\vec{a} \cdot \vec{b}$.ProjektionAnwendungsbeispiel: SkalarproduktEs seien folgende Vektoren gegeben: $\vec{a} = (4,0)$ und $\vec{b} = (4,4)$. Berechnen Sie $\vec{a} \cdot \vec{b}$.Es werden zunächst die beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ eingezeichnet. Der Winkel zwischen den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ beträgt $45°$:Es wird als nächstes das Skalarprodukt berechnet durch:$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\varphi) = \sqrt{4^2 ...
  8. Anwendungsbeispiele: Mengenlehre und reelle Zahlen
    Grundlagen: Mengenlehre und Reelle Zahlen > Anwendungsbeispiele: Mengenlehre und reelle Zahlen
    In diesem Abschnitt folgen einige Anwendungsbeispiele zu den vorherigen Abschnitten.IntervalleGegeben seinen die folgenen Intervalle der reellen Zahlen:a) Offenes Intervall von $3$ bis $\frac{14}{3}$.b) Rechts halboffenes Intervall von $x_1$ bis $x_2$.c) Links halboffenes Intervall von $\frac{5}{8}$ bis $z$.d) Geschlossenes Intervall von $-15$ bis $0$ .e) Das Intervall aller Zahlen größer oder gleich $3$.e) Das Intervall aller Zahlen kleiner als $2$.Geben Sie diese als Klammerausdruck ...
  9. Ungleichungen
    Grundlagen: Mengenlehre und Reelle Zahlen > Reelle Zahlen > Ungleichungen
    ... y \cdot z$Im folgenden Abschnitt werden Anwendungsbeispiele zur Lösung von einfachen Ungleichungen, Bruchungleichungen und Betragsungleichungen aufgezeigt.
  10. Zerlegung von Vektoren
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Lineare Algebra > Vektorrechnung > Das Skalarprodukt > Zerlegung von Vektoren
    Vektor
    ... In diesem Fall liegt $s$ zwischen $0 Anwendungsbeispiel: Zerlegung von VektorenGegeben seien die folgenden Vektoren: $\vec{a} = (0,4)$ und $\vec{b} = (3,3)$.Lösung der orthogonale Zerlegung: $\vec{a} = s \cdot \vec{b} + \vec{x}$ $\left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \end{array}\right) = s \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array}\right)+ \vec{x}$Die obige Umformung ergab:$\vec{x} =  \vec{a} - \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{\vec{b} \cdot \vec{b}} \cdot ...
  11. Beispiele: Betragsungleichungen, Bruchungleichungen
    Grundlagen: Mengenlehre und Reelle Zahlen > Reelle Zahlen > Ungleichungen > Beispiele: Betragsungleichungen, Bruchungleichungen
    ... kehrt sich das Ungleichzeichen um.Anwendungsbeispiele: Einfach UngleichungenGegeben sei die folgende Ungleichung:$- \frac{1}{3}x - \frac{1}{2}x \le - \frac{4}{3}$Bestimmen Sie alle reellen Lösungen dieser Ungleichung!Die Ungleichung wird unter Berücksichtigung des Ungleichheitszeichens nach $x$ umgestellt:$- \frac{5}{6}x \le - \frac{4}{3}$Nun ist es so, dass nach $x$ aufgelöst wird. Da bei der Auflösung nach $x$ die gesamte Gleichung mit $-\frac{6}{5}$ multipliziert ...
  12. Addition von Vektoren
    Lineare Algebra > Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Addition von Vektoren
    Vektoraddition
    ... + \vec{b} = (12, 8)$$\vec{b} + \vec{a} = (12,8)$Anwendungsbeispiel: AssoziativgesetzGegeben seien die Vektoren $\vec{a} = (4, 6)$, $\vec{b} = (8,2)$ und $\vec{c} = (1,3)$. Bitte zeigen Sie, dass das Assoziativgesetz gilt!Assoziativgesetz:  (1)    $(\vec{a} + \vec{b}) = (12,8)$ $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}  = (13,11)$(2)   $(\vec{b} + \vec{c}) = (9,5)$$(\vec{b} + \vec{c}) + \vec{a} = (13,11)$
  13. Fakultät und Binomialkoeffizienten
    Grundlagen: Mengenlehre und Reelle Zahlen > Reelle Zahlen > Fakultät und Binomialkoeffizienten
    ... $n$ Elementen genau $k$ auszuwählen.Anwendungsbeispiel: BinominalkoeffizientBeim Lotto >>6 aus 49${49 \choose 6} = \frac{49!}{6!(49-6)!} = \frac{49!}{6!43!}$$=\frac{\not1*\not2*\not3*...*\not43*44*45*46*47*48*49}{(1*2*3*...*5*6)(\not1*\not2*\not3*...*\not43)} = \frac{44*45*46*47*48*49}{1*2*3*...*5*6} = 13.983.816$verschiedene Möglichkeiten 6 "Richtige" zu ziehen.In diesem Beispiel kann man den Wert auch gut ohne Fakultät berechnen, da sich der Nenner und der Zähler ...
  14. Das Vektorprodukt
    Lineare Algebra > Vektorrechnung > Das Vektorprodukt
    Vektorprodukt
    ... - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{array}\right)$Anwendungsbeispiel: VektorproduktBilde das Vektorprodukt aus den Vektoren  $\vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right)$ und  $\vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$.  Berechne außerdem die Fläche und den Winkel des von $\vec{a}$  und  $\vec{b}$  aufgespannten Parallelogramms.Lösung: Berechnung des Vektorprodukts$\vec{a} \times \vec{b} = \left( ...
  15. Einheitsvektor, Länge von Vektoren
    Lineare Algebra > Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Einheitsvektor, Länge von Vektoren
    Basisvektoren
    ... $\vec{a}$ und $\vec{b}$Das Video wird geladen...Anwendungsbeispiel: Länge von Vektoren / EinheitsvektorBerechnen Sie die Länge des Vektors zwischen den Punkten $A(6,3)$ und $B(1,5)$.Es soll nun die Länge des Vektors $\vec{AB}$ berechnet werden. Dieser Vektor geht vom Punkt $A$ zum Punkt $B$, der Pfeil zeigt also auf den Punkt $B$. Die beiden Punkte können mittels der Ortsvektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ dargestellt werden. Diese zeigen vom Koordinatenursprung auf die jeweiligen ...
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Technische Mechanik 1: Statik

  1. Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende analytisch bestimmen > Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie
    Addition von Krften
    ... Wirkungslinie wie die beiden Kräfte.Anwendungsbeispiel: Kräfte mit gemeinsamer WirkungslinieGegeben sei der obige Balken mit den zwei Kräften $F_1 = 37 N$ und $F_2 = 15 N$. Wie groß ist die Resultierende? In welche Richtung zeigt die Resultierende?Es wird zunächst die Vorzeichenkonvention so festgelegt, dass Kräfte die nach oben wirken positiv eingehen und Kräfte die nach unten wirken negativ:$\uparrow: R = F_2 - F_1 = 15N - 37 N = -22N$Da die Resultierende ...
  2. Anwendungsbeispiel Gelenkbalken
    Lagerreaktionen > Statische Bestimmheit mehrteiliger Tragwerke > Anwendungsbeispiel Gelenkbalken
    Gelenkbalken Beispiel
    ... wie das gemacht wird, folgt ein Beispiel.Anwendungsbeispiel: GelenkbalkenGegeben sei der obige Balken mit den drei Lagerkräften (A, B, C) und den zwei Kräften $F_1 = 20 N$ und $F_2 = 15 N$. Es sollen die Lagerkräfte bestimmt werden.Statische BestimmtheitZunächst wird der Balken auf statische Bestimmtheit überprüft:$ f = 3 - r = 0$$r$ ist hierbei die Anzahl der Lagerreaktionen. A ist ein Festlager, welches zwei Kräfte übertragen kann. B und C sind Loslager, ...
  3. Beispiel 2: Ritterschnittverfahren
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Rittersches Schnittverfahren > Beispiel 2: Ritterschnittverfahren
    Ritterschnittverfahren Beispiel
    ... einzelnen Stäben innerhalb eines Fachwerks.Anwendungsbeispiel: Ritterschnittverfahren für einzelne StäbeGegeben sei das obige Fachwerk, welches durch die zwei Kräfte $F_1 = 10 N$ und $F_2 = 15 N$ belastet wird. Wie groß ist die Stabkraft $S_3$?Bevor der Schnitt durchgeführt wird, müssen zunächst die Lagerreaktionen berechnet werden. $A$ ist ein Festlager mit zwei Kräften und $B$ ein Loslager mit einer Kraft:$\curvearrowleft{A} : B \cdot 25 m - F_1 \cdot ...
  4. Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    Lagerreaktionen > Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    Lagerreaktionsberechnung bei rumlichen Tragwerken
    ... der Momentengleichungen in dieses Lager. Anwendungsbeispiel: Bestimmung der Lagerreaktionen bei räumlichen TragwerkenIn der obigen Grafik ist eine Winde zu sehen. Mittels der Kraft $F$ wird die Kurbel gedreht und damit dreht sich das Rad, wodurch sich das Gewicht nach oben ziehen lässt. Das Lager $A$ sei ein Loslager, welches Verschiebungen senkrecht zur Kurbel verhindert, das Lager $B$ ein Festlager, welches in Verschiebungen in alle drei Raumrichtungen verhindert. Die Kurbel ...
  5. Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    Parallele Krfte
    ... von statischen Problemen sein wird.   Anwendungsbeispiel: Kräfte mit parallelen WirkungslinienGegeben sei die obige Grafik, in welcher zwei Kräfte $F_1 = 10 N$ und $F_2 = 5 N$ auf parallelen Wirkungslinien im Abstand von $h = 8 m$ auf den Balken wirken. Wie groß ist die Resultierende der beiden Kräfte und wo genau liegt sie?Um nun die Resultierende der beiden Kräfte zu bestimmen, werden die Gleichgewichtskräfte $ F_h $ und $ - F_h $ hinzugefügt. Diese ...
  6. Räumliche Zusammensetzung von Kräften
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Räumliches Kräftesystem > Räumliche Zusammensetzung von Kräften
    Krfte im Raum
    ... = 0$$M^{(X)}_{R_z} = \sum M^{(X)}_{iz} = 0$.Anwendungsbeispiel: Kräfte im RaumKräfte im RaumGegeben sei der obige Quader auf den die 6 Kräfte $F_1$ bis $F_6$ wirken. Die Seitenlängen sind gegeben mit $a = 5m$, $b = 5m$ und $c = 10m$. Die Beträge der Kräfte sind der Grafik zu entnehmen. Berechne die Resultierende sowie das Moment für den Bezugspunkt $X$.Die Resultierende wird aus den drei Teilresultierenden $R_x$, $R_y$ und $R_z$ berechnet. Dazu benötigt ...
  7. Statische Bestimmtheit von Fachwerken
    Fachwerke > Statische Bestimmtheit von Fachwerken
    Fachwerke statische Bestimmtheit
    ... ein einfaches Fachwerk handelt. Anwendungsbeispiel: Statische Bestimmtheit von FachwerkenFachwerkDas obige Fachwerk besteht aus sieben Stäben (1 bis 7), die in fünf Knoten ($K_1$ bis $K_5$) miteinander verbunden sind. Außerdem besitzt das Fachwerk ein Loslager (rechts), welches nur vertikale Kräfte übertragen kann (= 1 Lagerreaktion) und ein Festlager (links), welches vertikale und horizontale Kräfte überträgt ( = 2 Lagerreaktionen). Es ...
  8. Anwendungsbeispiel Dreigelenkbogen
    Lagerreaktionen > Statische Bestimmheit mehrteiliger Tragwerke > Anwendungsbeispiel Dreigelenkbogen
    Zweigelenkbogen
    ... miteinander verbunden sind (drei Gelenke).Anwendungsbeispiel: DreigelenkbogenBeispiel DreigelenkbogenGegeben sei der obige Dreigelenkbogen mit den Lagern $A$ und $B$, dem Gelenk $G$ und den Kräften $F_1$ und $F_2$. Wie groß sind die Lagerkräfte und wie groß die Gelenkkräfte? Prüfe bitte auf statische Bestimmtheit!Statische BestimmtheitDer obige Dreigelenkbogen hat $r = 2 + 2$ Lagerreaktionen, $v = 2$ Kräfte, die das Gelenk übertragen kann und $n = ...
  9. Lagerreaktionsberechnung ebener Tragwerke
    Lagerreaktionen > Lagerreaktionsberechnung ebener Tragwerke
    Lagerreaktionen
    ... Erlernten folgt nun ein exemplarisches Beispiel.Anwendungsbeispiel: Bestimmung von LagerreaktionenIn der unteren Abbildung ist ein Balken dargestellt, der auf einem Festlager $A$ und einem Loslager $ B$ gelagert ist. Zudem wirkt auf ihn die Kraft $ F = 20 kN $ im Winkel $\alpha = 50 ° $. Es gilt nun die unbekannten Lagerreaktionen zu bestimmen. Beispiel: Bestimmung der LagerreaktionenZur Berechnung der Lagerreaktionen benötigt man die drei Gleichgewichtsbedingungen $R_x = 0$, $R_y ...
  10. Beispiel: Knotenpunktverfahren
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Knotenpunktverfahren > Beispiel: Knotenpunktverfahren
    Knotenpunktverfahren Beispiel
    ... anhand eines Beispiels erfolgen.Anwendungsbeispiel: KnotenpunktverfahrenGegeben sei das obige Fachwerk mit den zwei Kräften $F_1$ und $F_2$, sowie dem Festlager (links) und dem Loslager (rechts). Bestimme bitte alle Stäbe nach dem Knotenpunktverfahren!In den folgenden Abschnitten wird das Beispiel Schritt für Schritt und unter Zuhilfenahme von Grafiken gelöst.
  11. Haftreibung
    Reibung und Haftung > Haftreibung
    Haftreibung, Geschwindigkeit = 0
    ... Metall0,4Autoreifen auf Straße0,7 - 0,9Anwendungsbeispiel: HaftreibungGegeben sei der nachfolgende rechteckige Körper aus Stahl, welcher sich auf einer schiefen Ebene aus Teflon befindet. Der Neigungswinkel beträgt $\alpha = 20°$ und der Haftungskoeffizient sei $\mu_0 = 0,04$. Der Körper hat das Gewicht $G = 10 N$ mit einer angreifenden Kraft $F$. Innerhalb welcher Grenzen befindet sich $F$, wenn der Körper sich in Ruhe befindet?Haftreibung BeispielBewegung nach ...
  12. Kräftegleichgewicht im Raum
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Kräftegleichgewicht im Raum
    Beispiel: Krftegleichgewicht im Raum
    ... F_{iy} = 0, \sum F_{iz} = 0$. Anwendungsbeispiel: Kräftegleichgewicht im RaumBeispiel: Kräftegleichgewicht im RaumDie obige Grafik zeigt das Gelenk $C$, welches sich im Gleichgewicht befindet. Auf das Gelenk wirken die Stabkräfte 1 und 2, die Seilkraft 3 und die Gewichtskraft G. Die Stab- und Seilkräfte wirken als Zugkräfte. All diese Kräfte bewirken, dass das Gelenk im Gleichgewicht bleibt. Die Gewichtskraft sei gegeben mit 10 Newton. Ebenfalls gegeben ...
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Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Beispiel zu Spannungen im Stab: Hängender Zugstab
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Beispiel zu Spannungen im Stab: Hängender Zugstab
    Beispiel hngender Zustab (Spannungen im Stab)
    Anwendungsbeispiel: ZugstabGegeben sei der obige Balken (1m breit, 10m lang), welcher an einem Stab $d = 0,15 m$ befestigt ist. Der Stab ist mittels eines Hakens an der Wand befestigt. Der Balken hat ein Eigengewicht von $F_{Balken} = 50 N$. Auf dem Balken befindet sich eine gleichmäßig verteilte Schneedecke (Flächenlast), mit $q_0 = 2 N/m^2$. Die Stabkraft soll vernachlässigt werden. Wie groß muss die Hakenkraft mindestens sein, damit diese den Balken samt Schneedecke ...
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