Physik

  1. Zustandsgleichung des idealen Gases
    Thermodynamik > Zustandsgleichung des idealen Gases
    Beispiel U-Rohr thermische Zustandsgleichung
    ... Normalbedingungen eine gute Näherung. Anwendungsbeispiel 1: Thermische Zustandsgleichung des idealen GasesIn einem Behälter mit dem Volumen von $0,1 m^3$ herrscht ein Druck von 20 MPa. Die Temperatur beträgt $t = 25 °C$ und der Behälter ist mit Sauerstoff gefüllt. Der Sauerstoff soll näherungsweise als ideales Gas angenommen werden. Berechne die Masse des Sauerstoffs!Die thermische Zustandsgleichung ist:$pV = m \; R_i \; T$         Gegeben ...
  2. Haftreibung
    Kinetik: Ursache von Bewegungen > Beispiele für Kräfte > Haftreibung
    Haftung einer Sanduhr auf einer schrgen Holzlatte
    ... durch den Reibungskoeffizienten $\mu$ ersetzt.Anwendungsbeispiel: HaftungswinkelBetrachten wir nun den obigen Klotz auf der rauen schiefen Ebene. Bei welchem Winkel $\rho_0$ befindet sich der Klotz gerade noch in Ruhe, wenn $\mu_0 = 0,8$? Der Haftungswinkel wird berechnet zu:$\rho_0 = arctan(\mu_0)$  $\rho_0 = arctan(0,8)$  $\rho_0 = 38,67°$Der Winkel zwischen Grenzhaftkraft $R$ und Normalkraft $N$ darf höchstens 38,67° betragen.Anwendungsbeispiel: HaftungskoeffizientDer ...
  3. Bewegungsgleichungen
    Schwingungen > Ungedämpfte harmonische Schwingungen > Bewegungsgleichungen
    Zeigerdiagramm mit Sinus-Funktion
    ... nochmals aufgeführt und Anwendungsbeispiele aufgeführt.Anwendungsbeispiel 1: Ungedämpfte harmonische SchwingungEin Körper führt eine ungedämpfte harmonische Schwingung aus. Die Weg-Zeit-Funktion seiner Bewegung lautet:$y(t) = 2m \cdot \sin(\pi s^{-1} \cdot t)$Bestimme für diese Schwingung: die Eigenfrequenz $\omega$ die Schwingungsdauer $T$ die Amplitude $A$Wir betrachten die obige Bewegungsgleichung und kennen aus diesem Abschnitt ...
  4. Gedämpfte harmonische Schwingungen
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Schwingungen > Gedämpfte harmonische Schwingungen
    Gedmpfte Schwingung
    ... \cdot A^2 \cdot e^{-2\delta \cdot t}$Anwendungsbeispiel: Gedämpfte SchwingungEine gedämpfte Schwingung startet mit maximaler Amplitude und hat nach 15 s nur noch 2% ihrer Anfangsamplitude. Wie groß ist der Abklingkoeffizient der Schwingung?Hier können wir die Amplitudenfunktion heranziehen:$A(t) = A \cdot e^{-\delta \cdot t}$      Nach $t = 15s$ ist nur noch 2% der Anfangsamplitude $A$ gegeben:$A(t) = 0,02 A$Wir setzen ein:$0,02 A = A \cdot e^{-\delta ...
  5. Gleichförmige Kreisbewegung
    Kinematik: Beschreibung von Bewegungen > Kreisbewegung > Gleichförmige Kreisbewegung
    Winkelgeschwindigkeit Richtung
    ... Frequenz ist Hertz.Einheit: $1 Hz = \frac{1}{s}$Anwendungsbeispiel: FrequenzDu steigst in ein Riesenrad ein und fährst insgesamt 3 Runden (3 Kreisumdrehungen) in einer Zeit von 10 Minuten. Wie ist die Frequenz?Riesenrad$f = \frac{3}{10 min} = 0,3 \frac{1}{min} $In Hertz: $1 Hz = \frac{1}{s}$$0,3 \frac{1}{min} = 0,3 \frac{1}{60} \frac{1}{s} = 0,005 Hz$In einer Minute schafft das Reisenrad eine Drehung von 0,3 Runden.Anwendungsbeispiel: Gleichförmige KreisbewegungGegeben sei ein Schwungrad ...
  6. Skalarprodukt
    Mathematische Grundlagen > Vektoren, Ortsvektoren und Richtungsvektoren > Skalarprodukt
    Unterschiedliche Winkel, Skalarprodukt
    ... + a_3^2} \cdot \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}$Anwendungsbeispiel: Skalarprodukt und WinkelberechnungGegeben seien die Vektoren $\vec{a} = (1,4)$ und $\vec{b} = (4,3)$. Berechne das Skalarprodukt und den Winkel, welcher durch die beiden Vektoren eingeschlossen wird!Das Skalarprodukt kann ohne Kenntnis des Winkels wie folgt berechnet werden:$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 = 1 \cdot 4 + 4 \cdot 3 = 16 $Es liegt ein positives Skalarprodukt vor, d.h. es liegt ein spitzer Winkel ...
  7. Flaschenzüge
    Kraftwandler > Flaschenzüge und Rollen > Flaschenzüge
    Anschauungsbeispiel fr Flaschenzge
    ... der Kraft (siehe Abschnitt feste Rolle). Anwendungsbeispiel: FlaschenzugGegeben sei der obige Flaschenzug. Wie groß muss die aufzubringende Zugkraft sein, wenn der Körper ein Gewicht von 80 kg aufweist.Zunächst berechnen wird die Gewichtskraft:$G = m \cdot g = 80 kg \cdot 9,81 \frac{m}{s^2} = 784,8 N$Danach berechnen wir die Zugkraft:$F_{zug} = \frac{1}{n} \cdot G$Wir benötigen nun die Anzahl an tragenden Seilstücken. Zwischen Wandhaken und loser Rolle und zwischen ...
  8. Entropie
    Thermodynamik > Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik > Entropie
    Entropie, T,S-Diagramm
    ... da kein Wärmetransport stattfindet.Anwendungsbeispiel 1: EntropieEs wird innerhalb eines Stirlingmotors Luft bei einer konstanten Temperatur von 50°C komprimiert. Dabei wird dem System Dissipationsarbeit von 100 Joule zugeführt sowie Wärme von 350 Joule abgeführt. Wie ändert sich die Entropie?Es wird folgende Formel herangezogen:$S_2 - S_1 = \int_1^2 \frac{dQ + dW_{diss}}{T}$.Es werden die Werte mit den richtigen Einheiten eingesetzt und dann die Entropieänderung ...
  9. Länge von Vektoren
    Mathematische Grundlagen > Vektoren, Ortsvektoren und Richtungsvektoren > Länge von Vektoren
    Ortsvektoren, Lnge von Vektoren
    ... = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2 + ... + a_n^2}$Anwendungsbeispiel: Länge von VektorenGegeben sei der Vektor $\vec{a} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 5 \end{array} \right)$Berechne die Länge des Vektors!$|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{50} = 7,071$EinheitsvektorEin Vektor der die Länge $|1|$ besitzt, wird in der Mathematik als Einheitsvektor bezeichnet und weist in Richtung der positiven Koordinatenachsen.Für den Raum existieren drei Einheitsvektoren:$\vec{e}_x ...
  10. Hangantriebskraft/Normalkraft
    Kinetik: Ursache von Bewegungen > Beispiele für Kräfte > Hangantriebskraft/Normalkraft
    Auch ein Skater unterliegt der Hangabtriebskraft
    ... ist) in ihre $x$- und $y$-Komponente zerlegt.Anwendungsbeispiel: Hangantriebskraft und NormalkraftBeispiel: Hangantriebskraft und Normalkraft Gegeben sei die obige Kiste mit $m = 20 kg$ auf der schiefen Ebene mit dem Winkel $\alpha$ zur Horizontalen. Berechne die Hangantriebskraft und Normalkraft für $\alpha = 25°$ und $\alpha = 60°$. Bestimme außerdem die Beschleunigung für beide Winkel! Zunächst erfolgt der Freischnitt der Kiste:Freischnitt Danach ...
  11. Gleitreibung
    Kinetik: Ursache von Bewegungen > Beispiele für Kräfte > Gleitreibung
    Gleitreibung tritt beispielsweise beim Rutschen auf
    ... auf Straße0,7 - 0,90,5 - 0,8Anwendungsbeispiel: Klotz auf horizontaler EbeneGegeben sei ein Klotz, welcher durch die Kraft $F$ belastet wird.Gegeben sind: $\mu_0 = 0,5$, $\mu = 0,3$, $m = 20 kg$, $F = 15 kN$.a) Unter welchen Haftungswinkel $\rho_0$ befindet sich der Klotz gerade noch in Ruhe?b) Die Kraft greife in einem Winkel $\alpha =60°$ an dem Klotz an. Wie groß ist die Beschleunigung (Annahme: Klotz hebt nicht von der Horizontalen ab)?a) Der Haftungswinkel wird ...
  12. Elastischer Stoß
    Impuls und Stoß > Elastischer Stoß
    Fublle, elastischer Sto
    ... mit einem negativen Vorzeichen versehen werden.Anwendungsbeispiel: Elastischer StoßEin Klotz mit der Masse $m = 3 kg$ wird durch eine Feder mit Federkonstante $k = 5.400 \frac{N}{m}$, die zu Anfang um $s = 30 cm$ zusammengedrückt ist, auf einer ebenen Fläche weggeschleudert. Nachdem der Klotz einen Gleitweg von $s = 6m$ zurückgelegt hat, stößt dieser mit einem zweiten ruhenden Klotz der Masse $m_2 = 5 kg$ zusammen.In welchem Abstand voneinander bleiben die beiden ...
  13. Zentripetalkraft
    Kinetik: Ursache von Bewegungen > Beispiele für Kräfte > Zentripetalkraft
    Zentripentalkraft
    ... welche den Ball auf eine Kreisbahn zwingt.Anwendungsbeispiel: ZentripetalkraftEin 0.8 kg schwerer Körper wird an einer 1,8 m langen Schnur auf einer Kreisbahn geschleudert. Die Schnur hält eine Belastung von 400N aus. Wie groß ist die Geschwindigkeit des Körpers?$F_Z = m \cdot \frac{v^2}{r}$   Umstellen nach $v$:$v = \sqrt{F_Z \cdot r}{m}$Einsetzen der Werte:$v = \sqrt{400 N \cdot 1,8m}{0,8 kg}$$v = 30 \frac{m}{s}$
  14. Rückstoß
    Impuls und Stoß > Rückstoß
    Zugefrorener See
    ... fortbewegen.  Astronaut an der ISSAnwendungsbeispiel: RückstoßGegeben sei eine Person mit dem Gewicht von 80 kg, welche sich auf einem glatten zugefrorenen See befindet (keine Haftreibung). Neben dieser Person befindet sich eine große Kiste der Masse $m = 150 kg$. Beide stoßen sich voneinander ab. Bestimme das Verhältnis der Geschwindigkeiten!Die Impulse sind Null, weil sich die Person und die Kiste zunächst in Ruhe befinden (v = 0):$p_1 = 80 kg \cdot ...
Physik
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Technische Mechanik 1: Statik

  1. Kräftegleichgewicht bei mehr als zwei Kräften
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Kräftegleichgewicht in der Ebene > Kräftegleichgewicht bei mehr als zwei Kräften
    Krftegleichgewicht ermitteln
    ... Kräfte zu berechnen. Anwendungsbeispiel: KräftegleichgewichtMan hängt ein Bild mit Hilfe eines Faden an einem in die Wand eingeschlagenen Nagel auf. Siehe hierzu die nachfolgende Abbildung: Beispiel: KräftegleichgewichtIn diesem Beispiel treten drei Kräfte auf. Die Gewichtskraft $ F_G $ wirkt senkrecht nach unten und durch die Aufhängung entstehen 2 Seilkräfte $ F_1 $ und $ F_2 $, welche im jeweils gleichen Winkelmaß nach oben ...
  2. Einzelne parallele Kräfte
    Schwerpunkte > Einzelne parallele Kräfte
    Haltekraft
    ... um den Balken im Gleichgewicht zu halten.Anwendungsbeispiel: Haltekraft bei parallelen EinzelkräftenHaltekraftIn der obigen Grafik sind die Kräfte $F_1 = 10 kN$, $F_2 = 20 kN$, $F_3 = 15 kN$ und $F_4 = 18 kN$ abgebildet, die alle parallel zueinander sind und auf den gewichtslosen Balken wirken. Es stellt sich die Frage, wie groß die Haltekraft $H$ sein muss, damit der Balken im Gleichgewicht ist. Es wird insbesondere der Punkt gesucht, in dem die Haltekraft angreifen muss.Der ...
  3. Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    Beispiel: Gleichgewicht ebener Krftegruppen
    ... = 0$    GleichgewichtsbedingungAnwendungsbeispiel 1: Gleichgewichtsbedingungen ebener KräftegruppenBeispiel: Gleichgewicht ebener KräftegruppenAn welcher Stelle muss das Lager angebracht werden, damit sich der gewichtslose Balken im Gleichgewicht befindet? Wie groß ist die Lagerkraft?Die beiden Kräfte $F_1$ und $F_2$ sind vertikal gerichtet, weshalb auch die Lagerkraft $F_L$ vertikal gerichtet sein muss. Es wird der Bezugspunkt $X$ gewählt und der Abstand ...
  4. Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    Parallele Krfte
    ... von statischen Problemen sein wird.   Anwendungsbeispiel: Kräfte mit parallelen WirkungslinienGegeben sei die obige Grafik, in welcher zwei Kräfte $F_1 = 10 N$ und $F_2 = 5 N$ auf parallelen Wirkungslinien im Abstand von $h = 8 m$ auf den Balken wirken. Wie groß ist die Resultierende der beiden Kräfte und wo genau liegt sie?Um nun die Resultierende der beiden Kräfte zu bestimmen, werden die Gleichgewichtskräfte $ F_h $ und $ - F_h $ hinzugefügt. Diese ...
  5. Seilreibung
    Reibung und Haftung > Seilreibung
    Seilwinde
    ... Haftreibung an Pollern am Steg befestigt. Anwendungsbeispiel: Seil um PollerPollerIn der obigen Grafik ist ein Seil zweimal um einen Poller gewickelt. Die Kraft $F_s$ stellt die Zugkraft des Schiffes dar, welches an diesem Seilende befestigt ist. Der Haftungskoeffizient sei $\mu_0 = 0,2$. Die Kraft $F$ sei 20 Newton. Wie groß darf die Kraft $F_s$, mit der das Schiff maximal ziehen darf, sein?Bei Überschreitung der Kraft, setzt sich das Seil in Richtung des Schiffes in Bewegung. ...
  6. Beispiel: Knotenpunktverfahren
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Knotenpunktverfahren > Beispiel: Knotenpunktverfahren
    Knotenpunktverfahren Beispiel
    ... anhand eines Beispiels erfolgen.Anwendungsbeispiel: KnotenpunktverfahrenGegeben sei das obige Fachwerk mit den zwei Kräften $F_1$ und $F_2$, sowie dem Festlager (links) und dem Loslager (rechts). Bestimme bitte alle Stäbe nach dem Knotenpunktverfahren!In den folgenden Abschnitten wird das Beispiel Schritt für Schritt und unter Zuhilfenahme von Grafiken gelöst.
  7. Statische Bestimmtheit von Fachwerken
    Fachwerke > Statische Bestimmtheit von Fachwerken
    Fachwerke statische Bestimmtheit
    ... ein einfaches Fachwerk handelt. Anwendungsbeispiel: Statische Bestimmtheit von FachwerkenFachwerkDas obige Fachwerk besteht aus sieben Stäben (1 bis 7), die in fünf Knoten ($K_1$ bis $K_5$) miteinander verbunden sind. Außerdem besitzt das Fachwerk ein Loslager (rechts), welches nur vertikale Kräfte übertragen kann (= 1 Lagerreaktion) und ein Festlager (links), welches vertikale und horizontale Kräfte überträgt ( = 2 Lagerreaktionen). Es ...
  8. Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende analytisch bestimmen > Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie
    Addition von Krften
    ... Wirkungslinie wie die beiden Kräfte.Anwendungsbeispiel: Kräfte mit gemeinsamer WirkungslinieGegeben sei der obige Balken mit den zwei Kräften $F_1 = 37 N$ und $F_2 = 15 N$. Wie groß ist die Resultierende? In welche Richtung zeigt die Resultierende?Es wird zunächst die Vorzeichenkonvention so festgelegt, dass Kräfte die nach oben wirken positiv eingehen und Kräfte die nach unten wirken negativ:$\uparrow: R = F_2 - F_1 = 15N - 37 N = -22N$Da die Resultierende ...
Technische Mechanik 1: Statik
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Analysis und Lineare Algebra

  1. Lineare Abhängigkeit im R³
    Vektorräume > Lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit von Vektoren > Lineare Abhängigkeit im R³
    Regel von Sarrus
    ... wenn diese parallel zueinander sind. 1. AnwendungsbeispielDazu betrachten wir zwei Vektoren im $\mathbb{R}^3$.Gegeben seien die Vektoren $\vec{a} = (2,1,0)$ und $\vec{b} = (3,2,4)$.Sind die beiden Vektoren abhängig oder unabhängig voneinander?Man kann hier auch ohne Berechnung erkennen, dass die beiden Vektoren linear unabhängig voneinander sind, da der Vektor $\vec{a}$ an der dritten Stelle eine Null enthält und der Vektor $\vec{b}$ an dieser Stelle keine ...
  2. Beispiele: Betragsungleichungen, Bruchungleichungen
    Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Reelle Zahlen > Ungleichungen > Beispiele: Betragsungleichungen, Bruchungleichungen
    ... kehrt sich das Ungleichheitszeichen um.Anwendungsbeispiele: Einfache UngleichungenGegeben sei die folgende Ungleichung:$- \frac{1}{3}x - \frac{1}{2}x \le - \frac{4}{3}$Bestimme bitte alle reellen Lösungen dieser Ungleichung!Die Ungleichung wird unter Berücksichtigung des Ungleichheitszeichens nach $x$ umgestellt:$- \frac{5}{6}x \le - \frac{4}{3}$Nun lösen wir nach $x$ auf. Da bei der Auflösung nach $x$ die gesamte Gleichung mit $-\frac{6}{5}$ multipliziert wird, kehrt ...
  3. Skalarprodukt und Winkel
    Vektorrechnung > Das Skalarprodukt > Skalarprodukt und Winkel
    Skalarprodukt eingeschlossener Winkel
    ... man $\vec{a} \cdot \vec{b}$.Projektion Anwendungsbeispiel: SkalarproduktEs seien folgende Vektoren gegeben: $\vec{a} = (4,0)$ und $\vec{b} = (4,4)$. Bitte berechne $\vec{a} \cdot \vec{b}$!Es werden zunächst die beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ eingezeichnet. Der Winkel zwischen den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ beträgt $45°$:Es wird als nächstes das Skalarprodukt berechnet durch:$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\varphi) = ...
  4. Fakultät und Binomialkoeffizienten
    Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Reelle Zahlen > Fakultät und Binomialkoeffizienten
    ... \choose 4} = \frac{5 \cdot 4}{4} = 5$Anwendungsbeispiel: BinominalkoeffizientBeim Lotto 6 aus 49 ist die Anzahl der möglichen Ziehungen 49 über 6:${49 \choose 6} = \frac{49!}{6!(49-6)!} = \frac{49!}{6!43!}$$=\frac{\not1*\not2*\not3*...*\not43*44*45*46*47*48*49}{(1*2*3*...*5*6)(\not1*\not2*\not3*...*\not43)} = \frac{44*45*46*47*48*49}{1*2*3*...*5*6} = 13.983.816$verschiedene Möglichkeiten 6 "Richtige" zu ziehen.In diesem Beispiel können wirn den Wert auch gut ...
  5. Lineare Abhängigkeit im R²
    Vektorräume > Lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit von Vektoren > Lineare Abhängigkeit im R²
    ... sind, wenn diese parallel zueinander sind. AnwendungsbeispielDazu betrachten wir zunächst als einfaches Beispiel die Einheitsvektoren im $\mathbb{R}^2$.$\vec{e_x} = (1,0)$ und $\vec{e_y} = (0,1)$Da die beiden Einheitsvektoren nicht parallel zueinander sind und im $\mathbb{R}^2$ liegen, sind diese unabhängig voneinander. Berechnung:Zwei Vektoren $\vec{a_1}$ und $\vec{a_2}$ sind genau dann linear abhängig, wenn sich der Nullvektor durch eine Linearkombination der Vektoren ...
  6. Ungleichungen
    Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Reelle Zahlen > Ungleichungen
    ... folgenden Abschnitt werden wir dir Anwendungsbeispiele zur Lösung von einfachen Ungleichungen, Bruchungleichungen und Betragsungleichungen vorstellen.
Analysis und Lineare Algebra
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Anorganische Chemie für Ingenieure

  1. Beispiel 3: Thermische Zustandsgleichung idealer Gase
    Aggregatzustände > Gase > Thermische Zustandsgleichung, spezielle Gaskonstante > Beispiel 3: Thermische Zustandsgleichung idealer Gase
    Beispiel U-Rohr thermische Zustandsgleichung
    Gegeben sei wieder das in Anwendungsbeispiel 2 gegebene U-Rohr-Manometer, mit der mit Stickstoff gefüllten geschlossenen Säule.Die Angaben sind der Grafik zu entnehmen.Es wird der Säule nun Wärme zugeführt, was dazu führt, dass sich der Stickstoff in der linken Säule um 20mm ausbreitet. Die Druckänderung im Behälter sowie die Dichte- und Längenänderung des Quecksilbers können dabei vernachlässigt werden.Wie groß ist die Temperaturdifferenz ...
  2. Neutralisation
    Donator-Akzeptor-Prinzip > Neutralisation
    ... Dabei entstehen Wasser und ein Salz. Anwendungsbeispiel:In unserem Beispiel liegt eine wässrige Lösung mit dem pH-Wert von 2 vor.  Über den pH-Wert wissen wir, dass er sich im sauren Bereich befindet. Daraus können wir schließen, dass die Oxoniumionenkonzentration ($[H_3O^+]$) höher ist als die Hydroxidionenkonzentration ($[OH^-]$). Um diese beiden Konzentrationen auszugleichen, müssen wir der sauren Lösung eine Base hinzufügen um den ...
  3. Elektronenaffinität
    Elemente des Periodensystems > Stoffeigenschaften > Elektronenaffinität
    Elektronenaffinitt der 2. und 3. Periode
    ... für diese Elemente. Anwendungsbeispiel Ionisierung von ChlorIn diesem Beispiel betrachten wir nun die Ionisierung von Chlor (Cl). Die Reaktionsgleichung ist die folgende:ReaktionsgleichungWie im Beispiel des vorangegangenen Kurstextes war das Chlor-Atom vor der Ionisierung neutral. Nach der Ionisierung liegt ein Elektron $ e^- $ mehr in der Atomhülle vor. Deshalb resultiert das hochgestellte Minus in der Reaktionsgleichung $ Cl^- $. Aus dem Chlor wird dann ein Chloridion.Ionisierung ...
  4. Wasserstoffbrückenbindungen
    Bindungsarten, Bindungsstärke und Bindungslänge > Wasserstoffbrückenbindungen
    Wasserstoffbrckenbindung
    ... unter den zuvor behandelten Bindungsarten. AnwendungsbeispielWasser besteht aus Wasserstoff und Sauerstoff. Wasserstoff hat eine positive Partialladung und Sauerstoff eine zweifache negative Ladung. Es bildet sich ein Dipol. Dadurch kommt es zur Bildung von Wasserstoffbrückenbindungen. Diese Bindung setzt sich aus zwei Wasserstoffatomen eines Molekül mit einem Sauerstoffatom eines anderen Molekül zusammen.  WasserstoffbrückenbindungOhne diese Wechselwirkung der Wassermoleküle ...
  5. Ionisierungsenergie
    Elemente des Periodensystems > Stoffeigenschaften > Ionisierungsenergie
    Anionen und Kationen
    ... PeriodeIonisierungsenergie der 2. und 3. PeriodeAnwendungsbeispiel Ionisierung von NatriumIn diesem Beispiel betrachten wir die Ionisierung von Natrium (Na). Die Reaktionsgleichung hierbei ist folgende:ReaktionsgleichungIn unserem Beispiel hat das zuvor neutrale Atom immer noch die identische Anzahl von Protonen $ p^+ $ im Atomkern, jedoch ein Elektron $ e^-$ weniger in der Atomhülle. Daraus resultiert auch das hochgestellte Plus in der Reaktionsgleichung $ Na^+ $. Das Natrium trägt nun ...
  6. Elektronegativität
    Elemente des Periodensystems > Stoffeigenschaften > Elektronegativität
    Fluorwasserstoff
    ... rechts im Periodensystem zu finden sind. Anwendungsbeispiel Fluorwasserstoff-MolekülZum besseren Verständnis folgt nun ein Beispiel veranschaulicht durch die chemische Bindung zwischen einem Wasserstoff-Atom und einem Fluor-Atom. Diese Bindung zählt zu den kovalenten Bindungen, bei der sich Elektronenpaare binden. Dabei stellen beide Bindungspartner je ein Elektron zur Verfügung.FluorwasserstoffBeide haben unterschiedliche Elektronegativitäten:Wasserstoff: EN(H) ...
Anorganische Chemie
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Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Statisch unbestimmt gelagerte Balken
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Statisch unbestimmt gelagerte Balken
    Statisch unbestimmter Balken
    ... wurde bereits im vorherigen Abschnitt (2. Anwendungsbeispiel) durchgeführt bzw. ist aus der Tabelle Anhang: Biegelinie für unterschiedliche Balkenbelastung im nächsten Abschnitt zu entnehmen:$w_F (x = l) = \frac{Fa^3}{3EI} + \frac{Fa^2}{2EI} \cdot (l - a)$Hier muss allerdings die Länge $l = 2a$:$w_F (x = 2a) = \frac{Fa^3}{3EI} + \frac{Fa^2}{2EI} \cdot a$In einem zweiten Schritt betrachtet wir nun die Durchbiegung des Balkens, wenn die statisch Unbestimmte $X$ auf ...
  2. Statisch unbestimmte Stabwerke (Einzelstab)
    Stabbeanspruchungen > Statisch unbestimmte Stabwerke > Statisch unbestimmte Stabwerke (Einzelstab)
    Statisch unbestimmter Stab
    ... besseren Verständnis folgt nun ein Anwendungsbeispiel:AnwendungsbeispielGegeben sei ein statisch unbestimmter Stab mit den Querschnittsflächen $ A_1 $ und $ A_2 $. Dieser Stab ist zwischen zwei starren Wänden gelagert. In horizontaler Richtung treten zwei Lagerkräfte A und B auf. Gesucht sind die Lagerreaktionen des rechten Bereichs, welcher um die Temperatur $\triangle T $ gleichmäßig erwärmt wird. Statisch unbestimmter StabWieder stehen die ...
  3. Satz von Steiner (Parallelverschiebung der Achsen)
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Satz von Steiner (Parallelverschiebung der Achsen)
    Satz von Steiner bersicht
    ... I_{y^*z^*} = I_{yz} - z_s^*y_s^* \cdot A $Anwendungsbeispiel: Steinersche Sätze / Parallelverschiebung der AchsenEs soll anhand eines einfachen Beispiels dargestellt werden, wie man mittels der Steinerschen Sätze die Flächenträgheitsmomente bestimmt oder durch die direkte Lösung der Integrale. Dies soll anhand des bereits bekannten Rechtecks durchgeführt werden. Später wird dies dann auch anhand von zusammengesetzten Flächen gezeigt.Es sollen die Flächenträgheitsmomente ...
  4. Hauptträgheitsmomente / Hauptachsen
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Hauptträgheitsmomente / Hauptachsen
    Rechteck
    ... die Winkelabtragung in einer Rechtsdrehung.Anwendungsbeispiel: HauptträgheitsmomenteDer obige rechteckige Querschnitt eines Balkens hat die Flächenträgheitsmomente:$I_y = \frac{a^3b}{12}$$I_z =  \frac{b^3a}{12}$$I_{yz} = 0$.Das bedeutet die Flächenträgheitsmomente sind auch gleichzeitig die Hauptträgheitsmomente, da das Deviationsmoment $I_{yz} = 0$ ist. Das liegt daran, dass mindestens eine Achse eine Symmetrieachse darstellt. In diesem Fall stellen ...
Technische Mechanik 2: Elastostatik
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Picard-Lindelöf > Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf
    ... $f$ in $G$ einer lokalen Lipschitzbedingung.Anwendungsbeispiele: Globale LipschitzbedingungGegeben sei die Funktion $f(x,y)=x^2 + y^2 $. Mit $x \in \mathbb{R}$. Zeige dass $f$ in $\mathbb{R}^2$ nicht global einer Lipschitzbedingung bezüglich $y$ genügt!Gesucht wird ein reelles $L$ mit $ | f(x, y_1) - f(x, y_2)| \le L \cdot |y_1 - y_2| $  für alle  $(x, y_1), \; (x, y_2) \; \in G \subset \mathbb{R}$$ | (x^2 + y_1^2) - (x^2 + y_2^2)| \le L \cdot |y_1 - y_2| $$ | ...
  2. Krümmungsradius
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Krümmungsradius
    Krmmungsradius
    ...        ParameterdarstellungAnwendungsbeispielGegeben sei die Funktion: $f(x) = 0,5x^2$ (Parabel). Bestimme für den Punkt $P(0, 0)$ den Krümmungsradius.KrümmungsradiusZuerst werden die beiden Ableitungen gebildet:$f´(x) = x$$f´´(x) = 1$Danach in die Formel einsetzen und $x_0 = 0$ einsetzen:$r = |\frac{(1 + (x)^2)^{\frac{3}{2}}}{1}| = |\frac{(1)^{\frac{3}{2}}}{1}| = 1$  Im Punkt $P(0,0)$ beträgt der Krümmungsradius $r=1$.Krü...
  3. Totales Differential
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Totales Differential
    ... darstellen) ist das Differential der Funktion.AnwendungsbeispielGegeben sei die Funktion $z = f(x,y) = x^2 + y^2$Das totale Differential ist:$\frac{\partial f}{\partial x} dx = 2x \ dx$$\frac{\partial f}{\partial y} dy = 2y \ dy$$\rightarrow \; dz = 2x \ dx + 2y \ dy$Gegeben sei die Funktion $ w = f(x,y,z) = x^2 y z$Das totale Differential ist:$\frac{\partial f}{\partial x} dx = 2xyz \ dx$$\frac{\partial f}{\partial y} dy = x^2z \ dy$$\frac{\partial f}{\partial z} dz =x^2y \ dz$$\rightarrow \ ...
Analysis und Gewhnliche Differentialgleichungen
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Regelungstechnik

  1. Beispiele zum Signalflussplan
    Darstellungsvarianten regelungstechnischer Strukturen > Wirkungspläne und Signalflusspläne > Beispiele zum Signalflussplan
    ... üben. Hierzu haben wir sechs verschiedene Anwendungsbeispiele verfasst, die Dir helfen werden ein Verständnis für Signalflusspläne zu bekommen.Stelle Regelstreckengleichung als Signalflussplan dar.Stelle eine Integrationgleichung als Signalflussplan dar.Stelle eine Differentialgleichung als Signalflussplan dar.Stelle die Gleichung für eine elektische Leistung P als Signalflussplan dar.Stelle den Zusammenhang von Kraft, Beschleunigung und Weg bei einer Masse als Signalflussplan ...
  2. Grafische Verfahren
    Mathematische Methoden zur Regelkreisberechnung > Linearisierung > Grafische Verfahren
    Linearisierung im Arbeitspunkt
    ... $\ dim [K_P] = \frac{dim[x_a]}{dim[x_e]} $Anwendungsbeispiel:Wir betrachten erneut einen Generator mit einer Spannung in der Einheit Volt und einer Drehzahl in der Einheit Umdrehungen pro Minute. Bestimmen Sie die Dimension für den Proportionalbeiwert.Ankerspannung $ U_A $: Volt (V) Drehzahl $ n $: $ min^{-1} $Proportionalbeiwert: $ dim[KP] = \frac{dim[n]}{dim[U_A]} = \frac{min^{-1}}{V} = (V \cdot min)^{-1}$
  3. Anwendungsbeispiel: Übertragungsverhalten
    Darstellungsvarianten regelungstechnischer Strukturen > Wirkungspläne und Signalflusspläne > Weitere Umformungsregeln für Wirkungspläne > Anwendungsbeispiel: Übertragungsverhalten
    4. Umformung
    In diesem Anwendungsbeispiel soll nun das Übertragungsverhalten von $ x_a $ in Abhängigkeit von $ x_e $ ermittelt werden. Hierzu wollen wir den vorliegenden Wirkungsplan schrittweise vereinfachen.Übertragungselemente 1. Schritt: Zusammenfassen von $ F_{21} $ und $ F_{22} $ durch Verwendung der Umformungsregel 21. Umformung $ F_2 = F_{21} \cdot F_{22} $2. Schritt: zusammenfassen von $ F_{31} $ und $ F_{32} $ durch Verwendung der Umformungsregel 12. Umformung $ F_3 = F_{31} ...
Regelungstechnik
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Technische Mechanik 3: Dynamik

  1. Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit
    Kinematik eines Massenpunktes > Geradlinige Bewegung eines Massenpunktes > Kinematische Grundaufgaben > Beschleunigung in Abhängigkeit von der Zeit
    ...   Im nächsten Kurstext folgt ein Anwendungsbeispiel zur ungleichförmigen Bewegung.
  2. Geschwindigkeitsvektor
    Kinematik eines Massenpunktes > Allgemeine Bewegung eines Massenpunktes > Geschwindigkeit eines Massenpunktes > Geschwindigkeitsvektor
    Geschwindigkeitsvektor Massenpunkt
    ... zur Zeit $t$.Im kommenden Abschnitt folgen Anwendungsbeispiele zur Bestimmung des Geschwindigkeitsvektor für einen bestimmten Punkt.
Technische Mechanik 3: Dynamik
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Thermodynamik

  1. Thermische Zustandsgleichung des idealen Gases
    Grundlagen der Thermodynamik > Thermische Zustandsgleichung des idealen Gases
    Beispiel U-Rohr thermische Zustandsgleichung
    ... des idealen GasesGegeben sei wieder das in Anwendungsbeispiel 2 gegebene U-Rohr-Manometer, mit der mit Stickstoff gefüllten geschlossenen Säule. Die Angaben sind der Grafik zu entnehmen.Es wird der Säule nun Wärme zugeführt, was dazu führt, dass sich der Stickstoff in der linken Säule um 20mm ausbreitet. Die Druckänderung im Behälter sowie die Dichte- und Längenänderung des Quecksilbers können dabei vernachlässigt werden.Wie ...
Thermodynamik
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Elektrotechnik

  1. Beispiel: Parallelschaltung eines Widerstandes und eines Kondensators
    Wechselstrom > Wechselstromkreise > Wechselstromschaltungen mit R, L und C > Beispiel: Parallelschaltung eines Widerstandes und eines Kondensators
    Parallelschaltung eines Widerstandes und eines Kondensators
    Übungsbeispiel 4Im vierten und letzten Anwendungsbeispiel betrachten wir wieder einen Widerstand und einen Kondensator. Beide befinden sich auch nicht mehr in einer Reihen-, sondern in einer Parallelschaltung.Parallelschaltung eines Widerstandes und einer KondensatorParallelschaltung eines Widerstandes und eines Kondensators In der obigen Abbildung entdeckst du erneut einen Widerstand $ R $ und einen Kondensator $ C $. Beide sind diesmal innerhalb eines Wechselstromkreises parallel ...
Elektrotechnik
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Strömungslehre

  1. Hydrodynamik
    Hydrodynamik
    Hydrodynamik innerhalb eines Kanals
    ... $w$ verwendet. Es können aber in Anwendungsbeispielen auch $c$ oder $v$ auftreten.
Strmungslehre
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Werkstofftechnik 1

  1. Wasserstoffbrückenbindung
    Metallographie > Atomare Bindungen > Sekundäre Bindungen > Wasserstoffbrückenbindung
    Wasserstoffbrckenbindung
    ... der WasserstoffbrückenbindungAnwendungsbeispielWasser besteht aus Wasserstoff und Sauerstoff. Wasserstoff hat eine positive Partialladung und Sauerstoff eine zweifache negative Ladung. Es bildet sich ein Dipol. Dadurch kommt es zur Bildung von Wasserstoffbrückenbindungen. Diese Bindung setzt sich aus zwei Wasserstoffatomen eines Molekül mit einem Sauerstoffatom eines anderen Molekül zusammen.  Wasserstoffbrückenbindung
Werkstofftechnik 1
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