Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Implizite und explizite Darstellung
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    Darstellungsarten ebener Kurven > Implizite und explizite Darstellung
    Implizite Darstellung eines Kreises
    ... auch Ellipsen und Kreise dargelegt werden.AnwendungsbeispieleUm einen Kreis abzubilden, bedarf es bei der expliziten Darstellung zwei Funktionen. Gegeben sei: $y = f(x) = \sqrt{1-x^2}$Mit dieser expliziten Funktion kann nur ein Halbkreis dargelegt werden. Um einen Kreis darzustellen, bedarf es einer zweiten Funktion: $y = -f(x) = -\sqrt{1-x^2}$.Explizite Darstellung eines KreisesIndem man die explizite Funktion in eine implizite Funktion umstellt, kann der Kreis mithilfe einer Funktion ...
  2. Krümmungsradius
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Krümmungsradius
    Krmmungsradius
    ...        ParameterdarstellungAnwendungsbeispielGegeben sei die Funktion: $f(x) = 0,5x^2$ (Parabel). Bestimme für den Punkt $P(0, 0)$ den Krümmungsradius.KrümmungsradiusZuerst werden die beiden Ableitungen gebildet:$f´(x) = x$$f´´(x) = 1$Danach in die Formel einsetzen und $x_0 = 0$ einsetzen:$r = |\frac{(1 + (x)^2)^{\frac{3}{2}}}{1}| = |\frac{(1)^{\frac{3}{2}}}{1}| = 1$  Im Punkt $P(0,0)$ beträgt der Krümmungsradius $r=1$.Krü...
  3. Evolvente berechnen
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Evolvente berechnen
    Evolvente
    ... dem Abschnitt 'Evolute' gezeigt werden. Anwendungsbeispiel: Tangenten der EvoluteGegeben sei die Parabel: $0,5x^2$. Die Krümmungskreismittelpunkte wurden für verschiedene Punkte berechnet (siehe Kapitel "Evolute"). In diesem Beispiel wurden noch zwei weitere Punkte $X(-1,5, \ 1,25)$ und $Y(1,5, \ 1,25)$ eingefügt, um die Evolute genauer darzustellen. Die Evolute der Parabel sieht dann wie folgt aus:Evolute der ParabelBestimmung des NormalenvektorsDie Tangenten der ...
  4. Hauptnormalenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Hauptnormalenvektor im Raum
    ... (t)}}{{| \dot{\vec{t}}_e (t)|}}$AnwendungsbeispielGegeben sei die Kurve $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{pmatrix} \; 0 \le t \le 2\pi$.Die Kurve $\alpha (t)$ ist in Parameterdarstellung gegeben. Der dazugehörige Hauptnormalenvektor wird wie folgt ermittelt:Ableitungen bilden$\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix}$$\ddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix}$Kreuzprodukt des ...
  5. Binormalenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Binormalenvektor im Raum
    ... alle drei Vektoren senkrecht zueinander stehen.AnwendungsbeispielGegeben sei die Raumkurve $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{pmatrix}$. Berechne den Binormalenvektor.Ableitungen bilden$\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix}$$\ddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix}$Vektorprodukt bilden$\dot{\vec{r}}(t) \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}(t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos ...
  6. Begleitendes Dreibein und Schmiegebene
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Begleitendes Dreibein und Schmiegebene
    ... \vec{b} (t) \cdot (\vec{r} (t) - \vec{x}_0) = 0$AnwendungsbeispielGegeben sei die Raumkurve $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{pmatrix}$. Berechne das begleitende Dreibein  $\ (\vec{t}_e (t),\vec{n}(t),\vec{b}(t))$  für  $t = 0$.Ableitungen bilden:$\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \; (0, 1, 1)$$\ddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \; ...
  7. Bogenlänge im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Bogenlänge im Raum
    ... nach $t$ umgestellt und dann eingesetzt wird.AnwendungsbeispielGegeben sei die Raumkurve: $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \sin (t) \\ \cos (t) \\ t \end{pmatrix} \; 0 \le t \le 2\pi$.Die Formel zum Wechsel zur Bogenlänge $s$ ist:$s =  \int\limits_0^t |\dot{\vec{r}}(t)| dt$Ableitung bilden und Länge berechnen$\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ -\sin (t) \\ 1 \end{pmatrix}$$|\dot{\alpha} (t)| = \sqrt{ \cos^2 (t) + \sin^2 (t) + 1^2} = \sqrt{2}$Bogenlänge ...
  8. Krümmung und Torsion im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Krümmung und Torsion im Raum
    ... \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}|^2}$AnwendungsbeispielGegeben sei die Raumkurve $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{pmatrix}$. Bestimme die Krümmung und Torsion im Punkt $t = 0$.Ableitungen bilden$\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow (0, 1, 1)$$\ddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow (-1, 0, 0)$$\dddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} \sin (t) ...
  9. Partielle Ableitung höherer Ordnung
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Partielle Ableitung > Partielle Ableitung höherer Ordnung
    ... sind, dh. keine Sprünge aufweisen. AnwendungsbeispieleGegeben sei die Funktion $w = f(x,y,z) = x^2 y + z^2 x$1. MöglichkeitDie Ableitung nach $x$ und dann nach $y$:$\frac{\partial}{\partial x} f_x (x,y,z) = 2xy + z^2$$\frac{\partial}{\partial x} f_{x,y} (x,y,z) = 2x$Die Ableitung nach $y$ und dann nach $x$:$\frac{\partial}{\partial x} f_y (x,y,z) = x^2$$\frac{\partial}{\partial x} f_{y,x} (x,y,z) = 2x$$\rightarrow \ f_{xy} (x,y,z) $ = $\ f_{yx} (x,y,z)$.2. MöglichkeitOder ...
  10. Totales Differential
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Totales Differential
    ... darstellen) ist das Differential der Funktion.AnwendungsbeispielGegeben sei die Funktion $z = f(x,y) = x^2 + y^2$Das totale Differential ist:$\frac{\partial f}{\partial x} dx = 2x \ dx$$\frac{\partial f}{\partial y} dy = 2y \ dy$$\rightarrow \; dz = 2x \ dx + 2y \ dy$Gegeben sei die Funktion $ w = f(x,y,z) = x^2 y z$Das totale Differential ist:$\frac{\partial f}{\partial x} dx = 2xyz \ dx$$\frac{\partial f}{\partial y} dy = x^2z \ dy$$\frac{\partial f}{\partial z} dz =x^2y \ dz$$\rightarrow \ ...
  11. Richtungsableitung
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Richtungsableitung
    ... \le 2\pi $ (Einheitskreis = Länge $1$).AnwendungsbeispielGegeben sei folgende Funktion $ f(x,y)=\left(\begin{array}{ll}\frac{x^3-xy^2}{x^2+y^2}, & (x,y)\not= (0,0) \\ 0, & (x,y)= (0,0)\end{array}\right) $.Wie sieht der Grenzwert zur Bestimmung von Richtungsableitungen im Punkt $(0,0)$ aus, wenn man ihn statt des Richtungsvektor nun mit dem Einheitsvektor bestimmt, und wie ist die Richtungsableitung?1.Schritt:Schauen, ob die Funktion an der Stelle $P(0,0)$ stetig ist.Aus dem ...
  12. Kettenregel
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Kettenregel
    ... bei Funktionen mit 3 oder n Veränderlichen.AnwendungsbeispieleGegeben sei die Funktion $z = f(x,y)$ mit $x = \sin (t)$ und $y = \cos (t)$.Dann ist die Ableitung:$\frac{dz}{dt} =  \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}$$\frac{\partial z}{\partial x}  = f(x)$$\frac{dx}{dt} = \cos (t)$$\frac{\partial z}{\partial y} = f(y)$$\frac{dy}{dt} = -\sin (t)$Insgesamt ergibt sich:$\frac{dz}{dt} = \frac{dz}{dt} = f(x) \cdot \cos ...
  13. Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Picard-Lindelöf > Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf
    ... $f$ in $G$ einer lokalen Lipschitzbedingung.Anwendungsbeispiele: Globale LipschitzbedingungGegeben sei die Funktion $f(x,y)=x^2 + y^2 $. Mit $x \in \mathbb{R}$. Zeige dass $f$ in $\mathbb{R}^2$ nicht global einer Lipschitzbedingung bezüglich $y$ genügt!Gesucht wird ein reelles $L$ mit $ | f(x, y_1) - f(x, y_2)| \le L \cdot |y_1 - y_2| $  für alle  $(x, y_1), \; (x, y_2) \; \in G \subset \mathbb{R}$$ | (x^2 + y_1^2) - (x^2 + y_2^2)| \le L \cdot |y_1 - y_2| $$ | ...
  14. Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Picard-Lindelöf > Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren
    ... (x) := y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y_n (t))dt $.Anwendungsbeispiel: Iterationsverfahren von Picard-LindelöfMan Löse iterativ das Anfangswertproblem $\ y' = 2xy $ mit  $ y(0) := 1 $.  Aus der Anfangsbedingung $y(0) = 1$ kann abgelesen werden: $x_0 = 0$ und $y_0 = 1$$\ y_0 (x) \equiv 1 $$\ y_1 (x) = 1 + \int\limits_0^x 2t \cdot 1 \ dt = 1 + [t^2] = 1 + x^2 - 0 = 1 + x^2 $$\ y_2 (x) = 1 + \int\limits_0^x 2t \cdot (1 + t^2) dt = 1 + \int\limits_0^x  2t + 2t^3 \ dt$$= 1 + 2 \int\limits_0^x ...
  15. Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    ... g(y) \not= 0 $ in impliziter Form ergeben. Anwendungsbeispiel: TDVLösen Sie die Differentialgleichung $y' = -2x(y^2 - y) $ mit Hilfe der "Trennung der Veränderlichen"-Methode!0. Zerlegung der Veränderlichen Es handelt sich um eine Funktion der Form: $y' = f(x) \cdot g(y)$mit  $ f(x) = -2x $ und $ g(y) = y^2-y $1. Bestimmung der Nullstellen von g(y):$ y^2 - y = y(y-1) = 0 \rightarrow y_1= 0, \ y_2 = 1 $Diese konstanten Funktionen $ y_1 = 0 $ und $ y_2 = 1 $ sind [partikuläre] ...
  16. Bernoulli Differentialgleichung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Spezielle Differentialgleichungen > Bernoulli Differentialgleichung
    ... substituiert $ u = y^{1-\alpha} $ zurück.Anwendungsbeispiel: Bernoulli DifferentialgleichungLöse die folgende Differentialgleichung $y' + \frac{y}{x} - x^2 \sqrt[3]{y} = 0 $. 1. Man formt zuerst um und erhält mit$y' + \frac{1}{x}y = x^2 y^{\frac{1}{3}} $ mit $ \alpha = \frac{1}{3} $  eine Bernoulli Differentialgleichung.2. Als nächstes multipliziert man die Gleichung mit $y^{-\frac{1}{3}}$ und erhält:$y^{-\frac{1}{3}} \cdot y' + \frac{1}{x} y^{\frac{2}{3}} ...
  17. Ricatti Differentialgleichung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Spezielle Differentialgleichungen > Ricatti Differentialgleichung
    ... zu verstehen.Anwendungsbeispiel: Ricatti DifferentialgleichungLöse folgende Differentialgleichung $ \ y' + \frac{2}{x}y + y^2 = \frac{2}{x^2}$Davon ausgehend, dass mit $ y_1 = \frac{1}{x} $ durch Einsetzen eine spezielle Lösung gefunden wurde, kann die Riccati-Differentialgleichung transformiert werden.1. Als Substitution erhält man $ u = \frac{1}{y-\frac{1}{x}} $Daraus folgt: $\ y = \frac{1}{u} + \frac{1}{x} $ und $ y' = - \frac{u'}{u^2} - \frac{1}{x^2} ...
  18. Exakte Differentialgleichung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Exakte Differentialgleichung
    ... die von $y$ abhängig ist.Anwendungsbeispiel: Exakte DifferentialgleichungLöse die Differentialgleichung: $2x + 5 + (2y + 5)y´= 0$$p(x,y) = M = 2x + 5$$q(x,y) = N = 2y + 5$1.) Auf Exaktheit überprüfen:$M_y = 0$$N_x = 0$Da, $M_y = N_x$ ist die Exaktheitsbedingung erfüllt, d.h. es existiert ein $\psi_x = M, \; \psi_y = N$.2.) Integration$\psi (x,y) = \int \psi_x \; dx + I(y) = \int (2x + 5) dx + I(y)$$\psi (x,y) = x^2 + 5x + I(y)$3.) Bestimmung der ...
  19. Homogene Differentialgleichungen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Homogene Differentialgleichungen
    ... der Differentialgleichung sind. Anwendungsbeispiele: Homogene DifferentialgleichungLöse folgende homogene, lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit dem d' Alembertschen Reduktionsverfahren.$\ (1 + x^2)y'' - 2xy' + 2y = 0 $. Durch hinsehen lässt sich erkennen, dass $ y_1 = x$  eine Lösung ist. Setzt man für $y = x$ und für $y' = 1$ (1. Ableitung von $x$) und für $y'' = 0$ (2. Ableitung von $x$) ein, so ergibt die gesamte Gleichnung null.Daraus ...
  20. Inhomogene Differentialgleichungen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Inhomogene Differentialgleichungen
    ... = \sum\limits^n_{k=1} c_k (x) y_k(x)$. Anwendungsbeispiel: Inhomogene DifferentialgleichungBestimme die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung $ y_S $ für folgende lineare Differentialgleichung$ y'' - \frac{x}{x-1}y' + \frac{1}{x-1}y = x - 1, \; \; x \not= 1$.Lösungsgesamtheit homogene DifferentialgleichungDie zugehörige homogene Differentialgleichung ist $ y'' - \frac{x}{x-1}y' + \frac{1}{x-1}y = 0 $.Sie besitzt die Lösungen $ y_1 = x $ und $ ...
  21. Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
    ... 1, 2 \pm 3i $$ e^x, e^{2x}cos3x, e^{2x}sin3x $Anwendungsbeispiel: Homogene Differentialgleichung mit konstanten KoeffizientenLöse die folgenden homogene Differentialgleichung 3. Ordnung mit konstanten Koeffizienten$\ y''' - 2y'' - 5y' + 6y = 0 $Zuerst gilt es die homogene Differentialgleichung als charakteristische Gleichung darzustellen$\color{grey}{y''' - 2y'' - 5y' + 6y = 0} \rightarrow \lambda^3 - 2\lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0 $.Anschließend bestimmt man die Lösungen ...
Analysis und Gewhnliche Differentialgleichungen
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Analysis und Lineare Algebra

  1. Ungleichungen
    Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Reelle Zahlen > Ungleichungen
    ... folgenden Abschnitt werden wir dir Anwendungsbeispiele zur Lösung von einfachen Ungleichungen, Bruchungleichungen und Betragsungleichungen vorstellen.
  2. Beispiele: Betragsungleichungen, Bruchungleichungen
    Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Reelle Zahlen > Ungleichungen > Beispiele: Betragsungleichungen, Bruchungleichungen
    ... kehrt sich das Ungleichheitszeichen um.Anwendungsbeispiele: Einfache UngleichungenGegeben sei die folgende Ungleichung:$- \frac{1}{3}x - \frac{1}{2}x \le - \frac{4}{3}$Bestimme bitte alle reellen Lösungen dieser Ungleichung!Die Ungleichung wird unter Berücksichtigung des Ungleichheitszeichens nach $x$ umgestellt:$- \frac{5}{6}x \le - \frac{4}{3}$Nun lösen wir nach $x$ auf. Da bei der Auflösung nach $x$ die gesamte Gleichung mit $-\frac{6}{5}$ multipliziert wird, kehrt ...
  3. Fakultät und Binomialkoeffizienten
    Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Reelle Zahlen > Fakultät und Binomialkoeffizienten
    ... \choose 4} = \frac{5 \cdot 4}{4} = 5$Anwendungsbeispiel: BinominalkoeffizientBeim Lotto 6 aus 49 ist die Anzahl der möglichen Ziehungen 49 über 6:${49 \choose 6} = \frac{49!}{6!(49-6)!} = \frac{49!}{6!43!}$$=\frac{\not1*\not2*\not3*...*\not43*44*45*46*47*48*49}{(1*2*3*...*5*6)(\not1*\not2*\not3*...*\not43)} = \frac{44*45*46*47*48*49}{1*2*3*...*5*6} = 13.983.816$verschiedene Möglichkeiten 6 "Richtige" zu ziehen.In diesem Beispiel können wirn den Wert auch gut ...
  4. Anwendungsbeispiele: Mengenlehre und reelle Zahlen
    Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Anwendungsbeispiele: Mengenlehre und reelle Zahlen
    In diesem Abschnitt folgen einige Anwendungsbeispiele zu den vorherigen Abschnitten.IntervalleGegeben seien die folgenden Intervalle der reellen Zahlen:a) offenes Intervall von $3$ bis $\frac{14}{3}$b) rechts halboffenes Intervall von $x_1$ bis $x_2$c) links halboffenes Intervall von $\frac{5}{8}$ bis $z$d) geschlossenes Intervall von $-15$ bis $0$e) das Intervall aller Zahlen größer oder gleich $3$f) das Intervall aller Zahlen kleiner als $2$Gib bitte diese als Klammerausdruck und in ...
  5. Addition von Vektoren
    Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Addition von Vektoren
    Vektoraddition Kommutativgesetz
    ... + \vec{b} = (12, 8)$$\vec{b} + \vec{a} = (12,8)$Anwendungsbeispiel: AssoziativgesetzGegeben seien die Vektoren $\vec{a} = (4, 6)$, $\vec{b} = (8,2)$ und $\vec{c} = (1,3)$. Bitte zeige, dass das Assoziativgesetz gilt!Assoziativgesetz:  (1)    $(\vec{a} + \vec{b}) = (12,8)$ $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}  = (13,11)$(2)   $(\vec{b} + \vec{c}) = (9,5)$$(\vec{b} + \vec{c}) + \vec{a} = (13,11)$
  6. Einheitsvektor, Länge von Vektoren
    Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Einheitsvektor, Länge von Vektoren
    Vektorrechnung
    ... - \vec{a}|$Das Video wird geladen... Anwendungsbeispiel: Länge von Vektoren / EinheitsvektorBitte berechnen die Länge des Vektors zwischen den Punkten $A(6,3)$ und $B(1,5)$!Es soll nun die Länge des Vektors $\vec{AB}$ berechnet werden. Dieser Vektor geht vom Punkt $A$ zum Punkt $B$, der Pfeil zeigt also auf den Punkt $B$. Die beiden Punkte können mittels der Ortsvektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ dargestellt werden. Diese zeigen vom Koordinatenursprung auf die jeweiligen ...
  7. Skalarprodukt und Winkel
    Vektorrechnung > Das Skalarprodukt > Skalarprodukt und Winkel
    Skalarprodukt eingeschlossener Winkel
    ... man $\vec{a} \cdot \vec{b}$.Projektion Anwendungsbeispiel: SkalarproduktEs seien folgende Vektoren gegeben: $\vec{a} = (4,0)$ und $\vec{b} = (4,4)$. Bitte berechne $\vec{a} \cdot \vec{b}$!Es werden zunächst die beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ eingezeichnet. Der Winkel zwischen den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ beträgt $45°$:Es wird als nächstes das Skalarprodukt berechnet durch:$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\varphi) = ...
  8. Zerlegung von Vektoren
    Vektorrechnung > Das Skalarprodukt > Zerlegung von Vektoren
    Vektor
    ... In diesem Fall liegt $s$ zwischen $0$ und $1$.Anwendungsbeispiel: Zerlegung von VektorenGegeben seien die folgenden Vektoren: $\vec{a} = (0,4)$ und $\vec{b} = (3,3)$Lösung der orthogonale Zerlegung: $\vec{a} = s \cdot \vec{b} + \vec{x}$ $\left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \end{array}\right) = s \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array}\right)+ \vec{x}$Bevor wir die obige Formel$\vec{x} =  \vec{a} - \frac{\vec{b} \, \cdot \, \vec{a}}{\vec{b} \, \cdot \, \vec{b}} \cdot ...
  9. Das Spatprodukt
    Vektorrechnung > Das Spatprodukt
    Spatprodukt berechnen
    ... null.Vektorprodukt vs. Spatprodukt Anwendungsbeispiel: SpatproduktBestimme das Volumen des Spats der 3 Vektoren $\vec{a}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ -2 \end{array}\right)$, $\vec{b}=\left(\begin{array}{c} 5 \\ -1 \\ 7\end{array}\right)$ und $\vec{c} = \left(\begin{array}{c} 6 \\ -3 \\ 8\end{array}\right)$!Zuerst empfiehlt es sich, die 3 Vektoren in eine Matrix zu übertragen.$[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]= \left(\begin{array}{ccc} 3 & 5 & 6 \\ 6 & -1 & ...
  10. Laplacescher Entwicklungssatz
    Matrizen > Determinanten > Laplacescher Entwicklungssatz
    Sarrus
    ... Determinante von $A$ beträgt demnach $-3$.AnwendungsbeispielGegeben sei die Matrix $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 0\\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 0 \end{pmatrix}$. Berechne die Determinante von $A$!Wir entwickeln nach der 4. Spalte, da in dieser die meisten Nullen stehen und sich die Determinante damit einfacher berechnen lässt.1. Schritt: Streiche 4. Spalte und 1. Zeile:$|A_{14}| =  \begin{vmatrix} \not1 & ...
  11. Eigenwerte
    Matrizen > Eigenwerte und Eigenvektoren > Eigenwerte
    ... höchstens $n$ Eigenwerte der Matrix A.AnwendungsbeispielGegeben sei die folgende Matrix: $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -4 & 5 \end{pmatrix}$1. Schritt: Berechnung des charakteristischen Polynoms und Nullsetzen$det(A − \lambda E) =  \begin{vmatrix} 3 - \lambda & 0 \\ -4 & 5 - \lambda \end{vmatrix}$$det(A − \lambda E) = (3 - \lambda) \cdot (5 - \lambda) - 0 \cdot -4$$det(A − \lambda E) = \lambda^2 - 8\lambda + 15 = 0$2. Schritt: Berechnung ...
  12. Eigenvektoren
    Matrizen > Eigenwerte und Eigenvektoren > Eigenvektoren
    ... = 0$, wobei $\vec{x} \neq \vec{0}$ gilt. AnwendungsbeispielGegeben sei die Matrix aus dem vorherigen Beispiel $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -4 & 5 \end{pmatrix}$ mit den Eigenwerten $\lambda_1 = 5, \lambda_2 = 3$. Berechne die zugehörigen Eigenvektoren zu $\lambda_1$ und $\lambda_2$!Berechnung des 1. EigenvektorsAus $\lambda_1 = 5$ folgt:$(A - 5 E)\vec{x} = 0$$= \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} - 5 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$= ...
  13. Beispiel 1: Diagonalisierbarkeit
    Matrizen > Eigenwerte und Eigenvektoren > Diagonalisierbarkeit > Beispiel 1: Diagonalisierbarkeit
    ... $n \times n$-Matrix $n$ Nullstellen existieren.Anwendungsbeispiel 1: Diagonalisierbarkeit $A = \begin{pmatrix} 2 & - \sqrt{5} & 0 \\ \sqrt{5} & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$Ist die obige Matrix diagonalisierbar?1. Schritt: Berechnung des charakteristischen Polynoms$\chi_A(\lambda) = det(A-\lambda E) $mit$\chi_A(\lambda)$ = charakteristisches Polynom$\lambda E = \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda ...
  14. Beispiel 2: Diagonalisierbarkeit
    Matrizen > Eigenwerte und Eigenvektoren > Diagonalisierbarkeit > Beispiel 2: Diagonalisierbarkeit
    ... in der Beispielmatrix übereinstimmt.Anwendungsbeispiel 2: Diagonalisierbarkeit$A = \begin{pmatrix} 9 & 0 & -6 \\ 18 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$Ist die obige Matrix diagonalisierbar?1. Schritt: Berechnung des charakteristischen PolynomsBerechnung des charakteristischen Polynoms mittels Regel von Sarrus:$\chi_n(\lambda) = det(A-\lambda E) = \begin{vmatrix} 9-\lambda & 0 & -6 \\ 18 & 6-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 6-\lambda \\ ...
  15. Lineare Abhängigkeit im R²
    Vektorräume > Lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit von Vektoren > Lineare Abhängigkeit im R²
    ... sind, wenn diese parallel zueinander sind. AnwendungsbeispielDazu betrachten wir zunächst als einfaches Beispiel die Einheitsvektoren im $\mathbb{R}^2$.$\vec{e_x} = (1,0)$ und $\vec{e_y} = (0,1)$Da die beiden Einheitsvektoren nicht parallel zueinander sind und im $\mathbb{R}^2$ liegen, sind diese unabhängig voneinander. Berechnung:Zwei Vektoren $\vec{a_1}$ und $\vec{a_2}$ sind genau dann linear abhängig, wenn sich der Nullvektor durch eine Linearkombination der Vektoren ...
  16. Lineare Abhängigkeit im R³
    Vektorräume > Lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit von Vektoren > Lineare Abhängigkeit im R³
    Regel von Sarrus
    ... wenn diese parallel zueinander sind. 1. AnwendungsbeispielDazu betrachten wir zwei Vektoren im $\mathbb{R}^3$.Gegeben seien die Vektoren $\vec{a} = (2,1,0)$ und $\vec{b} = (3,2,4)$.Sind die beiden Vektoren abhängig oder unabhängig voneinander?Man kann hier auch ohne Berechnung erkennen, dass die beiden Vektoren linear unabhängig voneinander sind, da der Vektor $\vec{a}$ an der dritten Stelle eine Null enthält und der Vektor $\vec{b}$ an dieser Stelle keine ...
  17. Vektorraum, Erzeugendensystem, lineare Hülle, Basis
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    Vektorräume > Vektorraum, Erzeugendensystem, lineare Hülle, Basis
    ... Themen, ziehen wir ein Beispiel heran.Anwendungsbeispiel: lineare Hülle, Erzeugendensystem, BasisIm Vektorraum $\mathcal V = \mathbb{R}^2$ sei die folgende Menge von Vektoren gegeben:$M = \{\vec{a_1}, \vec{a_1}, \vec{a_1}, \vec{a_1} \}$ mit$\vec{a_1} = (1,2)$, $\vec{a_2} = (2,1)$, $\vec{a_3} = (2,0)$, $\vec{a_4} = (0,3)$Ist die Teilmenge $M$ ein Erzeugendensystem des $\mathbb{R}^2$?Ist $M$ eine Basis?Zeige alle möglichen Basen auf!ErzeugendensystemZur Überprüfung können ...
  18. Definition von komplexen Zahlen
    Komplexe Zahlen > Definition von komplexen Zahlen
    Komplexe Zahlen (Imaginr, Real)
    ... \cdot i$ ist rein-imaginär. AnwendungsbeispielEs sei die komplexe Zahl $z = 3 + i \cdot 2$ gegeben. Was ist der Real- und was der Imaginärteil?Die komplexe Zahl $z = 3 + i\cdot2$ hat den Realteil $x = 3$ und den Imaginärteil $y = 2$.Grafische Darstellung der komplexen ZahlenDie Menge der rellen Zahlen lassen sich durch Punkte auf einer Zahlengeraden darstellen.Die Menge der komplexen Zahlen lassen sich als Punkte in einer Ebene, der gaußschen Zahlenebene (oder ...
  19. Grundrechenarten der komplexen Zahlen
    Komplexe Zahlen > Grundrechenarten der komplexen Zahlen
    ... komplexen Zahl ist ihr Abstand vom Nullpunkt.AnwendungsbeispieleGegeben seien die komplexen Zahlen $z = 2 + i3$ und $w = 4 + i2$. Berechne $z + w$, $z -w$, $z \cdot w$ und $\frac{z}{w}$.(1) $z + w = 6 + 5i$(2) $z - w = -2 + i$(3) $z \cdot w = 8 + 4i + 12i + 6i^2 = 2 + 16i $(4) $\frac{z}{w} = \frac{2  +  i3}{4  +  i2}\cdot \frac{4  -  i2}{4  -  i2}$             $= \frac{2\cdot4  +  3\cdot2}{4^2  +  2^2} ...
  20. Mittelwertsätze
    Differentialrechnung > Mittelwertsätze
    Mittelwertsatz, Sekante, Tangente
    ... 1) + 2$$y = 4x – 4 + 2$$y = 4x - 2$Anwendungsbeispiel zu MittelwertsätzeGegeben sei die Funktion:  $f(x) = -x^2 + 12$.  Berechne die Sekante, welche durch die Punkte $S_1(-1, 11)$ und $S_2(3, 3)$ geht. Berechne außerdem die Tangente, welche die gleiche Steigung wie die Sekante hat und den Schnittpunkt der Tangente mit  $f(x)$.Sekantengleichung$s(x) = mx + b$$m$ bestimmen:$m = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{3 - 11}{3 + 1} = -2$$s(x) = -2x + b$$b$ bestimmen ...
  21. Nachweis Konkavität und Konvexität durch Differentation
    Differentialrechnung > Konkave und konvexe Funktionen > Nachweis Konkavität und Konvexität durch Differentation
    ... Konkavität bzw. Konvexität bestimmen.Anwendungsbeispiele: Nachweis über Konkavität bzw. Konvexität$F(x) = 10x - 4x^2$$F'(x) = 10 - 8x$$F''(x) = -8$$\rightarrow$ streng konkav!$F(x) = 8x^3 - 2x^4$$F'(x) = 24x^2 - 8x^3$$F''(x) = 48x - 24x^2$$x$ ausklammern:$F''(x) = x(48 - 24x)$Die 2. Ableitung ist noch abhängig von $x$. Es werden die Nullstellen der 2. Ableitung bestimmt:$F''(x) = x(48 - 24x) = 0$$x_1 = 0$$48 - 24 x = 0$$x_2 = 2$Es gelten also die folgenden Bereiche:$x ...
Analysis und Lineare Algebra
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Technische Mechanik 1: Statik

  1. Resultierende grafisch bestimmen
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende grafisch bestimmen
    Beispiel grafische Vektoraddition Resultierende
    ... vorzuziehen. Räumliche VektoradditionAnwendungsbeispiel: Grafische VektoradditionBeispiel: Grafische VektoradditionGegeben seien die obigen 5 Vektoren. Für diese soll mittels grafischer Vektoraddition die Resultierende bestimmt werden. Zunächst ist es für die grafische Vektoraddition notwendig, dass die Vektoren ihren Beträgen entsprechend Abmessungen erhalten. Größere Kräfte erhalten demnach größere Abmessungen, als kleinere Kräfte. ...
  2. Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende analytisch bestimmen > Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie
    Krfte mit gemeinsamer Wirkungslinie
    ... Wirkungslinie wie die beiden Kräfte.Anwendungsbeispiel: Kräfte mit gemeinsamer WirkungslinieGegeben sei der obige Balken mit den zwei Kräften $F_1 = 37 N$ und $F_2 = 15 N$. Wie groß ist die Resultierende? In welche Richtung zeigt die Resultierende?Es wird zunächst die Vorzeichenkonvention so festgelegt, dass Kräfte die nach oben wirken positiv eingehen und Kräfte die nach unten wirken negativ:$\uparrow: R = F_2 - F_1 = 15N - 37 N = -22N$Da die Resultierende ...
  3. Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende analytisch bestimmen > Kräfte mit unterschiedlicher Wirkungslinie > Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
    Rechtwinklige berlagerung Resultierende
    ... veranschaulicht:Das Video wird geladen...Anwendungsbeispiel: Kräfte im nichtrechtwinkligen DreieckGegeben seien folgende Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt und dem eingeschlossenen Winkel $\gamma$.Beispiel: Kräfte im nichtrechtwinkligen DreieckDer Betrag der Resultierenden und ihre Wirkrichtung soll berechnet werden.Um den Betrag zu ermitteln wird der Kosinussatz angewandt:1. Möglichkeit$R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2 \cdot F_1 \cdot F_2 \cdot \cos (\gamma)}$$R = ...
  4. Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende analytisch bestimmen > Kräfte mit unterschiedlicher Wirkungslinie > Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
    Resultierende
    ... in x-, y- und z-Richtung [Raum] wirkt. Anwendungsbeispiel: KomponentendarstellungGegeben sei die folgende Darstellung der Kräfte $F_1$, $F_2$ und $F_3$ mit gleichem Angriffspunkt, sowie deren Winkel gemessen zur positiven $x$-Achse:Beispiel Berechne den Betrag der Resultierenden und ihre Richtung!In der obigen Grafik sind die Kräfte und ihre Winkel gemessen zur $x$-Achse angegeben. Diese Kräfte müssen zunächst jeweils in Komponenten zerlegt werden, welche ...
  5. Kräftegleichgewicht bei mehr als zwei Kräften
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Kräftegleichgewicht in der Ebene > Kräftegleichgewicht bei mehr als zwei Kräften
    Krftegleichgewicht ermitteln
    ... Kräfte zu berechnen. Anwendungsbeispiel: KräftegleichgewichtMan hängt ein Bild mit Hilfe eines Faden an einem in die Wand eingeschlagenen Nagel auf. Siehe hierzu die nachfolgende Abbildung: Beispiel: KräftegleichgewichtIn diesem Beispiel treten drei Kräfte auf. Die Gewichtskraft $ F_G $ wirkt senkrecht nach unten und durch die Aufhängung entstehen 2 Seilkräfte $ F_1 $ und $ F_2 $, welche im jeweils gleichen Winkelmaß nach oben ...
Technische Mechanik 1: Statik
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Physik

  1. Zweiseitiger Hebel
    Kraftwandler > Hebel > Zweiseitiger Hebel
    Zweiseitiger Hebel 1
    ... für alle Hebelformen gleichermaßen.Anwendungsbeispiel: PyramidenbauWir befinden uns im Jahre 1.353 vor Christus im Reich des Pharao Amenophis IV. Wie schon seine Vorgänger beginnt auch er mit Beginn seiner Amtszeit eine Pyramide zu errichten, die später einmal seine ewige Ruhestätte sein soll.Die vielen fleißigen Helfer auf der Baustelle stehen vor einer Mamutaufgabe. Sie sollen mit nur einfachsten Hilfsmitteln, einem zweiseitigen Hebel, Steinquader mit der Masse ...
  2. Statistische Messunsicherheit
    Mathematische Grundlagen > Statistische Messunsicherheit
    ... von dem Mittelwert entfernt sind.Anwendungsbeispiel: VertrauensintervallEin Schraubenhersteller möchte eine Qualitätskontrolle durchführen. Dazu nimmt er eine Stichprobe von 10 Schrauben und untersucht diese hinsichtlich ihres Durchmessers. Die Messungen sind der nachfolgenden Tabelle zu entnehmen:nMessung in mm13,223,532,943,653,263,973,183,092,9102,8Gesucht ist ein Intervall um $\overline{x}$, in dem der wahre Mittelwert $\mu$ mit einer 95-prozentigen Wahrscheinlichkeit ...
Physik
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