Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Implizite- und explizite Darstellung
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    Darstellungsarten ebener Kurven > Implizite- und explizite Darstellung
    Implizite- und explizite Darstellung
    ... auch Ellipsen und Kreise dargestellt werden. Anwendungsbeispiele Um einen Kreis darzustellen bedarf es bei der expliziten Darstellung zwei Funktionen aufzustellen.  Gegeben sei: $y = f(x) = \sqrt{1-x^2}$ Mit dieser expliziten Funktion kann nur ein Halbkreis dargestellt werden. Um einen Kreis darzustellen bedarf es einer zweiten Funktion: $y = -f(x) = -\sqrt{1-x^2}$. Explizite Darstellung eines Kreises Indem man die explizite Funktion in eine implizite Funktion umstellt, kann man einen ...
  2. Krümmungsradius
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Krümmungsradius
    Krümmungsradius
    ...                  Parameterdarstellung Anwendungsbeispiel Gegeben sei die Funktion: $f(x) = 0,5x^2$ (Parabel). Bestimme für den Punkt $P(0, 0)$ den Krümmungsradius. Krümmungsradius Als erstes die beiden Ableitungen bilden: $f´(x) = x$ $f´´(x) = 1$ Dann in die Formel einsetzen und $x_0 = 0$ einsetzen: $r = |\frac{(1 + (x)^2)^{\frac{3}{2}}}{1}| = |\frac{(1)^{\frac{3}{2}}}{1}| = 1$   Im Punkt $P(0,0)$ beträgt der Krümmungsradius $r=1$. Krümmungsradius
  3. Evolvente
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Evolvente
    Evolvente
    ... aus dem Abschnitt "Evolute" gezeigt werden.  Anwendungsbeispiel: Tangenten der Evolute Gegeben sei die Parabel: $0,5x^2$.  Die Krümmungskreismittelpunkte wurden für verschiedene Punkte berechnet (siehe Kapitel "Evolute").  In diesem Beispiel wurden noch zwei weitere Punkte $X(-1,5, \ 1,25)$ und $Y(1,5, \ 1,25)$ eingefügt um die Evolute genauer darzustellen. Die Evolute der Parabel sieht dann wie folgt aus: Evolute der Parabel Bestimmung des Normalenvektors Die Tangenten der ...
  4. Hauptnormalenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Hauptnormalenvektor im Raum
    ... (t)}}{{| \dot{\vec{t}}_e (t)|}}$ Anwendungsbeispiel Gegeben sei die Kurve $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{pmatrix} \; 0 \le t \le 2\pi$. Die Kurve $\alpha (t)$ ist in Parameterdarstellung gegeben. Der dazugehörige Hauptnormalenvektor wird wie folgt ermittelt: Ableitungen bilden $\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix}$ $\ddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix}$ Kreuzprodukt ...
  5. Binormalenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Binormalenvektor im Raum
    ... drei Vektoren senkrecht zueinander stehen. Anwendungsbeispiel Gegeben sei die Raumkurve $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{pmatrix}$. Berechne den Binormalenvektor. Ableitungen bilden $\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix}$ $\ddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix}$ Vektorprodukt bilden $\dot{\vec{r}}(t) \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}(t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) ...
  6. Begleitendes Dreibein und Schmiegebene
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Begleitendes Dreibein und Schmiegebene
    ... (t) \cdot (\vec{r} (t) - \vec{x}_0) = 0$ Anwendungsbeispiel Gegeben sei die Raumkurve $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{pmatrix}$. Berechne das begleitende Dreibein  $\ (\vec{t}_e (t),\vec{n}(t),\vec{b}(t))$  für  $t = 0$. Ableitungen bilden: $\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \; (0, 1, 1)$ $\ddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \; (-1, 0, 0)$ Vektorprodukt ...
  7. Bogenlänge im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Bogenlänge im Raum
    ... $t$ umgestellt und dann eingesetzt wird. Anwendungsbeispiel Gegeben sei die Raumkurve: $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \sin (t) \\ \cos (t) \\ t \end{pmatrix} \; 0 \le t \le 2\pi$. Die Formel zum Wechsel zur Bogenlänge $s$ ist: $s =  \int\limits_0^t |\dot{\vec{r}}(t)| dt$ Ableitung bilden und Länge berechnen $\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ -\sin (t) \\ 1 \end{pmatrix}$ $|\dot{\alpha} (t)| = \sqrt{ \cos^2 (t) + \sin^2 (t) + 1^2} = \sqrt{2}$ Bogenlänge berechnen $s ...
  8. Krümmung und Torsion im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Krümmung und Torsion im Raum
    ... \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}|^2}$ Anwendungsbeispiel Gegeben sei die Raumkurve $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{pmatrix}$. Bestimme die Krümmung und Torsion im Punkt $t = 0$. Ableitungen bilden $\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow (0, 1, 1)$ $\ddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow (-1, 0, 0)$ $\dddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} \sin (t) ...
  9. Partielle Ableitung höherer Ordnung
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Partielle Ableitung > Partielle Ableitung höherer Ordnung
    Partielle Ableitung höherer Ordnung
    ... stetig sind, dh. keine Sprünge aufweisen.  Anwendungsbeispiele Gegeben sei die Funktion $w = f(x,y,z) = x^2 y + z^2 x$ 1. Möglichkeit Die Ableitung nach $x$ und dann nach $y$: $\frac{\partial}{\partial x} f_x (x,y,z) = 2xy + z^2$ $\frac{\partial}{\partial x} f_{x,y} (x,y,z) = 2x$ Die Ableitung nach $y$ und dann nach $x$: $\frac{\partial}{\partial x} f_y (x,y,z) = x^2$ $\frac{\partial}{\partial x} f_{y,x} (x,y,z) = 2x$ $\rightarrow \ f_{xy} (x,y,z) $ = $\ f_{yx} (x,y,z)$. 2. ...
  10. Totales Differential
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Totales Differential
    ... darstellen) ist das Differential der Funktion. Anwendungsbeispiel Gegeben sei die Funktion $z = f(x,y) = x^2 + y^2$ Das totale Differential ist: $\frac{\partial f}{\partial x} dx = 2x \ dx$ $\frac{\partial f}{\partial y} dy = 2y \ dy$ $\rightarrow \; dz = 2x \ dx + 2y \ dy$ Gegeben sei die Funktion $ w = f(x,y,z) = x^2 y z$ Das totale Differential ist: $\frac{\partial f}{\partial x} dx = 2xyz \ dx$ $\frac{\partial f}{\partial y} dy = x^2z \ dy$ $\frac{\partial f}{\partial z} ...
  11. Richtungsableitung
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Richtungsableitung
    ... \le 2\pi $ (Einheitskreis = Länge $1$). Anwendungsbeispiel Gegeben sei folgende Funktion $ f(x,y)=\left(\begin{array}{ll}\frac{x^3-xy^2}{x^2+y^2}, & (x,y)\not= (0,0) \\ 0, & (x,y)= (0,0)\end{array}\right) $.Wie sieht der Grenzwert zur Bestimmung von Richtungsableitungen im Punkt $(0,0)$ aus, wenn man ihn statt des Richtungsvektor nun mit dem Einheitsvektor bestimmt, und wie ist die Richtungsableitung? $f$ ist in $(0,0)$ stetig, da $ \lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = \lim\limits_{r ...
  12. Kettenregel
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Kettenregel
    ... bei Funktionen mit 3 oder n Veränderlichen. Anwendungsbeispiele Gegeben sei die Funktion $z = f(x,y)$ mit $x = \sin (t)$ und $y = \cos (t)$. Dann ist die Ableitung: $\frac{dz}{dt} =  \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}$ $\frac{\partial z}{\partial x}  = f(x)$ $\frac{dx}{dt} = \cos (t)$ $\frac{\partial z}{\partial y} = f(y)$ $\frac{dy}{dt} = -\sin (t)$ Insgesamt ergibt sich: $\frac{dz}{dt} = \frac{dz}{dt} = f(x) \cdot \cos ...
  13. Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Picard-Lindelöf > Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf
    ... $f$ in $G$ einer lokalen Lipschitzbedingung. Anwendungsbeispiele: Globale Lipschitzbedingung Gegeben sei die Funktion $f(x,y)=x^2 + y^2 $. Mit $x \in \mathbb{R}$. Zeige dass $f$ in $\mathbb{R}^2$ nicht global einer Lipschitzbedingung bezüglich $y$ genügt! Gesucht wird ein reelles $L$ mit $ | f(x, y_1) - f(x, y_2)| \le L \cdot |y_1 - y_2| $  für alle  $(x, y_1), \; (x, y_2) \; \in G \subset \mathbb{R}$ $ | (x^2 + y_1^2) - (x^2 + y_2^2)| \le L \cdot |y_1 - y_2| $ $ | x^2 + y_1^2 ...
  14. Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Picard-Lindelöf > Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren
    Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren
    ... (x) := y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y_n (t))dt $. Anwendungsbeispiel: Iterationsverfahren von Picard-Lindelöf Man Löse iterativ das Anfangswertproblem $\ y' = 2xy $ mit  $ y(0) := 1 $.   Aus der Anfangsbedingung $y(0) = 1$ kann abgelesen werden: $x_0 = 0$ und $y_0 = 1$ $\ y_0 (x) \equiv 1 $ $\ y_1 (x) = 1 + \int\limits_0^x 2t \cdot 1 \ dt = 1 + [t^2] = 1 + x^2 - 0 = 1 + x^2 $ $\ y_2 (x) = 1 + \int\limits_0^x 2t \cdot (1 + t^2) dt = 1 + \int\limits_0^x  2t + 2t^3 \ dt$ $= 1 + 2 \int\limits_0^x ...
  15. Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    ... $ g(y) \not= 0 $ in impliziter Form ergeben.  Anwendungsbeispiel: TDV Lösen Sie die Differentialgleichung $y' = -2x(y^2 - y) $ mit Hilfe der "Trennung der Veränderlichen"-Methode! 0. Zerlegung der Veränderlichen  Es handelt sich um eine Funktion der Form: $y' = f(x) \cdot g(y)$ mit  $ f(x) = -2x $ und $ g(y) = y^2-y $ 1. Bestimmung der Nullstellen von g(y): $ y^2 - y = y(y-1) = 0 \rightarrow y_1= 0, \ y_2 = 1 $ Diese konstanten Funktionen $ y_1 = 0 $ und $ y_2 = 1 $ sind [partikuläre] ...
  16. Bernoulli Differentialgleichung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Spezielle Differentialgleichungen > Bernoulli Differentialgleichung
    ... und substituiert $ u = y^{1-\alpha} $ zurück. Anwendungsbeispiel: Bernoulli Differentialgleichung Löse die folgende Differentialgleichung $y' + \frac{y}{x} - x^2 \sqrt[3]{y} = 0 $.  1. Man formt zuerst um und erhält mit $y' + \frac{1}{x}y = x^2 y^{\frac{1}{3}} $ mit $ \alpha = \frac{1}{3} $  eine Bernoulli Differentialgleichung. 2. Als nächstes multipliziert man die Gleichung mit $y^{-\frac{1}{3}}$ und erhält: $y^{-\frac{1}{3}} \cdot y' + \frac{1}{x} y^{\frac{2}{3}} = x^2$ 3. ...
  17. Ricatti Differentialgleichung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Spezielle Differentialgleichungen > Ricatti Differentialgleichung
    ... zu verstehen. Anwendungsbeispiel: Ricatti Differentialgleichung Löse folgende Differentialgleichung $ \ y' + \frac{2}{x}y + y^2 = \frac{2}{x^2}$ Davon ausgehend, dass mit $ y_1 = \frac{1}{x} $ durch Einsetzen eine spezielle Lösung gefunden wurde, kann die Riccati-Differentialgleichung transformiert werden. 1. Als Substitution erhält man $ u = \frac{1}{y-\frac{1}{x}} $ Daraus folgt: $\ y = \frac{1}{u} + \frac{1}{x} $ und $ y' = - \frac{u'}{u^2} - \frac{1}{x^2} ...
  18. Exakte Differentialgleichung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Exakte Differentialgleichung
    ... die von $y$ abhängig ist. Anwendungsbeispiel: Exakte Differentialgleichung Löse die Differentialgleichung: $2x + 5 + (2y + 5)y´= 0$ $p(x,y) = M = 2x + 5$ $q(x,y) = N = 2y + 5$ 1.) Auf Exaktheit überprüfen: $M_y = 0$ $N_x = 0$ Da, $M_y = N_x$ ist die Exaktheitsbedingung erfüllt, d.h. es existiert ein $\psi_x = M, \; \psi_y = N$. 2.) Integration $\psi (x,y) = \int \psi_x \; dx + I(y) = \int (2x + 5) dx + I(y)$ $\psi (x,y) = x^2 + 5x + I(y)$ 3.) Bestimmung ...
  19. Homogene Differentialgleichungen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Homogene Differentialgleichungen
    ... der Differentialgleichung sind.  Anwendungsbeispiele: Homogene Differentialgleichung Löse folgende homogene, lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit dem d' Alembertschen Reduktionsverfahren.$\ (1 + x^2)y'' - 2xy' + 2y = 0 $.  Durch hinsehen lässt sich erkennen, dass $ y_1 = x$  eine Lösung ist. Setzt man für $y = x$ und für $y' = 1$ (1. Ableitung von $x$) und für $y'' = 0$ (2. Ableitung von $x$) ein, so ergibt die gesamte Gleichnung null. Daraus folgt $\rightarrow ...
  20. Inhomogene Differentialgleichungen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Inhomogene Differentialgleichungen
    ... = \sum\limits^n_{k=1} c_k (x) y_k(x)$.  Anwendungsbeispiel: Inhomogene Differentialgleichung Bestimme die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung $ y_S $ für folgende lineare Differentialgleichung$ y'' - \frac{x}{x-1}y' + \frac{1}{x-1}y = x - 1, \; \; x \not= 1$. Lösungsgesamtheit homogene Differentialgleichung Die zugehörige homogene Differentialgleichung ist $ y'' - \frac{x}{x-1}y' + \frac{1}{x-1}y = 0 $. Sie besitzt die Lösungen $ y_1 = x $ und $ y_2 = e^x $. Lösungsgesamtheit ...
  21. Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
    ... 3i $ $ e^x, e^{2x}cos3x, e^{2x}sin3x $ Anwendungsbeispiel: Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten Löse die folgenden homogene Differentialgleichung 3. Ordnung mit konstanten Koeffizienten$\ y''' - 2y'' - 5y' + 6y = 0 $ Zuerst gilt es die homogene Differentialgleichung als charakteristische Gleichung darzustellen $\color{grey}{y''' - 2y'' - 5y' + 6y = 0} \rightarrow \lambda^3 - 2\lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0 $. Anschließend bestimmt man die Lösungen der charakteristischen ...
Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen
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Analysis und Lineare Algebra

  1. Ungleichungen
    Grundlagen: Mengenlehre und Reelle Zahlen > Reelle Zahlen > Ungleichungen
    ... \le y \cdot z$ Im folgenden Abschnitt werden Anwendungsbeispiele zur Lösung von einfachen Ungleichungen, Bruchungleichungen und Betragsungleichungen aufgezeigt.
  2. Beispiele: Betragsungleichungen, Bruchungleichungen
    Grundlagen: Mengenlehre und Reelle Zahlen > Reelle Zahlen > Ungleichungen > Beispiele: Betragsungleichungen, Bruchungleichungen
    ... Größe, kehrt sich das Ungleichzeichen um. Anwendungsbeispiele: Einfach Ungleichungen Gegeben sei die folgende Ungleichung: $- \frac{1}{3}x - \frac{1}{2}x \le - \frac{4}{3}$ Bestimmen Sie alle reellen Lösungen dieser Ungleichung! Die Ungleichung wird unter Berücksichtigung des Ungleichheitszeichens nach $x$ umgestellt: $- \frac{5}{6}x \le - \frac{4}{3}$ Nun ist es so, dass nach $x$ aufgelöst wird. Da bei der Auflösung nach $x$ die gesamte Gleichung mit $-\frac{6}{5}$ multipliziert ...
  3. Fakultät und Binomialkoeffizienten
    Grundlagen: Mengenlehre und Reelle Zahlen > Reelle Zahlen > Fakultät und Binomialkoeffizienten
    Fakultät und Binomialkoeffizienten
    ... $n$ Elementen genau $k$ auszuwählen. Anwendungsbeispiel: Binominalkoeffizient Beim Lotto >>6 aus 49<< werden aus den 49 Zahlen 6 Zahlen gezogen. Es gibt ${49 \choose 6} = \frac{49!}{6!(49-6)!} = \frac{49!}{6!43!}$ $=\frac{\not1*\not2*\not3*...*\not43*44*45*46*47*48*49}{(1*2*3*...*5*6)(\not1*\not2*\not3*...*\not43)} = \frac{44*45*46*47*48*49}{1*2*3*...*5*6} = 13.983.816$ verschiedene Möglichkeiten 6 "Richtige" zu ziehen. In diesem Beispiel kann man den Wert auch ...
  4. Anwendungsbeispiele: Mengenlehre und reelle Zahlen
    Grundlagen: Mengenlehre und Reelle Zahlen > Anwendungsbeispiele: Mengenlehre und reelle Zahlen
    In diesem Abschnitt folgen einige Anwendungsbeispiele zu den vorherigen Abschnitten. Intervalle Gegeben seinen die folgenen Intervalle der reellen Zahlen: a) Offenes Intervall von $3$ bis $\frac{14}{3}$. b) Rechts halboffenes Intervall von $x_1$ bis $x_2$. c) Links halboffenes Intervall von $\frac{5}{8}$ bis $z$. d) Geschlossenes Intervall von $-15$ bis $0$ . e) Das Intervall aller Zahlen größer oder gleich $3$. e) Das Intervall aller Zahlen kleiner als $2$. Geben Sie diese als Klammerausdruck ...
  5. Addition von Vektoren
    Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Addition von Vektoren
    Addition von Vektoren
    ... = (12, 8)$ $\vec{b} + \vec{a} = (12,8)$ Anwendungsbeispiel: Assoziativgesetz Gegeben seien die Vektoren $\vec{a} = (4, 6)$, $\vec{b} = (8,2)$ und $\vec{c} = (1,3)$. Bitte zeigen Sie, dass das Assoziativgesetz gilt! Assoziativgesetz:   (1)    $(\vec{a} + \vec{b}) = (12,8)$  $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}  = (13,11)$ (2)   $(\vec{b} + \vec{c}) = (9,5)$ $(\vec{b} + \vec{c}) + \vec{a} = (13,11)$
  6. Einheitsvektor, Länge von Vektoren
    Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Einheitsvektor, Länge von Vektoren
    Einheitsvektor, Länge von Vektoren
    ... und $\vec{b}$ Das Video wird geladen ... Anwendungsbeispiel: Länge von Vektoren / Einheitsvektor Berechnen Sie die Länge des Vektors zwischen den Punkten $A(6,3)$ und $B(1,5)$. Es soll nun die Länge des Vektors $\vec{AB}$ berechnet werden. Dieser Vektor geht vom Punkt $A$ zum Punkt $B$, der Pfeil zeigt also auf den Punkt $B$. Die beiden Punkte können mittels der Ortsvektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ dargestellt werden. Diese zeigen vom Koordinatenursprung auf die jeweiligen Punkte: Es ...
  7. Skalarprodukt und Winkel
    Vektorrechnung > Das Skalarprodukt > Skalarprodukt und Winkel
    Skalarprodukt und Winkel
    ... man $\vec{a} \cdot \vec{b}$. Projektion Anwendungsbeispiel: Skalarprodukt Es seien folgende Vektoren gegeben: $\vec{a} = (4,0)$ und $\vec{b} = (4,4)$. Berechnen Sie $\vec{a} \cdot \vec{b}$. Es werden zunächst die beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ eingezeichnet. Der Winkel zwischen den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ beträgt $45°$: Es wird als nächstes das Skalarprodukt berechnet durch: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\varphi) = \sqrt{4^2 ...
  8. Zerlegung von Vektoren
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Vektorrechnung > Das Skalarprodukt > Zerlegung von Vektoren
    Zerlegung von Vektoren
    ... Fall liegt $s$ zwischen $0 < s < 1$. Anwendungsbeispiel: Zerlegung von Vektoren Gegeben seien die folgenden Vektoren: $\vec{a} = (0,4)$ und $\vec{b} = (3,3)$. Lösung der orthogonale Zerlegung:  $\vec{a} = s \cdot \vec{b} + \vec{x}$  $\left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \end{array}\right) = s \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array}\right)+ \vec{x}$ Die obige Umformung ergab: $\vec{x} =  \vec{a} - \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{\vec{b} \cdot \vec{b}} \cdot \vec{b}$ Es ...
  9. Das Vektorprodukt
    Vektorrechnung > Das Vektorprodukt
    Das Vektorprodukt
    ... \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{array}\right)$ Anwendungsbeispiel: Vektorprodukt Bilde das Vektorprodukt aus den Vektoren  $\vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right)$ und  $\vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right)$.  Berechne außerdem die Fläche und den Winkel des von $\vec{a}$  und  $\vec{b}$  aufgespannten Parallelogramms. Lösung: Berechnung des Vektorprodukts $\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right) ...
  10. pq-Formel
    Komplexe Zahlen > Nullstellen von Polynomen > pq-Formel
    ... = \frac{-b\; \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ Anwendungsbeispiel: p/q-Formel Gegeben sei folgende quadratische Gleichung $ 4x^2 + 16x + 8$. Bestimmen Sie die Nullstellen. Zuerst ist die Gleichung in die allgemeine Form zu überführen.  $4x^2 + 16x + 8 = 0 | :4 $ $x^2 + 4x + 2 = 0 $ In dieser Form ist $p= 4$ und $q= 2$. Mit diesen Werten lässt sich die pq-Formel lösen und die Nullstellen bestimmen. Die Rechnung muss zwei mal durchgeführt werden, wegen $\pm$. Also: $x_1 = - \frac {4}{2} ...
  11. Mittelwertsätze
    Differentialrechnung > Mittelwertsätze
    Mittelwertsätze
    ... + 2$ $y = 4x – 4 + 2$ $y = 4x - 2$ Anwendungsbeispiel zu Mittelwertsätze Gegeben sei die Funktion:  $f(x) = -x^2 + 12$.  Berechne die Sekante, welche durch die Punkte $S_1(-1, 11)$ und $S_2(3, 3)$ geht. Berechne außerdem die Tangente, welche die gleiche Steigung wie die Sekante hat und den Schnittpunkt der Tangente mit  $f(x)$. Sekantengleichung $s(x) = mx + b$ $m$ bestimmen: $m = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{3 - 11}{3 + 1} = -2$ $s(x) = -2x + b$ $b$ bestimmen mit ...
  12. Nachweis Konkavität und Konvexität durch Differentation
    Differentialrechnung > Konkave und konvexe Funktionen > Nachweis Konkavität und Konvexität durch Differentation
    ... die Konkavität bzw. Konvexität bestimmen. Anwendungsbeispiele: Nachweis über Konkavität bzw. Konvexität $F(x) = 10x - 4x^2$ $F'(x) = 10 - 8x$ $F''(x) = -8$ $\rightarrow$ streng konkav! $F(x) = 8x^3 - 2x^4$ $F'(x) = 24x^2 - 8x^3$ $F''(x) = 48x - 24x^2$ $x$ ausklammern: $F''(x) = x(48 - 24x)$ Die 2. Ableitung ist noch abhängig von $x$. Es werden die Nullstellen der 2. Ableitung bestimmt: $F''(x) = x(48 - 24x) = 0$ $x_1 = 0$ $48 - 24 x = 0$ $x_2 = 2$ Es gelten also ...
  13. Beispiel 1: Diagonalisierbarkeit
    Lineare Algebra > Eigenwerte und Eigenvektoren > Diagonalisierbarkeit > Beispiel 1: Diagonalisierbarkeit
    ... \times n$-Matrix $n$ Nullstellen resultieren. Anwendungsbeispiel 1: Diagonalisierbarkeit  $A = \begin{pmatrix} 2 & - \sqrt{5} & 0 \\ \sqrt{2} & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ Ist die obige Matrix diagonalisierbar? 1. Schritt: Berechnung des charakteristischen Polynoms $\chi_A(\lambda) = det(A-\lambda E) $ mit $\chi_A(\lambda)$ charakteristisches Polynom $\lambda E = \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & ...
  14. Beispiel 2: Diagonalisierbarkeit
    Lineare Algebra > Eigenwerte und Eigenvektoren > Diagonalisierbarkeit > Beispiel 2: Diagonalisierbarkeit
    ... der geometrischen Vielfachheit übereinstimmt. Anwendungsbeispiel 2: Diagonalisierbarkeit $A = \begin{pmatrix} 9 & 0 & -6 \\ 18 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$ Ist die obige Matrix diagonalisierbar? 1. Schritt: Berechnung des charakteristischen Polynoms Berechnung des charakteristischen Polynoms mittels Regel von Sarrus: $\chi_n(\lambda) = det(A-\lambda E) = \begin{vmatrix} 9-\lambda & 0 & -6 \\ 18 & 6-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 6-\lambda ...
Analysis und Lineare Algebra
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Produktion

  1. Gutenberg-Produktionsfunktion
    Einführung in die Produktions- und Kostentheorie > Produktionsfunktionen > Produktionsfunktionstypen > Gutenberg-Produktionsfunktion
    Gutenberg-Produktionsfunktion
    ... gesamtes Produktionsverfahren zu beschreiben. Anwendungsbeispiel: Gutenberg Verbrauchsfunktion In einem Unternehmen wird ein Produkt auf einer Maschine hergestellt. Die Maschine läuft maximal 8 Stunden am Tag. Die Produktionsgeschwindigkeit $d$ [Stück/Minute] kann zwischen 0 und 12 variieren. Der Verbrauch (V) der Maschine an Energie (E) und Schmiermittel (S) ändert sich mit der Produktionsgeschwindigkeit gemäß folgender Verbrauchsfunktionen: $V_E(d) = 2d^2 - 16d + 40$ $V_S(d) = 5d^2 ...
  2. Gewinnschwelle / Break-Even
    Einführung in die Produktions- und Kostentheorie > Kostenfunktionen > Begriffe der Kostenrechnung > Gewinnschwelle / Break-Even
    Gewinnschwelle / Break-Even
    ... gerade noch die Gesamtkosten gedeckt sind. Anwendungsbeispiel: Break-Even-Analyse Ein Unternehmen produziert Fußbälle, die Fixkosten betragen 50.000 €, die variablen Kosten pro Stück betragen 2 €. Das Unternehmen kann einen Preis pro Fußball in Höhe von 6 € am Absatzmarkt erzielen. Berechne den Break-Even-Point! Der Break-Even-Point ist wie oben erwähnt dort zu finden, wo Erlöse und Kosten gleich sind. Der Break-Even berechnet sich wie folgt: $E(x) = 6 x$  $K(x) = 2x ...
  3. Minimalkostenkombination
    Einführung in die Produktions- und Kostentheorie > Minimalkostenkombination
    Minimalkostenkombination
    ... x}{dr_2}} = \frac{q_1}{q_2}$ Anwendungsbeispiel: Minimalkostenkombination Gegeben sei die substitutionale Produktionsfunktion $x = \frac{1}{4} \sqrt{r_1} r_2$ mit den Faktorpreisen $q_1 = 20$ und $q_2 = 16$. Wie sieht die Faktorkombination aus, für die die Kosten minimal sind? Ableiten der Produktionsfunktion nach $r_1$ und nach $r_2$: $\frac{\partial x}{dr_1} = \frac{1}{4} 0,5 r_1^{-0,5}  r_2 $ $\frac{\partial x}{dr_2} = \frac{1}{4} r_1^{0,5}$ Mit den Faktorpreisen ...
  4. Einperiodige Produktionsprogrammplanung (mehrere Engpässe)
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    Einperiodige Produktionsprogrammplanung (mehrere Engpässe)
    ... des optimalen Produktionsprogramms.  Anwendungsbeispiel: Grafische Ermittlung des optimalen Produktionsprogramms Ein Osnabrücker Traditionsunternehmen produziert  zwei Sorten von Torten. Eine einfache Variante  $ x_1 $ und eine Premiumvariante $ x_2 $ . Beide Torten durchlaufen eine Maschine, welche eine maximale Kapazität von 3.750 ZE besitzt.  Die Einfachvariante durchläuft die Maschine in 0,5 ZE, die Permiumvariante in 1,25 ZE.  Die Kosten der Permiumvariante belaufen sich ...
  5. Methode des gleitenden Durchschnitts
    Aggregierte Produktionsplanung > Einstufige Produktionsprogrammplanung > Einstufige mehrperiodige Produktionsprogrammplanung > Prognosen zur Nachfrageentwicklung > Methode des gleitenden Durchschnitts
    ... daher der Mittelwert gleitend verändert.  Anwendungsbeispiel: Methode des gleitenden Durchschnitts Ein Spezialmaschinen-Unternehmen hat in den vergangenen sechs Jahren [siehe Tabelle] jeweils die folgende Anzahl von Maschinen auf dem Markt abgesetzt. Zum Ende des Jahres 2012 soll eine Prognose bezüglich des Jahres 2013 erstellt werden. Bestimme mit Hilfe der Methode des gleitenden Durchschnitts welcher Absatz für das Jahr 2013 zu erwarten ist?  Produktionsjahr(Periode) 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 Anzahl ...
  6. Exponentielle Glättung erster Ordnung
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    Aggregierte Produktionsplanung > Einstufige Produktionsprogrammplanung > Einstufige mehrperiodige Produktionsprogrammplanung > Prognosen zur Nachfrageentwicklung > Exponentielle Glättung erster Ordnung
    ... zu Beginn immer ein Startwert $ x_0 $ steht.  Anwendungsbeispiel: Exponentielle Glättung erster Ordnung Den Analysten eines Autoherstellers liegt folgende Tabelle [unten] vor. Fünf Perioden lang hat man die realen Absatzwerte eingetragen. Bestimme mit Hilfe der exponentiellen Glättung erster Ordnung für die Perioden 2 - 6 die Prognosewerte und ermittle zudem den Prognosefehler für die Perioden 2-5Der Glättungfaktor $\alpha $ sei $ 0,3 $. Alle errechneten Werte sind anschließend in die ...
  7. Verbrauchswertanalyse (ABC-Analyse)
    Materialbedarfsplanung > Verbrauchsanalysen > Verbrauchswertanalyse (ABC-Analyse)
    ... soll die ABC-Analyse erläutert werden. Anwendungsbeispiel: ABC-Analyse In der nachfolgenden Tabelle sind die Produkte angegeben, die innerhalb eines Unternehmens verbraucht werden. Zusätzlich dazu erhält die Tabelle den Jahresbedarf der Produkte sowie den Preis pro Menge.  Produkt    Bedarf pro Periode (Jahr)    Preis pro Menge (€) Schrauben 47.785 2,50 Kohle 2.800 60,00 Maschinenersatzteile 1.200 150,00 Verpackungsmaterial 73.550 0,90 Welche ...
  8. Verbrauchsverlaufanalyse (RSU-Analyse)
    Materialbedarfsplanung > Verbrauchsanalysen > Verbrauchsverlaufanalyse (RSU-Analyse)
    ... die RSU-Analyse veranschaulicht werden. Anwendungsbeispiel: RSU-Analyse Das Unternehmen aus dem vorherigen Abschnitt (ABC-Analyse) ist mit seiner Materialwirtschaft unzufrieden. Das Unternehmen möchte die folgende Verbrauchspositionen bezüglich ihres Bedarfsverhaltens untersuchen:   Verbrauch Monat    Schrauben    Kohle      Maschinenersatzteile    Verpackungsmaterial Jan 4.000 700 0 6.000 Feb 3.800 650 300 5.500 März 3.950 300 100 5.800 April 4.100 150 0 6.500 Mai 4.200 50 0 7.000 Juni 3.900 0 0 5.900 Juli 4.150 0 500 6.800 Aug 3.850 0 0 5.850 Sep 3.795 50 50 5.700 Okt 3.980 150 0 5.950 Nov 4.050 300 0 6.300 Dez 4.010 450 250 6.250 Summe 47.785 2.800 1.200 73.550 Als ...
  9. Plangesteuerte Materialbedarfsplanung
    Materialbedarfsplanung > Plangesteuerte Materialbedarfsplanung
    Plangesteuerte Materialbedarfsplanung
    ... Aufträgen abgeglichen und angepasst werden.  Anwendungsbeispiel: Plangesteuerte Materialbedarfsplanung Das folgende stark vereinfachte Beispiel soll einen Überblick über die plangesteuerte Disposition ermöglichen. Gegeben sei folgende Mengenstückliste zur Herstellung eines hochwertigen Tisches aus Teakholz. Teile Menge 1 Schrauben 20 2 Tischbeine    4 3  Tischplatte    1 4 Leim    1 5 Holzdübel    8 Auf Lager befinden sich ...
  10. Silver-Meal-Verfahren
    Materialbedarfsplanung > Losgrößenmodelle ohne Kapazitätsbeschränkungen > Dynamisches Losgrößenmodell > Silver-Meal-Verfahren
    ... gelagert wird) $r_{t}$   Bedarf der Periode Anwendungsbeispiel: Silver-Meal-Verfahren Im Folgenden wird das Silver-Meal-Verfahren anhand des Beispiels aus dem vorherigen Abschnitt dargestellt. Einem Metallverarbeitungsunternehmen liegt ein fünfperiodiger Bedarf [Periode = Woche] an Kupferrohlingen vor. In der ersten Periode ist das Lager leer, und somit der Bestand $ z_0 = 0 $. Der wöchentliche Lagerungskostensatz beträgt $ h= 0,4 \ [\text{EUR/Woche} \cdot \text{ME}] $ und die rüstfixen ...
  11. Verfahren nach Groff
    Materialbedarfsplanung > Losgrößenmodelle ohne Kapazitätsbeschränkungen > Dynamisches Losgrößenmodell > Verfahren nach Groff
    ...   Rüstkosten $h$   Lagerhaltungskostensatz Anwendungsbeispiel: Verfahren nach Groff Im Folgenden wird das Verfahren nach Groff anhand des Beispiels dargestellt: Einem Metallverarbeitungsunternehmen liegt ein fünfperiodiger Bedarf [Periode = Woche] an Kupferrohlingen vor. In der ersten Periode ist das Lager leer, und somit der Bestand $ z_0 = 80 $. Der wöchentliche Lagerhaltungskostensatz beträgt $ h= 0,4 \ [\text{EUR/Los}]$ und die rüstfixen Kosten $ K = 60\  \text{EUR/Woche} $. Welche ...
  12. Durchlaufterminierung
    Termin- und Kapazitätsplanung > Durchlaufterminierung
    Durchlaufterminierung
    ... soll anhand eines Beispiel dargestellt werden. Anwendungsbeispiel: Vorwärtsterminierung Netzplan In der obigen Grafik sind für den Kundenauftrag $E$ die Produktionsaufträge für die untergeordneten Baugruppen $B_j$ und $C_j$ sowie für die Einzelteile $A_j$ gegeben. Die Bearbeitungszeiten (einschließlich Rüstzeiten) sind rot markiert.  Führe eine Vorwärtsrechnung durch! Als erstes beginnt man mit der Ermittlung der frühesten Anfangszeitpunkte (FAZ). Dies geschieht, indem man ...
Produktion
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Thermodynamik

  1. Spezialfälle des allgemeinen Gasgesetzes
    Grundlagen der Thermodynamik > Thermische Zustandsgleichungen > Spezialfälle des allgemeinen Gasgesetzes
    Spezialfälle des allgemeinen Gasgesetzes
    ... gilt: $\frac{p_1}{p_2} = \frac{T_1}{T_2}$ Anwendungsbeispiel: Goethe Barometer Gegeben sei obiges Goethe-Barometer. Dieses wurde bei einem mittleren Atmosphärendruck von $p_{amb} = 101.325 Pa$ mit Wasser ($\rho = 998,2 kg/m^3$) gefüllt, wobei die Wasserhöhe im Behälter und in dem Schnabel gleich hoch sind. Ist dies der Fall, so sind Innendruck (im Behälter) und Außendruck gleich hoch. Ändert sich nun der Atmosphärendruck (Außendruck) so ändert sich die Wasserhöhe im Behälter. ...
  2. Dissipationsarbeit
    1. Hauptsatz der Thermodynamik > 1. Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene Systeme > Innere Energie, Wärme und Arbeit > Arbeit am geschlossenen System > Dissipationsarbeit
    Dissipationsarbeit
    ... demnach reversibel (Verdichter, Turbinen). Anwendungsbeispiel: Volumenänderungsarbeit und Wellenarbeit Beispiel: Zylinder In einem adiabaten Zylinder dessen Volumen $V = 300 l$ beträgt, ist ein Gas enthalten dessen Druck durch den konstant belasteten Kolben auf $p = 120 kPa$ gehalten wird. Mittels Wellenarbeit wird dem Gas $W_{diss} = 0,1 kWh$ zugeführt. Die Temperatur erhöht sich aufgrund der zugeführten Wellenarbeit von $t_1 = 20 °C$ auf $t_2 = 250 °C$. Das Gas soll näherungsweise ...
Thermodynamik
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Operations Research 1

  1. Dijkstra-Algorithmus
    Graphentheorie > Kürzeste Wege > Dijkstra-Algorithmus
    Dijkstra-Algorithmus
    ... anhand eines Beispiels demonstriert werden. Anwendungsbeispiel: Dijkstra-Algorithmus Gegeben sei der obige Diagraph. Für diesen soll nach dem Dijkstra-Algorithmus der kürzeste Weg von einem Startknoten zu allen anderen Knoten bestimmt werden. Begonnen wird mit der Initialisierung: Als Startknoten wird der Knoten 1 gewählt: $M = \{1 \}$, $D(1) = 0$, $D(i) = \infty$ für die Knoten $i = 2,3,4,5,6$ und $V(i) = -$ für alle Knoten $i = 1,2,3,4,5,6$. Das Ganze wird in eine Tabelle ...
Operations Research 1
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