Technische Mechanik 1: Statik

  1. Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Bestimmung der Resultierenden > Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie
    Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie
    ... Wirkungslinie wie die beiden Kräfte. Anwendungsbeispiel: Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie Gegeben sei der obige Balken mit den zwei Kräften $F_1 = 37 N$ und $F_2 = 15 N$. Wie groß ist die Resultierende? In welche Richtung zeigt die Resultierende? Es wird zunächst die Vorzeichenkonvention so festgelegt, dass Kräfte die nach oben wirken positiv eingehen und Kräfte die nach unten wirken negativ: $\uparrow: R = F_2 - F_1 = 15N - 37 N = -22N$ Da die Resultierende negativ ist, ...
  2. Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Bestimmung der Resultierenden > Kräfte mit unterschiedlicher Wirkungslinie > Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
    Zwei Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt
    ... veranschaulicht: Das Video wird geladen ... Anwendungsbeispiel: Kräfte im nichtrechtwinkligen Dreieck Gegeben seien folgende Kräfte mit einem gemeinsamen Angriffspunkt und dem eingeschlossenen Winkel $\gamma$. Beispiel: Kräfte im nichtrechtwinkligen Dreieck Der Betrag der Resultierenden und ihre Wirkrichtung soll berechnet werden. Um den Betrag zu ermitteln wird der Kosinussatz angewandt: 1. Möglichkeit $R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2 \cdot F_1 \cdot F_2 \cdot \cos (\gamma)}$ $R ...
  3. Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Bestimmung der Resultierenden > Kräfte mit unterschiedlicher Wirkungslinie > Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
    Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
    ... Download: Resultierende bestimmen Anwendungsbeispiel: Komponentendarstellung Gegeben sei die folgende Darstellung der Kräfte $F_1$, $F_2$ und $F_3$ mit gleichem Angriffspunkt, sowie deren Winkel gemessen zur $x$-Achse: Beispiel  Berechne den Betrag der Resultierenden und ihre Richtung! In der obigen Grafik sind die Kräfte und ihre Winkel gemessen zur $x$-Achse angegeben. Diese Kräfte müssen zunächst jeweils in Komponenten zerlegt werden, welche in $x$- und $y$-Richtung ...
  4. Kräftegleichgewicht bei mehr als zwei Kräften
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Kräftegleichgewicht in der Ebene > Kräftegleichgewicht bei mehr als zwei Kräften
    Kräftegleichgewicht bei mehr als zwei Kräften
    ... Kräfte aus den Gleichgewichtsbedingungen Anwendungsbeispiel: Kräftegleichgewicht Man hängt ein Bild mit Hilfe eines Faden an einem in die Wand eingeschlagenen Nagel auf. Siehe hierzu die nachfolgende Abbildung:  Beispiel: Kräftegleichgewicht In diesem Beispiel treten drei Kräfte auf. Die Gewichtskraft $ F_G $ wirkt senkrecht nach unten und durch die Aufhängung entstehen 2 Seilkräfte $ F_1 $ und $ F_2 $, welche im jeweils gleichen Winkelmaß nach oben wirken. Erstellt man ...
  5. Kräftegleichgewicht im Raum
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Kräftegleichgewicht im Raum
    Kräftegleichgewicht im Raum
    ... = 0, \sum F_{iy} = 0, \sum F_{iz} = 0$.  Anwendungsbeispiel: Kräftegleichgewicht im Raum Beispiel: Kräftegleichgewicht im Raum Die obige Grafik zeigt das Gelenk $C$, welches sich im Gleichgewicht befindet. Auf das Gelenk wirken die Stabkräfte 1 und 2, die Seilkraft 3 und die Gewichtskraft G. Die Stab- und Seilkräfte wirken als Zugkräfte. All diese Kräfte bewirken, dass das Gelenk im Gleichgewicht bleibt. Die Gewichtskraft sei gegeben mit 10 Newton. Ebenfalls gegeben sind die ...
  6. Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    ... von statischen Problemen sein wird.    Anwendungsbeispiel: Kräfte mit parallelen Wirkungslinien Gegeben sei die obige Grafik, in welcher zwei Kräfte $F_1 = 10 N$ und $F_2 = 5 N$ auf parallelen Wirkungslinien im Abstand von $h = 8 m$ auf den Balken wirken. Wie groß ist die Resultierende der beiden Kräfte und wo genau liegt sie? Um nun die Resultierende der beiden Kräfte zu bestimmen, werden die Gleichgewichtskräfte $ F_h $ und $ - F_h $ hinzugefügt. Diese sind auf einer gemeinsamen ...
  7. Resultierende ebener Kräftegruppen
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Resultierende ebener Kräftegruppen
    Resultierende ebener Kräftegruppen
    ... Download2: Resultierende bestimmen Anwendungsbeispiel: Resultierende ebener Kräftegruppen Beispiel: Resultierende ebener Kräftegruppen Gegeben sei ein gleichseitiges Sechseck, welches durch vier Kräfte $F_1$ und $F_2$ belastet wird. Die Kräfte $F_1$ haben den Betrag von 10 N, die Kräfte $F_2$ den Betrag von 20 N. Für den Ursprung des Koordinatensystems soll der Bezugspunkt $A$ (genau die Mitte des Sechsecks) gewählt werden. Wie groß ist die Resultierende und wo befindet ...
  8. Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    ... = 0$    Gleichgewichtsbedingung Anwendungsbeispiel 1: Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftegruppen Beispiel: Gleichgewicht ebener Kräftegruppen An welcher Stelle muss das Lager angebracht werden, damit sich der gewichtslose Balken im Gleichgewicht befindet? Wie groß ist die Lagerkraft? Die beiden Kräfte $F_1$ und $F_2$ sind vertikal gerichtet, weshalb auch die Lagerkraft $F_L$ vertikal gerichtet sein muss. Es wird der Bezugspunkt $X$ gewählt und der Abstand von ...
  9. Räumliche Zusammensetzung von Kräften
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Räumliches Kräftesystem > Räumliche Zusammensetzung von Kräften
    Räumliche Zusammensetzung von Kräften
    ... = 0$ $M^{(X)}_{R_z} = \sum M^{(X)}_{iz} = 0$. Anwendungsbeispiel: Kräfte im Raum Kräfte im Raum Gegeben sei der obige Quader auf den die 6 Kräfte $F_1$ bis $F_6$ wirken. Die Seitenlängen sind gegeben mit $a = 5m$, $b = 5m$ und $c = 10m$. Die Beträge der Kräfte sind der Grafik zu entnehmen. Berechne die Resultierende sowie das Moment für den Bezugspunkt $X$. Die Resultierende wird aus den drei Teilresultierenden $R_x$, $R_y$ und $R_z$ berechnet. Dazu benötigt man das Einzeichnen ...
  10. Einzelne parallele Kräfte
    Schwerpunkte > Einzelne parallele Kräfte
    Einzelne parallele Kräfte
    ... Download: Aufgabe zur Haltekraft Anwendungsbeispiel: Haltekraft bei parallelen Einzelkräften Haltekraft In der obigen Grafik sind die Kräfte $F_1 = 10 kN$, $F_2 = 20 kN$, $F_3 = 15 kN$ und $F_4 = 18 kN$ abgebildet, die alle parallel zueinander sind und auf den gewichtslosen Balken wirken. Es stellt sich die Frage, wie groß die Haltekraft $H$ sein muss, damit der Balken im Gleichgewicht ist. Es wird insbesondere der Punkt gesucht, in dem die Haltekraft angreifen muss. Der ...
  11. Lagerreaktionsberechnung ebener Tragwerke
    Lagerreaktionen > Lagerreaktionsberechnung ebener Tragwerke
    Lagerreaktionsberechnung ebener Tragwerke
    ... folgt nun ein exemplarisches Beispiel. Anwendungsbeispiel: Bestimmung von Lagerreaktionen In der unteren Abbildung ist ein Balken dargestellt, der auf einem Festlager $A$ und einem Loslager $ B$ gelagert ist. Zudem wirkt auf ihn die Kraft $ F = 20 kN $ im Winkel $\alpha = 50 ° $. Es gilt nun die unbekannten Lagerreaktionen zu bestimmen.  Beispiel: Bestimmung der Lagerreaktionen Zur Berechnung der Lagerreaktionen benötigt man die drei Gleichgewichtsbedingungen $R_x = 0$, $R_y ...
  12. Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    Lagerreaktionen > Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    Statische Bestimmtheit räumlicher Tragwerke
    ... der Momentengleichungen in dieses Lager.  Anwendungsbeispiel: Bestimmung der Lagerreaktionen bei räumlichen Tragwerken In der obigen Grafik ist eine Winde zu sehen. Mittels der Kraft $F$ wird die Kurbel gedreht und damit dreht sich das Rad, wodurch sich das Gewicht nach oben ziehen lässt. Das Lager $A$ sei ein Loslager, welches Verschiebungen senkrecht zur Kurbel verhindert, das Lager $B$ ein Festlager, welches in Verschiebungen in alle drei Raumrichtungen verhindert. Die Kurbel greift ...
  13. Anwendungsbeispiel Dreigelenkbogen
    Lagerreaktionen > Statische Bestimmheit mehrteiliger Tragwerke > Anwendungsbeispiel Dreigelenkbogen
    Anwendungsbeispiel Dreigelenkbogen
    ... miteinander verbunden sind (drei Gelenke). Anwendungsbeispiel: Dreigelenkbogen Beispiel Dreigelenkbogen Gegeben sei der obige Dreigelenkbogen mit den Lagern $A$ und $B$, dem Gelenk $G$ und den Kräften $F_1$ und $F_2$. Wie groß sind die Lagerkräfte und wie groß die Gelenkkräfte? Prüfe bitte auf statische Bestimmtheit! Statische Bestimmtheit Der obige Dreigelenkbogen hat $r = 2 + 2$ Lagerreaktionen, $v = 2$ Kräfte, die das Gelenk übertragen kann und $n = 2$ Teilkörper (durch ...
  14. Anwendungsbeispiel Gelenkbalken
    Lagerreaktionen > Statische Bestimmheit mehrteiliger Tragwerke > Anwendungsbeispiel Gelenkbalken
    Anwendungsbeispiel Gelenkbalken
    ... wie das gemacht wird, folgt ein Beispiel. Anwendungsbeispiel: Gelenkbalken Gegeben sei der obige Balken mit den drei Lagerkräften (A, B, C) und den zwei Kräften $F_1 = 20 N$ und $F_2 = 15 N$. Es sollen die Lagerkräfte bestimmt werden. Statische Bestimmtheit Zunächst wird der Balken auf statische Bestimmtheit überprüft: $ f = 3 - r = 0$ $r$ ist hierbei die Anzahl der Lagerreaktionen. A ist ein Festlager, welches zwei Kräfte übertragen kann. B und C sind Loslager, die jeweils ...
  15. Statische Bestimmtheit von Fachwerken
    Fachwerke > Statische Bestimmtheit von Fachwerken
    Statische Bestimmtheit von Fachwerken
    ... es sich um ein einfaches Fachwerk handelt.  Anwendungsbeispiel: Statische Bestimmtheit von Fachwerken Fachwerk Das obige Fachwerk besteht aus sieben Stäben (1 bis 7), die in fünf Knoten ($K_1$ bis $K_5$) miteinander verbunden sind. Außerdem besitzt das Fachwerk ein Loslager (rechts), welches nur vertikale Kräfte übertragen kann (= 1 Lagerreaktion) und ein Festlager (links), welches vertikale und horizontale Kräfte überträgt ( = 2 Lagerreaktionen).  Es stellt sich nun die ...
  16. Beispiel: Knotenpunktverfahren
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Knotenpunktverfahren > Beispiel: Knotenpunktverfahren
    Beispiel: Knotenpunktverfahren
    ... anhand eines Beispiels erfolgen. Anwendungsbeispiel: Knotenpunktverfahren Gegeben sei das obige Fachwerk mit den zwei Kräften $F_1$ und $F_2$, sowie dem Festlager (links) und dem Loslager (rechts).  Bestimme bitte alle Stäbe nach dem Knotenpunktverfahren! In den folgenden Abschnitten wird das Beispiel Schritt für Schritt und unter Zuhilfenahme von Grafiken gelöst.
  17. Beispiel 2: Ritterschnittverfahren
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Rittersches Schnittverfahren > Beispiel 2: Ritterschnittverfahren
    Beispiel 2: Ritterschnittverfahren
    ... einzelnen Stäben innerhalb eines Fachwerks. Anwendungsbeispiel: Ritterschnittverfahren für einzelne Stäbe Gegeben sei das obige Fachwerk, welches durch die zwei Kräfte $F_1 = 10 N$ und $F_2 = 15 N$ belastet wird. Wie groß ist die Stabkraft $S_3$? Bevor der Schnitt durchgeführt wird, müssen zunächst die Lagerreaktionen berechnet werden. $A$ ist ein Festlager mit zwei Kräften und $B$ ein Loslager mit einer Kraft: $\curvearrowleft{A} : B \cdot 25 m - F_1 \cdot 5 m - F_2 \cdot ...
  18. Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
    Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
    ... Beispiels und anhand von Videos demonstriert. Anwendungsbeispiel: Bestimmung der Querkraftlinie und Momentenlinie eines belasteten Balkens Gegeben sei ein Balken, welcher durch drei Einzelkräfte belastet wird. Der Balken selbst ist auf einem Loslager B und einem Festlager A gelagert. $ F_1 = 10 kN, \; F_2 = 20 kN, \; F_3 = -10 kN  \rightarrow $ Es sind die Querkraftlinie und die Momentenlinie zu erstellen. Beispiel: Balken Koordinatensystem Wie bereits im vorherigen Abschnitt dargestellt, ...
  19. Streckenlast: Schnittgrößen anhand der Gleichgewichtsbedingungen
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Streckenlast am Balken > Streckenlast: Schnittgrößen anhand der Gleichgewichtsbedingungen
    Streckenlast: Schnittgrößen anhand der Gleichgewichtsbedingungen
    ... $Q = \int_0^x q_0 dx = q_0 \cdot x$. Anwendungsbeispiel: Schnittgrößen mit Streckenlast Gegeben sei die obige Grafik mit der verteilten Last $q_0 = \frac{4F}{l}$ und der Kraft $F$ mit dem Winkel $30°$ zur Horizontalen. Bestimmen Sie (a) die Lagerreaktionen (b) die Schnittgrößen $Q$, $N$ und $M$. (a) Zunächst werden die Lagerreaktionen bestimmt. Hierzu wird die Streckenlast zu einer einzigen Kraft zusammengefasst. Dafür muss die Last $q_0$ (ein einziger Pfeil der Streckenlast) ...
  20. Föppl-Klammer
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Föppl-Klammer
    Föppl-Klammer
    ... So entsteht eine vereinfachte Schreibweise. Anwendungsbeispiel: Föppl-Klammer Gegeben sei der obige Balken, der durch die Kraft $F = 20N$ mit $\alpha = 50°$ und durch das Moment $M = 40 Nm$ belastet ist. Die Abstände seien $l_1 = 5m$, $l_2 = 12m$ und $l_3 = 16m$. Bestimmen Sie die Schnittgrößenbereiche und geben Sie diese mit der Föppl-Klammer an. Lagerkräfte bestimmen Zunächst werden die Lagerkräfte $A_h$, $A_v$ und $B$ bestimmt.  Es wird zunächst die vertikale Gleichgewichtsbedingung ...
  21. Haftreibung
    Reibung und Haftung > Haftreibung
    Haftreibung
    ... Autoreifen auf Straße 0,7 - 0,9 Anwendungsbeispiel: Haftreibung Gegeben sei der nachfolgende rechteckige Körper aus Stahl, welcher sich auf einer schiefen Ebene aus Teflon befindet. Der Neigungswinkel beträgt $\alpha = 20°$ und der Haftungskoeffizient sei $\mu_0 = 0,04$. Der Körper hat das Gewicht $G = 10 N$ mit einer angreifenden Kraft $F$. Innerhalb welcher Grenzen befindet sich $F$, wenn der Körper sich in Ruhe befindet? Haftreibung Beispiel Bewegung nach oben Es ...
  22. Seilreibung
    Reibung und Haftung > Seilreibung
    Seilreibung
    ... Haftreibung an Pollern am Steg befestigt.  Anwendungsbeispiel: Seil um Poller Poller In der obigen Grafik ist ein Seil zweimal um einen Poller gewickelt. Die Kraft $F_s$ stellt die Zugkraft des Schiffes dar, welches an diesem Seilende befestigt ist. Der Haftungskoeffizient sei $\mu_0 = 0,2$. Die Kraft $F$ sei 20 Newton. Wie groß darf die Kraft $F_s$, mit der das Schiff maximal ziehen darf, sein? Bei Überschreitung der Kraft, setzt sich das Seil in Richtung des Schiffes in Bewegung. ...
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Bernoulli Differentialgleichung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Spezielle Differentialgleichungen > Bernoulli Differentialgleichung
    ... und substituiert $ u = y^{1-\alpha} $ zurück. Anwendungsbeispiel: Bernoulli Differentialgleichung Löse die folgende Differentialgleichung $y' + \frac{y}{x} - x^2 \sqrt[3]{y} = 0 $.  1. Man formt zuerst um und erhält mit $y' + \frac{1}{x}y = x^2 y^{\frac{1}{3}} $ mit $ \alpha = \frac{1}{3} $  eine Bernoulli Differentialgleichung. 2. Als nächstes multipliziert man die Gleichung mit $y^{-\frac{1}{3}}$ und erhält: $y^{-\frac{1}{3}} \cdot y' + \frac{1}{x} y^{\frac{2}{3}} = x^2$ 3. ...
  2. Implizite und explizite Darstellung
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Darstellungsarten ebener Kurven > Implizite und explizite Darstellung
    Implizite und explizite Darstellung
    ... auch Ellipsen und Kreise dargelegt werden. Anwendungsbeispiele Um einen Kreis abzubilden, bedarf es bei der expliziten Darstellung zwei Funktionen.  Gegeben sei: $y = f(x) = \sqrt{1-x^2}$ Mit dieser expliziten Funktion kann nur ein Halbkreis dargelegt werden. Um einen Kreis darzustellen, bedarf es einer zweiten Funktion: $y = -f(x) = -\sqrt{1-x^2}$. Explizite Darstellung eines Kreises Indem man die explizite Funktion in eine implizite Funktion umstellt, kann der Kreis mithilfe einer ...
  3. Krümmungsradius
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Krümmungsradius
    Krümmungsradius
    ...                  Parameterdarstellung Anwendungsbeispiel Gegeben sei die Funktion: $f(x) = 0,5x^2$ (Parabel). Bestimme für den Punkt $P(0, 0)$ den Krümmungsradius. Krümmungsradius Zuerst werden die beiden Ableitungen gebildet: $f´(x) = x$ $f´´(x) = 1$ Danach in die Formel einsetzen und $x_0 = 0$ einsetzen: $r = |\frac{(1 + (x)^2)^{\frac{3}{2}}}{1}| = |\frac{(1)^{\frac{3}{2}}}{1}| = 1$   Im Punkt $P(0,0)$ beträgt der Krümmungsradius $r=1$. Krümmungsradius
  4. Evolvente berechnen
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Evolvente berechnen
    Evolvente berechnen
    ... aus dem Abschnitt 'Evolute' gezeigt werden.  Anwendungsbeispiel: Tangenten der Evolute Gegeben sei die Parabel: $0,5x^2$.  Die Krümmungskreismittelpunkte wurden für verschiedene Punkte berechnet (siehe Kapitel "Evolute").  In diesem Beispiel wurden noch zwei weitere Punkte $X(-1,5, \ 1,25)$ und $Y(1,5, \ 1,25)$ eingefügt, um die Evolute genauer darzustellen. Die Evolute der Parabel sieht dann wie folgt aus: Evolute der Parabel Bestimmung des Normalenvektors Die Tangenten der ...
  5. Hauptnormalenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Hauptnormalenvektor im Raum
    ... (t)}}{{| \dot{\vec{t}}_e (t)|}}$ Anwendungsbeispiel Gegeben sei die Kurve $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{pmatrix} \; 0 \le t \le 2\pi$. Die Kurve $\alpha (t)$ ist in Parameterdarstellung gegeben. Der dazugehörige Hauptnormalenvektor wird wie folgt ermittelt: Ableitungen bilden $\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix}$ $\ddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix}$ Kreuzprodukt ...
  6. Binormalenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Binormalenvektor im Raum
    ... drei Vektoren senkrecht zueinander stehen. Anwendungsbeispiel Gegeben sei die Raumkurve $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{pmatrix}$. Berechne den Binormalenvektor. Ableitungen bilden $\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix}$ $\ddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix}$ Vektorprodukt bilden $\dot{\vec{r}}(t) \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}(t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) ...
  7. Begleitendes Dreibein und Schmiegebene
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Begleitendes Dreibein und Schmiegebene
    ... (t) \cdot (\vec{r} (t) - \vec{x}_0) = 0$ Anwendungsbeispiel Gegeben sei die Raumkurve $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{pmatrix}$. Berechne das begleitende Dreibein  $\ (\vec{t}_e (t),\vec{n}(t),\vec{b}(t))$  für  $t = 0$. Ableitungen bilden: $\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \; (0, 1, 1)$ $\ddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \; (-1, 0, 0)$ Vektorprodukt ...
  8. Bogenlänge im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Bogenlänge im Raum
    ... $t$ umgestellt und dann eingesetzt wird. Anwendungsbeispiel Gegeben sei die Raumkurve: $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \sin (t) \\ \cos (t) \\ t \end{pmatrix} \; 0 \le t \le 2\pi$. Die Formel zum Wechsel zur Bogenlänge $s$ ist: $s =  \int\limits_0^t |\dot{\vec{r}}(t)| dt$ Ableitung bilden und Länge berechnen $\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ -\sin (t) \\ 1 \end{pmatrix}$ $|\dot{\alpha} (t)| = \sqrt{ \cos^2 (t) + \sin^2 (t) + 1^2} = \sqrt{2}$ Bogenlänge berechnen $s ...
  9. Krümmung und Torsion im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Krümmung und Torsion im Raum
    ... \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}|^2}$ Anwendungsbeispiel Gegeben sei die Raumkurve $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{pmatrix}$. Bestimme die Krümmung und Torsion im Punkt $t = 0$. Ableitungen bilden $\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow (0, 1, 1)$ $\ddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow (-1, 0, 0)$ $\dddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} \sin (t) ...
  10. Partielle Ableitung höherer Ordnung
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Partielle Ableitung > Partielle Ableitung höherer Ordnung
    Partielle Ableitung höherer Ordnung
    ... stetig sind, dh. keine Sprünge aufweisen.  Anwendungsbeispiele Gegeben sei die Funktion $w = f(x,y,z) = x^2 y + z^2 x$ 1. Möglichkeit Die Ableitung nach $x$ und dann nach $y$: $\frac{\partial}{\partial x} f_x (x,y,z) = 2xy + z^2$ $\frac{\partial}{\partial x} f_{x,y} (x,y,z) = 2x$ Die Ableitung nach $y$ und dann nach $x$: $\frac{\partial}{\partial x} f_y (x,y,z) = x^2$ $\frac{\partial}{\partial x} f_{y,x} (x,y,z) = 2x$ $\rightarrow \ f_{xy} (x,y,z) $ = $\ f_{yx} (x,y,z)$. 2. ...
  11. Totales Differential
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Totales Differential
    ... darstellen) ist das Differential der Funktion. Anwendungsbeispiel Gegeben sei die Funktion $z = f(x,y) = x^2 + y^2$ Das totale Differential ist: $\frac{\partial f}{\partial x} dx = 2x \ dx$ $\frac{\partial f}{\partial y} dy = 2y \ dy$ $\rightarrow \; dz = 2x \ dx + 2y \ dy$ Gegeben sei die Funktion $ w = f(x,y,z) = x^2 y z$ Das totale Differential ist: $\frac{\partial f}{\partial x} dx = 2xyz \ dx$ $\frac{\partial f}{\partial y} dy = x^2z \ dy$ $\frac{\partial f}{\partial z} ...
  12. Richtungsableitung
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Richtungsableitung
    ... \le 2\pi $ (Einheitskreis = Länge $1$). Anwendungsbeispiel Gegeben sei folgende Funktion $ f(x,y)=\left(\begin{array}{ll}\frac{x^3-xy^2}{x^2+y^2}, & (x,y)\not= (0,0) \\ 0, & (x,y)= (0,0)\end{array}\right) $.Wie sieht der Grenzwert zur Bestimmung von Richtungsableitungen im Punkt $(0,0)$ aus, wenn man ihn statt des Richtungsvektor nun mit dem Einheitsvektor bestimmt, und wie ist die Richtungsableitung? $f$ ist in $(0,0)$ stetig, da $ \lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = \lim\limits_{r ...
  13. Kettenregel
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Kettenregel
    ... bei Funktionen mit 3 oder n Veränderlichen. Anwendungsbeispiele Gegeben sei die Funktion $z = f(x,y)$ mit $x = \sin (t)$ und $y = \cos (t)$. Dann ist die Ableitung: $\frac{dz}{dt} =  \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}$ $\frac{\partial z}{\partial x}  = f(x)$ $\frac{dx}{dt} = \cos (t)$ $\frac{\partial z}{\partial y} = f(y)$ $\frac{dy}{dt} = -\sin (t)$ Insgesamt ergibt sich: $\frac{dz}{dt} = \frac{dz}{dt} = f(x) \cdot \cos ...
  14. Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Picard-Lindelöf > Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf
    ... $f$ in $G$ einer lokalen Lipschitzbedingung. Anwendungsbeispiele: Globale Lipschitzbedingung Gegeben sei die Funktion $f(x,y)=x^2 + y^2 $. Mit $x \in \mathbb{R}$. Zeige dass $f$ in $\mathbb{R}^2$ nicht global einer Lipschitzbedingung bezüglich $y$ genügt! Gesucht wird ein reelles $L$ mit $ | f(x, y_1) - f(x, y_2)| \le L \cdot |y_1 - y_2| $  für alle  $(x, y_1), \; (x, y_2) \; \in G \subset \mathbb{R}$ $ | (x^2 + y_1^2) - (x^2 + y_2^2)| \le L \cdot |y_1 - y_2| $ $ | x^2 + y_1^2 ...
  15. Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Picard-Lindelöf > Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren
    Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren
    ... (x) := y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y_n (t))dt $. Anwendungsbeispiel: Iterationsverfahren von Picard-Lindelöf Man Löse iterativ das Anfangswertproblem $\ y' = 2xy $ mit  $ y(0) := 1 $.   Aus der Anfangsbedingung $y(0) = 1$ kann abgelesen werden: $x_0 = 0$ und $y_0 = 1$ $\ y_0 (x) \equiv 1 $ $\ y_1 (x) = 1 + \int\limits_0^x 2t \cdot 1 \ dt = 1 + [t^2] = 1 + x^2 - 0 = 1 + x^2 $ $\ y_2 (x) = 1 + \int\limits_0^x 2t \cdot (1 + t^2) dt = 1 + \int\limits_0^x  2t + 2t^3 \ dt$ $= 1 + 2 \int\limits_0^x ...
  16. Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
    ... $ g(y) \not= 0 $ in impliziter Form ergeben.  Anwendungsbeispiel: TDV Lösen Sie die Differentialgleichung $y' = -2x(y^2 - y) $ mit Hilfe der "Trennung der Veränderlichen"-Methode! 0. Zerlegung der Veränderlichen  Es handelt sich um eine Funktion der Form: $y' = f(x) \cdot g(y)$ mit  $ f(x) = -2x $ und $ g(y) = y^2-y $ 1. Bestimmung der Nullstellen von g(y): $ y^2 - y = y(y-1) = 0 \rightarrow y_1= 0, \ y_2 = 1 $ Diese konstanten Funktionen $ y_1 = 0 $ und $ y_2 = 1 $ sind [partikuläre] ...
  17. Ricatti Differentialgleichung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Spezielle Differentialgleichungen > Ricatti Differentialgleichung
    ... zu verstehen. Anwendungsbeispiel: Ricatti Differentialgleichung Löse folgende Differentialgleichung $ \ y' + \frac{2}{x}y + y^2 = \frac{2}{x^2}$ Davon ausgehend, dass mit $ y_1 = \frac{1}{x} $ durch Einsetzen eine spezielle Lösung gefunden wurde, kann die Riccati-Differentialgleichung transformiert werden. 1. Als Substitution erhält man $ u = \frac{1}{y-\frac{1}{x}} $ Daraus folgt: $\ y = \frac{1}{u} + \frac{1}{x} $ und $ y' = - \frac{u'}{u^2} - \frac{1}{x^2} ...
  18. Exakte Differentialgleichung
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Integrable Typen von Differentialgleichungen erster Ordnung > Exakte Differentialgleichung
    ... die von $y$ abhängig ist. Anwendungsbeispiel: Exakte Differentialgleichung Löse die Differentialgleichung: $2x + 5 + (2y + 5)y´= 0$ $p(x,y) = M = 2x + 5$ $q(x,y) = N = 2y + 5$ 1.) Auf Exaktheit überprüfen: $M_y = 0$ $N_x = 0$ Da, $M_y = N_x$ ist die Exaktheitsbedingung erfüllt, d.h. es existiert ein $\psi_x = M, \; \psi_y = N$. 2.) Integration $\psi (x,y) = \int \psi_x \; dx + I(y) = \int (2x + 5) dx + I(y)$ $\psi (x,y) = x^2 + 5x + I(y)$ 3.) Bestimmung ...
  19. Homogene Differentialgleichungen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Homogene Differentialgleichungen
    ... der Differentialgleichung sind.  Anwendungsbeispiele: Homogene Differentialgleichung Löse folgende homogene, lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit dem d' Alembertschen Reduktionsverfahren.$\ (1 + x^2)y'' - 2xy' + 2y = 0 $.  Durch hinsehen lässt sich erkennen, dass $ y_1 = x$  eine Lösung ist. Setzt man für $y = x$ und für $y' = 1$ (1. Ableitung von $x$) und für $y'' = 0$ (2. Ableitung von $x$) ein, so ergibt die gesamte Gleichnung null. Daraus folgt $\rightarrow ...
  20. Inhomogene Differentialgleichungen
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Inhomogene Differentialgleichungen
    ... = \sum\limits^n_{k=1} c_k (x) y_k(x)$.  Anwendungsbeispiel: Inhomogene Differentialgleichung Bestimme die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung $ y_S $ für folgende lineare Differentialgleichung$ y'' - \frac{x}{x-1}y' + \frac{1}{x-1}y = x - 1, \; \; x \not= 1$. Lösungsgesamtheit homogene Differentialgleichung Die zugehörige homogene Differentialgleichung ist $ y'' - \frac{x}{x-1}y' + \frac{1}{x-1}y = 0 $. Sie besitzt die Lösungen $ y_1 = x $ und $ y_2 = e^x $. Lösungsgesamtheit ...
  21. Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Differentialgleichung höherer Ordnung > Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
    ... 3i $ $ e^x, e^{2x}cos3x, e^{2x}sin3x $ Anwendungsbeispiel: Homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten Löse die folgenden homogene Differentialgleichung 3. Ordnung mit konstanten Koeffizienten$\ y''' - 2y'' - 5y' + 6y = 0 $ Zuerst gilt es die homogene Differentialgleichung als charakteristische Gleichung darzustellen $\color{grey}{y''' - 2y'' - 5y' + 6y = 0} \rightarrow \lambda^3 - 2\lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0 $. Anschließend bestimmt man die Lösungen der charakteristischen ...
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Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Spannungen im Stab (Schnitt mit Winkel)
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Spannungen im Stab (Schnitt mit Winkel)
    Spannungen im Stab (Schnitt mit Winkel)
    ... 45° $ besitzt. Das Video wird geladen ... Anwendungsbeispiel: Schnitt mit Winkel Gegeben sei der obige Stab, welcher auf Druck belastet wird. Der Stab besitzt eine kreisförmige Querschnittsfläche mit einem Durchmesser von $d = 5cm$. Es soll ein Schnitt im Winkel von 45° durchgeführt werden. Wie groß ist die Normalspannung und die Schubspannung? Es wird der Schnitt durchgeführt, die Normalkraft senkrecht zum Schnitt eingezeichnet und die Tangentialkraft parallel zum Schnitt eingezeichnet. ...
  2. Beispiel zu Spannungen im Stab: Hängender Zugstab
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Beispiel zu Spannungen im Stab: Hängender Zugstab
    Beispiel zu Spannungen im Stab: Hängender Zugstab
    Anwendungsbeispiel: Zugstab Gegeben sei der obige Balken (1m breit, 10m lang), welcher an einem Stab $d = 0,15 m$ befestigt ist. Der Stab ist mittels eines Hakens an der Wand befestigt. Der Balken hat ein Eigengewicht von $F_{Balken} = 50 N$. Auf dem Balken befindet sich eine gleichmäßig verteilte Schneedecke (Flächenlast), mit $q_0 = 2 N/m^2$. Die Stabkraft soll vernachlässigt werden. Wie groß muss die Hakenkraft mindestens sein, damit diese den Balken samt Schneedecke trägt? Wie groß ...
  3. Hookesches Gesetz
    Stabbeanspruchungen > Materialgesetz / Zugversuch > Hookesches Gesetz
    Hookesches Gesetz
    ... l$ = Verlängerung des Probestabes Anwendungsbeispiel: Berechnung Elastizitätsmodul Das Elastizitätsmodul $E$ für einen Stab soll durch einen Zugversuch ermittelt werden. Hierzu wird ein Rundstab mit einem Durchmesser von $d = 10 mm$ und einer Anfangsmesslänge $l_0 = = 50 mm$ verwendet. Auf der geradlinig verlaufenden Stabachse wirkt eine Kraft $F = 10 kN$. Diese Kraft $F$ führt dazu, dass der Stab sich um $\triangle = 0,5 mm$ verlängert. 1) Wie groß ist die Zugspannung ...
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Thermodynamik

  1. Spezialfälle des allgemeinen Gasgesetzes
    Grundlagen der Thermodynamik > Thermische Zustandsgleichungen > Spezialfälle des allgemeinen Gasgesetzes
    Spezialfälle des allgemeinen Gasgesetzes
    ... gilt: $\frac{p_1}{p_2} = \frac{T_1}{T_2}$ Anwendungsbeispiel: Goethe Barometer Gegeben sei obiges Goethe-Barometer. Dieses wurde bei einem mittleren Atmosphärendruck von $p_{amb} = 101.325 Pa$ mit Wasser ($\rho = 998,2 kg/m^3$) gefüllt, wobei die Wasserhöhe im Behälter und in dem Schnabel gleich hoch sind. Ist dies der Fall, so sind Innendruck (im Behälter) und Außendruck gleich hoch. Ändert sich nun der Atmosphärendruck (Außendruck) so ändert sich die Wasserhöhe im Behälter. ...
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Physik

  1. Beschleunigungsarbeit
    Arbeit, Energie und Leistung > Arbeit: Beispiele > Beschleunigungsarbeit
    Beschleunigungsarbeit
    ... die 3. Formel verwendet werden. Anwendungsbeispiel: Saturn V-Mondrakete Saturn V Rakete Die Saturn V-Mondrakete gilt noch immer als eines der leistungsstärksten Trägersysteme, die je für die Raumfahrt entwickelt wurde. Sie war in der Lage eine Nutzlast von $133  t$ in die Erdumlaufbahn oder ca. $50  t$ zum Mond zu befördern. Zum Vergleich: Die Ariane 5ES der ESA schafft nur eine max. Nutzlast von $20,25  t$ in die Erdumlaufbahn. Die Saturn V ist eine dreistufige ...
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Operations Research 1

  1. Dijkstra-Algorithmus
    Graphentheorie > Kürzeste Wege > Dijkstra-Algorithmus
    Dijkstra-Algorithmus
    ... anhand eines Beispiels demonstriert werden. Anwendungsbeispiel: Dijkstra-Algorithmus Gegeben sei der obige Diagraph. Für diesen soll nach dem Dijkstra-Algorithmus der kürzeste Weg von einem Startknoten zu allen anderen Knoten bestimmt werden. Begonnen wird mit der Initialisierung: Als Startknoten wird der Knoten 1 gewählt: $M = \{1 \}$, $D(1) = 0$, $D(i) = \infty$ für die Knoten $i = 2,3,4,5,6$ und $V(i) = -$ für alle Knoten $i = 1,2,3,4,5,6$. Das Ganze wird in eine Tabelle ...
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