Analysis und Lineare Algebra

  1. Ungleichungen
    Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Reelle Zahlen > Ungleichungen
    ... folgenden Abschnitt werden wir dir Anwendungsbeispiele zur Lösung von einfachen Ungleichungen, Bruchungleichungen und Betragsungleichungen vorstellen.
  2. Beispiele: Betragsungleichungen, Bruchungleichungen
    Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Reelle Zahlen > Ungleichungen > Beispiele: Betragsungleichungen, Bruchungleichungen
    ... kehrt sich das Ungleichheitszeichen um.Anwendungsbeispiele: Einfache UngleichungenGegeben sei die folgende Ungleichung:$- \frac{1}{3}x - \frac{1}{2}x \le - \frac{4}{3}$Bestimme bitte alle reellen Lösungen dieser Ungleichung!Die Ungleichung wird unter Berücksichtigung des Ungleichheitszeichens nach $x$ umgestellt:$- \frac{5}{6}x \le - \frac{4}{3}$Nun lösen wir nach $x$ auf. Da bei der Auflösung nach $x$ die gesamte Gleichung mit $-\frac{6}{5}$ multipliziert wird, kehrt ...
  3. Fakultät und Binomialkoeffizienten
    Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Reelle Zahlen > Fakultät und Binomialkoeffizienten
    ... \choose 4} = \frac{5 \cdot 4}{4} = 5$Anwendungsbeispiel: BinominalkoeffizientBeim Lotto 6 aus 49 ist die Anzahl der möglichen Ziehungen 49 über 6:${49 \choose 6} = \frac{49!}{6!(49-6)!} = \frac{49!}{6!43!}$$=\frac{\not1*\not2*\not3*...*\not43*44*45*46*47*48*49}{(1*2*3*...*5*6)(\not1*\not2*\not3*...*\not43)} = \frac{44*45*46*47*48*49}{1*2*3*...*5*6} = 13.983.816$verschiedene Möglichkeiten 6 "Richtige" zu ziehen.In diesem Beispiel können wirn den Wert auch gut ...
  4. Anwendungsbeispiele: Mengenlehre und reelle Zahlen
    Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen > Anwendungsbeispiele: Mengenlehre und reelle Zahlen
    In diesem Abschnitt folgen einige Anwendungsbeispiele zu den vorherigen Abschnitten.IntervalleGegeben seien die folgenden Intervalle der reellen Zahlen:a) offenes Intervall von $3$ bis $\frac{14}{3}$b) rechts halboffenes Intervall von $x_1$ bis $x_2$c) links halboffenes Intervall von $\frac{5}{8}$ bis $z$d) geschlossenes Intervall von $-15$ bis $0$e) das Intervall aller Zahlen größer oder gleich $3$f) das Intervall aller Zahlen kleiner als $2$Gib bitte diese als Klammerausdruck und in ...
  5. Addition von Vektoren
    Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Addition von Vektoren
    Vektoraddition
    ... + \vec{b} = (12, 8)$$\vec{b} + \vec{a} = (12,8)$Anwendungsbeispiel: AssoziativgesetzGegeben seien die Vektoren $\vec{a} = (4, 6)$, $\vec{b} = (8,2)$ und $\vec{c} = (1,3)$. Bitte zeige, dass das Assoziativgesetz gilt!Assoziativgesetz:  (1)    $(\vec{a} + \vec{b}) = (12,8)$ $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c}  = (13,11)$(2)   $(\vec{b} + \vec{c}) = (9,5)$$(\vec{b} + \vec{c}) + \vec{a} = (13,11)$
  6. Einheitsvektor, Länge von Vektoren
    Vektorrechnung > Einführung in die Vektorrechnung > Einheitsvektor, Länge von Vektoren
    Lnge von Vektoren, Satz des Pythagoras
    ... Länge von Vektoren / EinheitsvektorBitte berechnen die Länge des Vektors zwischen den Punkten $A(6,3)$ und $B(1,5)$!Es soll nun die Länge des Vektors $\vec{AB}$ berechnet werden. Dieser Vektor geht vom Punkt $A$ zum Punkt $B$, der Pfeil zeigt also auf den Punkt $B$. Die beiden Punkte können mittels der Ortsvektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ dargestellt werden. Diese zeigen vom Koordinatenursprung auf die jeweiligen ...
  7. Skalarprodukt und Winkel
    Vektorrechnung > Das Skalarprodukt > Skalarprodukt und Winkel
    Skalarprodukt eingeschlossener Winkel
    ... man $\vec{a} \cdot \vec{b}$.Projektion Anwendungsbeispiel: SkalarproduktEs seien folgende Vektoren gegeben: $\vec{a} = (4,0)$ und $\vec{b} = (4,4)$. Bitte berechne $\vec{a} \cdot \vec{b}$!Es werden zunächst die beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ eingezeichnet. Der Winkel zwischen den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ beträgt $45°$:Es wird als nächstes das Skalarprodukt berechnet durch:$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\varphi) = ...
  8. Zerlegung von Vektoren
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Vektorrechnung > Das Skalarprodukt > Zerlegung von Vektoren
    Vektor
    ... In diesem Fall liegt $s$ zwischen $0$ und $1$.Anwendungsbeispiel: Zerlegung von VektorenGegeben seien die folgenden Vektoren: $\vec{a} = (0,4)$ und $\vec{b} = (3,3)$Lösung der orthogonale Zerlegung: $\vec{a} = s \cdot \vec{b} + \vec{x}$ $\left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \end{array}\right) = s \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array}\right)+ \vec{x}$Bevor wir die obige Formel$\vec{x} =  \vec{a} - \frac{\vec{b} \, \cdot \, \vec{a}}{\vec{b} \, \cdot \, \vec{b}} \cdot ...
  9. Das Spatprodukt
    Vektorrechnung > Das Spatprodukt
    Spatprodukt Vektorprodukt
    ... null.Vektorprodukt vs. Spatprodukt Anwendungsbeispiel: SpatproduktBestimme das Volumen des Spats der 3 Vektoren $\vec{a}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ -2 \end{array}\right)$, $\vec{b}=\left(\begin{array}{c} 5 \\ -1 \\ 7\end{array}\right)$ und $\vec{c} = \left(\begin{array}{c} 6 \\ -3 \\ 8\end{array}\right)$!Zuerst empfiehlt es sich, die 3 Vektoren in eine Matrix zu übertragen.$[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]= \left(\begin{array}{ccc} 3 & 5 & 6 \\ 6 & -1 & ...
  10. Laplacescher Entwicklungssatz
    Matrizen > Determinanten > Laplacescher Entwicklungssatz
    Sarrus
    ... Determinante von $A$ beträgt demnach $-3$.AnwendungsbeispielGegeben sei die Matrix $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 0\\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 0 \end{pmatrix}$. Berechne die Determinante von $A$!Wir entwickeln nach der 4. Spalte, da in dieser die meisten Nullen stehen und sich die Determinante damit einfacher berechnen lässt.1. Schritt: Streiche 4. Spalte und 1. Zeile:$|A_{14}| =  \begin{vmatrix} \not1 & ...
  11. Eigenwerte
    Matrizen > Eigenwerte und Eigenvektoren > Eigenwerte
    ... höchstens $n$ Eigenwerte der Matrix A.AnwendungsbeispielGegeben sei die folgende Matrix: $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -4 & 5 \end{pmatrix}$1. Schritt: Berechnung des charakteristischen Polynoms und Nullsetzen$det(A − \lambda E) =  \begin{vmatrix} 3 - \lambda & 0 \\ -4 & 5 - \lambda \end{vmatrix}$$det(A − \lambda E) = (3 - \lambda) \cdot (5 - \lambda) - 0 \cdot -4$$det(A − \lambda E) = \lambda^2 - 8\lambda + 15 = 0$2. Schritt: Berechnung ...
  12. Eigenvektoren
    Matrizen > Eigenwerte und Eigenvektoren > Eigenvektoren
    ... = 0$, wobei $\vec{x} \neq \vec{0}$ gilt. AnwendungsbeispielGegeben sei die Matrix aus dem vorherigen Beispiel $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -4 & 5 \end{pmatrix}$ mit den Eigenwerten $\lambda_1 = 5, \lambda_2 = 3$. Berechne die zugehörigen Eigenvektoren zu $\lambda_1$ und $\lambda_2$!Berechnung des 1. EigenvektorsAus $\lambda_1 = 5$ folgt:$(A - 5 E)\vec{x} = 0$$= \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} - 5 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$= ...
  13. Beispiel 1: Diagonalisierbarkeit
    Matrizen > Eigenwerte und Eigenvektoren > Diagonalisierbarkeit > Beispiel 1: Diagonalisierbarkeit
    ... $n \times n$-Matrix $n$ Nullstellen existieren.Anwendungsbeispiel 1: Diagonalisierbarkeit $A = \begin{pmatrix} 2 & - \sqrt{5} & 0 \\ \sqrt{5} & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$Ist die obige Matrix diagonalisierbar?1. Schritt: Berechnung des charakteristischen Polynoms$\chi_A(\lambda) = det(A-\lambda E) $mit$\chi_A(\lambda)$ = charakteristisches Polynom$\lambda E = \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda ...
  14. Beispiel 2: Diagonalisierbarkeit
    Matrizen > Eigenwerte und Eigenvektoren > Diagonalisierbarkeit > Beispiel 2: Diagonalisierbarkeit
    ... in der Beispielmatrix übereinstimmt.Anwendungsbeispiel 2: Diagonalisierbarkeit$A = \begin{pmatrix} 9 & 0 & -6 \\ 18 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$Ist die obige Matrix diagonalisierbar?1. Schritt: Berechnung des charakteristischen PolynomsBerechnung des charakteristischen Polynoms mittels Regel von Sarrus:$\chi_A(\lambda) = det(A-\lambda E) = \begin{vmatrix} 9-\lambda & 0 & -6 \\ 18 & 6-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 6-\lambda \\ ...
  15. Lineare Abhängigkeit im R²
    Vektorräume > Lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit von Vektoren > Lineare Abhängigkeit im R²
    ... sind, wenn diese parallel zueinander sind. AnwendungsbeispielDazu betrachten wir zunächst als einfaches Beispiel die Einheitsvektoren im $\mathbb{R}^2$.$\vec{e_x} = (1,0)$ und $\vec{e_y} = (0,1)$Da die beiden Einheitsvektoren nicht parallel zueinander sind und im $\mathbb{R}^2$ liegen, sind diese unabhängig voneinander. Berechnung:Zwei Vektoren $\vec{a_1}$ und $\vec{a_2}$ sind genau dann linear abhängig, wenn sich der Nullvektor durch eine Linearkombination der Vektoren ...
  16. Lineare Abhängigkeit im R³
    Vektorräume > Lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit von Vektoren > Lineare Abhängigkeit im R³
    Regel von Sarrus
    ... wenn diese parallel zueinander sind. 1. AnwendungsbeispielDazu betrachten wir zwei Vektoren im $\mathbb{R}^3$.Gegeben seien die Vektoren $\vec{a} = (2,1,0)$ und $\vec{b} = (3,2,4)$.Sind die beiden Vektoren abhängig oder unabhängig voneinander?Man kann hier auch ohne Berechnung erkennen, dass die beiden Vektoren linear unabhängig voneinander sind, da der Vektor $\vec{a}$ an der dritten Stelle eine Null enthält und der Vektor $\vec{b}$ an dieser Stelle keine ...
  17. Vektorraum, Erzeugendensystem, lineare Hülle, Basis
    Vektorräume > Vektorraum, Erzeugendensystem, lineare Hülle, Basis
    ... Themen, ziehen wir ein Beispiel heran.Anwendungsbeispiel: lineare Hülle, Erzeugendensystem, BasisIm Vektorraum $\mathcal V = \mathbb{R}^2$ sei die folgende Menge von Vektoren gegeben:$M = \{\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}, \vec{a_4} \}$ mit$\vec{a_1} = (1,2)$, $\vec{a_2} = (2,1)$, $\vec{a_3} = (2,0)$, $\vec{a_4} = (0,3)$Ist die Teilmenge $M$ ein Erzeugendensystem des $\mathbb{R}^2$?Ist $M$ eine Basis?Zeige alle möglichen Basen auf!ErzeugendensystemZur Überprüfung können ...
  18. Definition von komplexen Zahlen
    Komplexe Zahlen > Definition von komplexen Zahlen
    Komplexe Zahlen (Imaginr, Real)
    ... \cdot i$ ist rein-imaginär. AnwendungsbeispielEs sei die komplexe Zahl $z = 3 + i \cdot 2$ gegeben. Was ist der Real- und was der Imaginärteil?Die komplexe Zahl $z = 3 + i\cdot2$ hat den Realteil $x = 3$ und den Imaginärteil $y = 2$.Grafische Darstellung der komplexen ZahlenDie Menge der rellen Zahlen lassen sich durch Punkte auf einer Zahlengeraden darstellen.Die Menge der komplexen Zahlen lassen sich als Punkte in einer Ebene, der gaußschen Zahlenebene (oder ...
  19. Grundrechenarten der komplexen Zahlen
    Komplexe Zahlen > Grundrechenarten der komplexen Zahlen
    ... komplexen Zahl ist ihr Abstand vom Nullpunkt.AnwendungsbeispieleGegeben seien die komplexen Zahlen $z = 2 + i3$ und $w = 4 + i2$. Berechne $z + w$, $z -w$, $z \cdot w$ und $\frac{z}{w}$.(1) $z + w = 6 + 5i$(2) $z - w = -2 + i$(3) $z \cdot w = 8 + 4i + 12i + 6i^2 = 2 + 16i $(4) $\frac{z}{w} = \frac{2  +  i3}{4  +  i2}\cdot \frac{4  -  i2}{4  -  i2}$             $= \frac{2\cdot4  +  3\cdot2}{4^2  +  2^2} ...
  20. Mittelwertsätze
    Differentialrechnung > Mittelwertsätze
    Mittelwertsatz, Sekante, Tangente
    ... 1) + 2$$y = 4x – 4 + 2$$y = 4x - 2$Anwendungsbeispiel zu MittelwertsätzeGegeben sei die Funktion:  $f(x) = -x^2 + 12$.  Berechne die Sekante, welche durch die Punkte $S_1(-1, 11)$ und $S_2(3, 3)$ geht. Berechne außerdem die Tangente, welche die gleiche Steigung wie die Sekante hat und den Schnittpunkt der Tangente mit  $f(x)$.Sekantengleichung$s(x) = mx + b$$m$ bestimmen:$m = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{3 - 11}{3 + 1} = -2$$s(x) = -2x + b$$b$ bestimmen ...
  21. Nachweis Konkavität und Konvexität durch Differentation
    Differentialrechnung > Konkave und konvexe Funktionen > Nachweis Konkavität und Konvexität durch Differentation
    ... Konkavität bzw. Konvexität bestimmen.Anwendungsbeispiele: Nachweis über Konkavität bzw. Konvexität$F(x) = 10x - 4x^2$$F'(x) = 10 - 8x$$F''(x) = -8$$\rightarrow$ streng konkav!$F(x) = 8x^3 - 2x^4$$F'(x) = 24x^2 - 8x^3$$F''(x) = 48x - 24x^2$$x$ ausklammern:$F''(x) = x(48 - 24x)$Die 2. Ableitung ist noch abhängig von $x$. Es werden die Nullstellen der 2. Ableitung bestimmt:$F''(x) = x(48 - 24x) = 0$$x_1 = 0$$48 - 24 x = 0$$x_2 = 2$Es gelten also die folgenden Bereiche:$x ...
Analysis und Lineare Algebra
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Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen

  1. Implizite und explizite Darstellung
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Darstellungsarten ebener Kurven > Implizite und explizite Darstellung
    Explizite Darstellung eines Kreises
    ... auch Ellipsen und Kreise dargelegt werden.AnwendungsbeispieleUm einen Kreis abzubilden, bedarf es bei der expliziten Darstellung zwei Funktionen. Gegeben sei: $y = f(x) = \sqrt{1-x^2}$Mit dieser expliziten Funktion kann nur ein Halbkreis dargelegt werden. Um einen Kreis darzustellen, bedarf es einer zweiten Funktion: $y = -f(x) = -\sqrt{1-x^2}$.Explizite Darstellung eines KreisesIndem man die explizite Funktion in eine implizite Funktion umstellt, kann der Kreis mithilfe einer Funktion ...
  2. Krümmungsradius
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Krümmungsradius
    Krmmungsradius
    ...        ParameterdarstellungAnwendungsbeispielGegeben sei die Funktion: $f(x) = 0,5x^2$ (Parabel). Bestimme für den Punkt $P(0, 0)$ den Krümmungsradius.KrümmungsradiusZuerst werden die beiden Ableitungen gebildet:$f´(x) = x$$f´´(x) = 1$Danach in die Formel einsetzen und $x_0 = 0$ einsetzen:$r = |\frac{(1 + (x)^2)^{\frac{3}{2}}}{1}| = |\frac{(1)^{\frac{3}{2}}}{1}| = 1$  Im Punkt $P(0,0)$ beträgt der Krümmungsradius $r=1$.Krü...
  3. Evolvente berechnen
    Kurveneigenschaften im ebenen Raum > Krümmung > Evolvente berechnen
    Evolute der Parabel
    ... dem Abschnitt 'Evolute' gezeigt werden. Anwendungsbeispiel: Tangenten der EvoluteGegeben sei die Parabel: $0,5x^2$. Die Krümmungskreismittelpunkte wurden für verschiedene Punkte berechnet (siehe Kapitel "Evolute"). In diesem Beispiel wurden noch zwei weitere Punkte $X(-1,5, \ 1,25)$ und $Y(1,5, \ 1,25)$ eingefügt, um die Evolute genauer darzustellen. Die Evolute der Parabel sieht dann wie folgt aus:Evolute der ParabelBestimmung des NormalenvektorsDie Tangenten der ...
  4. Hauptnormalenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Hauptnormalenvektor im Raum
    ... (t)}}{{| \dot{\vec{t}}_e (t)|}}$AnwendungsbeispielGegeben sei die Kurve $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{pmatrix} \; 0 \le t \le 2\pi$.Die Kurve $\alpha (t)$ ist in Parameterdarstellung gegeben. Der dazugehörige Hauptnormalenvektor wird wie folgt ermittelt:Ableitungen bilden$\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix}$$\ddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix}$Kreuzprodukt des ...
  5. Binormalenvektor im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Binormalenvektor im Raum
    ... alle drei Vektoren senkrecht zueinander stehen.AnwendungsbeispielGegeben sei die Raumkurve $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{pmatrix}$. Berechne den Binormalenvektor.Ableitungen bilden$\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix}$$\ddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix}$Vektorprodukt bilden$\dot{\vec{r}}(t) \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}(t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos ...
  6. Begleitendes Dreibein und Schmiegebene
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Begleitendes Dreibein und Schmiegebene
    ... \vec{b} (t) \cdot (\vec{r} (t) - \vec{x}_0) = 0$AnwendungsbeispielGegeben sei die Raumkurve $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{pmatrix}$. Berechne das begleitende Dreibein  $\ (\vec{t}_e (t),\vec{n}(t),\vec{b}(t))$  für  $t = 0$.Ableitungen bilden:$\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \; (0, 1, 1)$$\ddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \; ...
  7. Bogenlänge im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Bogenlänge im Raum
    ... nach $t$ umgestellt und dann eingesetzt wird.AnwendungsbeispielGegeben sei die Raumkurve: $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \sin (t) \\ \cos (t) \\ t \end{pmatrix} \; 0 \le t \le 2\pi$.Die Formel zum Wechsel zur Bogenlänge $s$ ist:$s =  \int\limits_0^t |\dot{\vec{r}}(t)| dt$Ableitung bilden und Länge berechnen$\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ -\sin (t) \\ 1 \end{pmatrix}$$|\dot{\alpha} (t)| = \sqrt{ \cos^2 (t) + \sin^2 (t) + 1^2} = \sqrt{2}$Bogenlänge ...
  8. Krümmung und Torsion im Raum
    Kurveneigenschaften im mehrdimensionalen Raum > Krümmung und Torsion im Raum
    ... \; \text{X} \; \ddot{\vec{r}}|^2}$AnwendungsbeispielGegeben sei die Raumkurve $\alpha (t) = \begin{pmatrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ t \end{pmatrix}$. Bestimme die Krümmung und Torsion im Punkt $t = 0$.Ableitungen bilden$\dot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\sin (t) \\ \cos (t) \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow (0, 1, 1)$$\ddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} -\cos (t) \\ -\sin (t) \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow (-1, 0, 0)$$\dddot{\alpha} (t) = \begin{pmatrix} \sin (t) ...
  9. Partielle Ableitung höherer Ordnung
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Partielle Ableitung > Partielle Ableitung höherer Ordnung
    ... sind, dh. keine Sprünge aufweisen. AnwendungsbeispieleGegeben sei die Funktion $w = f(x,y,z) = x^2 y + z^2 x$1. MöglichkeitDie Ableitung nach $x$ und dann nach $y$:$\frac{\partial}{\partial x} f_x (x,y,z) = 2xy + z^2$$\frac{\partial}{\partial x} f_{x,y} (x,y,z) = 2x$Die Ableitung nach $y$ und dann nach $x$:$\frac{\partial}{\partial x} f_y (x,y,z) = x^2$$\frac{\partial}{\partial x} f_{y,x} (x,y,z) = 2x$$\rightarrow \ f_{xy} (x,y,z) $ = $\ f_{yx} (x,y,z)$.2. MöglichkeitOder ...
  10. Totales Differential
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Totales Differential
    ... darstellen) ist das Differential der Funktion.AnwendungsbeispielGegeben sei die Funktion $z = f(x,y) = x^2 + y^2$Das totale Differential ist:$\frac{\partial f}{\partial x} dx = 2x \ dx$$\frac{\partial f}{\partial y} dy = 2y \ dy$$\rightarrow \; dz = 2x \ dx + 2y \ dy$Gegeben sei die Funktion $ w = f(x,y,z) = x^2 y z$Das totale Differential ist:$\frac{\partial f}{\partial x} dx = 2xyz \ dx$$\frac{\partial f}{\partial y} dy = x^2z \ dy$$\frac{\partial f}{\partial z} dz =x^2y \ dz$$\rightarrow \ ...
  11. Richtungsableitung
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Richtungsableitung
    ... \le 2\pi $ (Einheitskreis = Länge $1$).AnwendungsbeispielGegeben sei folgende Funktion $ f(x,y)=\left(\begin{array}{ll}\frac{x^3-xy^2}{x^2+y^2}, & (x,y)\not= (0,0) \\ 0, & (x,y)= (0,0)\end{array}\right) $.Wie sieht der Grenzwert zur Bestimmung von Richtungsableitungen im Punkt $(0,0)$ aus, wenn man ihn statt des Richtungsvektor nun mit dem Einheitsvektor bestimmt, und wie ist die Richtungsableitung?1.Schritt:Schauen, ob die Funktion an der Stelle $P(0,0)$ stetig ist.Aus dem ...
  12. Kettenregel
    Funktionen mehrerer Veränderlicher > Kettenregel
    ... bei Funktionen mit 3 oder n Veränderlichen.AnwendungsbeispieleGegeben sei die Funktion $z = f(x,y)$ mit $x = \sin (t)$ und $y = \cos (t)$.Dann ist die Ableitung:$\frac{dz}{dt} =  \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}$$\frac{\partial z}{\partial x}  = f(x)$$\frac{dx}{dt} = \cos (t)$$\frac{\partial z}{\partial y} = f(y)$$\frac{dy}{dt} = -\sin (t)$Insgesamt ergibt sich:$\frac{dz}{dt} = \frac{dz}{dt} = f(x) \cdot \cos ...
  13. Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Picard-Lindelöf > Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf
    ... $f$ in $G$ einer lokalen Lipschitzbedingung.Anwendungsbeispiele: Globale LipschitzbedingungGegeben sei die Funktion $f(x,y)=x^2 + y^2 $. Mit $x \in \mathbb{R}$. Zeige dass $f$ in $\mathbb{R}^2$ nicht global einer Lipschitzbedingung bezüglich $y$ genügt!Gesucht wird ein reelles $L$ mit $ | f(x, y_1) - f(x, y_2)| \le L \cdot |y_1 - y_2| $  für alle  $(x, y_1), \; (x, y_2) \; \in G \subset \mathbb{R}$$ | (x^2 + y_1^2) - (x^2 + y_2^2)| \le L \cdot |y_1 - y_2| $$ | ...
  14. Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren
    Gewöhnliche Differentialgleichungen > Picard-Lindelöf > Picard-Lindelöfsches Iterationsverfahren
    ... (x) := y_0 + \int_{x_0}^x f(t,y_n (t))dt $.Anwendungsbeispiel: Iterationsverfahren von Picard-LindelöfMan Löse iterativ das Anfangswertproblem $\ y' = 2xy $ mit  $ y(0) := 1 $.  Aus der Anfangsbedingung $y(0) = 1$ kann abgelesen werden: $x_0 = 0$ und $y_0 = 1$$\ y_0 (x) \equiv 1 $$\ y_1 (x) = 1 + \int\limits_0^x 2t \cdot 1 \ dt = 1 + [t^2] = 1 + x^2 - 0 = 1 + x^2 $$\ y_2 (x) = 1 + \int\limits_0^x 2t \cdot (1 + t^2) dt = 1 + \int\limits_0^x  2t + 2t^3 \ dt$$= 1 + 2 \int\limits_0^x ...
Analysis und Gewhnliche Differentialgleichungen
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Anorganische Chemie

  1. Beispiel 3: Thermische Zustandsgleichung idealer Gase
    Aggregatzustände > Gase > Thermische Zustandsgleichung, spezielle Gaskonstante > Beispiel 3: Thermische Zustandsgleichung idealer Gase
    Beispiel U-Rohr thermische Zustandsgleichung
    Gegeben sei wieder das in Anwendungsbeispiel 2 gegebene U-Rohr-Manometer, mit der mit Stickstoff gefüllten geschlossenen Säule.Die Angaben sind der Grafik zu entnehmen.Es wird der Säule nun Wärme zugeführt, was dazu führt, dass sich der Stickstoff in der linken Säule um 20mm ausbreitet. Die Druckänderung im Behälter sowie die Dichte- und Längenänderung des Quecksilbers können dabei vernachlässigt werden.Wie groß ist die Temperaturdifferenz ...
  2. Elektronegativität
    Elemente des Periodensystems > Stoffeigenschaften > Elektronegativität
    Fluorwasserstoff
    ... rechts im Periodensystem zu finden sind. Anwendungsbeispiel Fluorwasserstoff-MolekülZum besseren Verständnis folgt nun ein Beispiel veranschaulicht durch die chemische Bindung zwischen einem Wasserstoff-Atom und einem Fluor-Atom. Diese Bindung zählt zu den kovalenten Bindungen, bei der sich Elektronenpaare binden. Dabei stellen beide Bindungspartner je ein Elektron zur Verfügung.FluorwasserstoffBeide haben unterschiedliche Elektronegativitäten:Wasserstoff: EN(H) ...
  3. Ionisierungsenergie
    Elemente des Periodensystems > Stoffeigenschaften > Ionisierungsenergie
    Anionen und Kationen
    ... PeriodeIonisierungsenergie der 2. und 3. PeriodeAnwendungsbeispiel Ionisierung von NatriumIn diesem Beispiel betrachten wir die Ionisierung von Natrium (Na). Die Reaktionsgleichung hierbei ist folgende:ReaktionsgleichungIn unserem Beispiel hat das zuvor neutrale Atom immer noch die identische Anzahl von Protonen $ p^+ $ im Atomkern, jedoch ein Elektron $ e^-$ weniger in der Atomhülle. Daraus resultiert auch das hochgestellte Plus in der Reaktionsgleichung $ Na^+ $. Das Natrium trägt nun ...
  4. Elektronenaffinität
    Elemente des Periodensystems > Stoffeigenschaften > Elektronenaffinität
    Elektronenaffinitt der 2. und 3. Periode
    ... für diese Elemente. Anwendungsbeispiel Ionisierung von ChlorIn diesem Beispiel betrachten wir nun die Ionisierung von Chlor (Cl). Die Reaktionsgleichung ist die folgende:ReaktionsgleichungWie im Beispiel des vorangegangenen Kurstextes war das Chlor-Atom vor der Ionisierung neutral. Nach der Ionisierung liegt ein Elektron $ e^- $ mehr in der Atomhülle vor. Deshalb resultiert das hochgestellte Minus in der Reaktionsgleichung $ Cl^- $. Aus dem Chlor wird dann ein Chloridion.Ionisierung ...
  5. Reaktionsenergie, Reaktionsenthalpie, Satz von Hess
    Chemisches Rechnen, Grundrechenarten > Reaktionsenergie, Reaktionsenthalpie, Satz von Hess
    Reaktionsenthalpie
    ... vom Zustand der Pro- und Edukte ab. Anwendungsbeispiel zum Satz von Hess:Es soll die Reaktionsenthalpie von Kohlenmonoxid bestimmt werden. Es wird eine einstufige und eine zweistufige Betrachtung vorgenommen:Experimentelle Bestimmung (2-stufig): $ C + O_2 \rightarrow CO_2 $ mit der Enthalpie: $ \triangle H_R (1) = - 393,5 \frac{kJ}{mol} $$ CO + \frac{1}{2} O_2 \rightarrow CO_2 $ mit der Enthalpie: $ \triangle H_R (2) = - 283,5 \frac{kJ}{mol} $Berechnung aus den beiden Enthalpien ...
  6. Wasserstoffbrückenbindungen
    Bindungsarten, Bindungsstärke und Bindungslänge > Wasserstoffbrückenbindungen
    Wasserstoffbrckenbindung
    ... unter den zuvor behandelten Bindungsarten. AnwendungsbeispielWasser besteht aus Wasserstoff und Sauerstoff. Wasserstoff hat eine positive Partialladung und Sauerstoff eine zweifache negative Ladung. Es bildet sich ein Dipol. Dadurch kommt es zur Bildung von Wasserstoffbrückenbindungen. Diese Bindung setzt sich aus zwei Wasserstoffatomen eines Molekül mit einem Sauerstoffatom eines anderen Molekül zusammen.  WasserstoffbrückenbindungOhne diese Wechselwirkung der Wassermoleküle ...
  7. Neutralisation
    Donator-Akzeptor-Prinzip > Neutralisation
    ... Dabei entstehen Wasser und ein Salz. Anwendungsbeispiel:In unserem Beispiel liegt eine wässrige Lösung mit dem pH-Wert von 2 vor.  Über den pH-Wert wissen wir, dass er sich im sauren Bereich befindet. Daraus können wir schließen, dass die Oxoniumionenkonzentration ($[H_3O^+]$) höher ist als die Hydroxidionenkonzentration ($[OH^-]$). Um diese beiden Konzentrationen auszugleichen, müssen wir der sauren Lösung eine Base hinzufügen um den ...
  8. Redoxgleichungen
    Donator-Akzeptor-Prinzip > Redox-Chemie > Redoxgleichungen
    Redoxgleichung
    ... im basischen Milieu ablaufen können. Anwendungsbeispiel:Damit Sie einen optimalen Einstieg in die Materie erhalten, beginnen wir mit einem Beispiel bei dem zwei Lösungen miteinander versetzt werden. Bei der einen Lösung handelt es sich um eine angesäuerte Kaliumiodid-Lösung $ I^- $ und bei der anderen Lösung um eine Wasserstoffperoxid-Lösung $ H_2O_2 $. Neben Wasser $ H_2O $ entsteht bei dieser Redoxreaktion Iod $ I_2 $. Im Nachfolgenden zeigen wir ...
Anorganische Chemie
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Elektrotechnik

  1. Beispiel: Reihenschaltung eines Widerstandes und einer Induktivität
    Wechselstrom > Wechselstromkreise > Wechselstromschaltungen mit R, L und C > Beispiel: Reihenschaltung eines Widerstandes und einer Induktivität
    Reihenschaltung eines Widerstandes und einer Induktivitt
    Übungsbeispiel 1Im ersten Anwendungsbeispiel betrachten wir eine Reihenschaltung eines Widerstandes und einer Induktivität. Reihenschaltung eines Widerstandes und einer Induktivität Reihenschaltung eines Widerstandes und einer InduktivitätIn der obigen Abbildung siehst du einen Widerstand $ R $ und eine Induktivität $ L $. Beide sind innerhalb eines Wechselstromkreises in Reihe geschaltet. Es ist bekannt, dass die Wechselspannung den Effektivwert $ U $ und die Kreisfrequenz ...
  2. Beispiel: Reihenschaltung eines Widerstandes und eines Kondensators
    Wechselstrom > Wechselstromkreise > Wechselstromschaltungen mit R, L und C > Beispiel: Reihenschaltung eines Widerstandes und eines Kondensators
    Reihenschaltung eines Widerstandes und eines Kondensators
    Übungsbeispiel 2:Im zweiten Anwendungsbeispiel ersetzen wir die Induktivität durch einen Kondensator, der mit einem Widerstand in einem Wechselstromkreis in Reihe geschaltet ist. Reihenschaltung eines Widerstandes und eines KondensatorsReihenschaltung eines Widerstandes und eines Kondensators In der obigen Abbildung siehst du einen Widerstand $ R $ und einen Kondensator $ C $. Beide sind innerhalb eines Wechselstromkreises in Reihe geschaltet. Es ist bekannt, dass die ...
  3. Beispiel: Parallelschaltung eines Widerstandes und einer Induktivität
    Wechselstrom > Wechselstromkreise > Wechselstromschaltungen mit R, L und C > Beispiel: Parallelschaltung eines Widerstandes und einer Induktivität
    Parallelschaltung eines Widerstandes und einer Induktivitt mit Zhlpfeilen
    Übungsbeispiel 3Im dritten Anwendungsbeispiel betrachten wir wieder einen Widerstand und eine Induktivität. Beide befinden sich nicht mehr in einer Reihen-, sondern in einer Parallelschaltung. Parallelschaltung eines Widerstandes und einer InduktivitätParallelschaltung eines Widerstandes und einer Induktivität In der obigen Abbildung siehst du erneut einen Widerstand $ R $ und eine Induktivität $ L $. Beide sind diesmal innerhalb eines Wechselstromkreises parallel ...
  4. Beispiel: Parallelschaltung eines Widerstandes und eines Kondensators
    Wechselstrom > Wechselstromkreise > Wechselstromschaltungen mit R, L und C > Beispiel: Parallelschaltung eines Widerstandes und eines Kondensators
    Parallelschaltung eines Widerstandes und eines Kondensators
    Übungsbeispiel 4Im vierten und letzten Anwendungsbeispiel betrachten wir wieder einen Widerstand und einen Kondensator. Beide befinden sich auch nicht mehr in einer Reihen-, sondern in einer Parallelschaltung.Parallelschaltung eines Widerstandes und einer KondensatorParallelschaltung eines Widerstandes und eines Kondensators In der obigen Abbildung entdeckst du erneut einen Widerstand $ R $ und einen Kondensator $ C $. Beide sind diesmal innerhalb eines Wechselstromkreises parallel ...
Elektrotechnik
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Physik

  1. Zweiseitiger Hebel
    Kraftwandler > Hebel > Zweiseitiger Hebel
    Zweiseitiger Hebel, Hebelarm
    ... für alle Hebelformen gleichermaßen.Anwendungsbeispiel: PyramidenbauWir befinden uns im Jahre 1.353 vor Christus im Reich des Pharao Amenophis IV. Wie schon seine Vorgänger beginnt auch er mit Beginn seiner Amtszeit eine Pyramide zu errichten, die später einmal seine ewige Ruhestätte sein soll.Die vielen fleißigen Helfer auf der Baustelle stehen vor einer Mamutaufgabe. Sie sollen mit nur einfachsten Hilfsmitteln, einem zweiseitigen Hebel, Steinquader mit der Masse ...
  2. Statistische Messunsicherheit
    Mathematische Grundlagen > Statistische Messunsicherheit
    ... von dem Mittelwert entfernt sind.Anwendungsbeispiel: VertrauensintervallEin Schraubenhersteller möchte eine Qualitätskontrolle durchführen. Dazu nimmt er eine Stichprobe von 10 Schrauben und untersucht diese hinsichtlich ihres Durchmessers. Die Messungen sind der nachfolgenden Tabelle zu entnehmen:nMessung in mm13,223,532,943,653,263,973,183,092,9102,8Gesucht ist ein Intervall um $\overline{x}$, in dem der wahre Mittelwert $\mu$ mit einer 95-prozentigen Wahrscheinlichkeit ...
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Fahrzeugtechnik

  1. Radabmessungen
    Fahrzeugklassen > Radabmessungen
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    ... Radhalbmessers  $ r_A $ erforderlich. Anwendungsbeispiel:Gegeben sei ein Reifen mit folgenden Angaben (Dimensionen): 195/65 R15. Dieser soll nach einer Normvorgabe auf einer Felge der Größe 6J x 15 montiert werden. Es zeigt sich, dass ein Unterschied zwischen den einzelnen Radhalbmessern besteht. Die Hersteller von Reifen liefern uns folgende Maßangaben:1. Außendurchmesser $ D_A = 645\, mm  \rightarrow $ Mit dieser Angabe können wir den Außenradhalbmesser ...
Fahrzeugtechnik
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