Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Kursüberblick
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    Kursüberblick
    ... für Schritt auf die Themen Stabbeanspruchung, Balkenbiegung, Torsion, Schub, Festigkeitshypothesen, sowie Stabilität und Knickung eingehen. Sie haben jederzeit die Möglichkeit Ihren Umgang mit Definitionen, Formeln und mathematischen Zusammenhängen anhand von Übungsaufgaben zu jedem Themenpunkt zu verbessern. Am Ende eines jeden Kapitels steht eine Abschlussprüfung an, welche das bereits erlernte Wissen aus dem jeweiligen Kapitel überprüft. Wenn Sie sich mit unserem Kurs auf eine Klausur ...
  2. Beanspruchungsarten
    Grundlagen > Beanspruchungsarten
    Beanspruchungsarten
    ... Kraft greift rechts unter dem "freien" Ende des Balken an. Zudem gehe man davon aus, dass die linke Seite des Balkens fest eingespannt sei. Dadurch entsteht ein Biegemoment. Einseitige Biegung 2. Fall Gleich verhält sich dies in der nächsten Abbildung, in der ein Balken beidseitig gelagert ist: Biegung Die Kraft, die mittig am Balken angreift, führt dazu, dass das linke Lager ein rechtsdrehendes Moment besitzt und das rechte Lager ein linksdrehendes Moment. Man kann sich dies am ...
  3. Spannungen im Stab
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab
    Spannungen im Stab
    ... die inneren Spannungen, z.B. eines stützenden Balkens, bestimmt werden. Man berechnet dann z.B. die maximale Spannung und kann abschätzen, wieviel der Balken trägt, bevor er sich verformt oder sogar bricht. Es wird nun ein Stab betrachtet, welcher auf Zug belastet wird. Führt man durch diesen Stab nun einen gedachten Schnitt durch, so sieht man die inneren Spannungen, welche aufgrund der Zugbelastung vorherrschen. Diese Spannungen setzen sich zusammen aus den Normalspannungen $\sigma$, ...
  4. Spannung im Stab (senkrechter Schnitt)
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Spannung im Stab (senkrechter Schnitt)
    Spannung im Stab (senkrechter Schnitt)
    ... Bestandteile zerlegt. Senkrechter Schnitt am Balken Im ersten Schnitt wird angenommen, dass der Schnitt im Winkel von 90° [senkrecht] zur Stabachse durchgeführt wird. Es wird sich zeigen, dass bei einem Zugstab (bzw. Druckstab) durch welchen ein senkrechter Schnitt durchgeführt wird, nur Spannungen in Richtung der Stabachse (= Normalspannungen) auftreten. Im vorherigen Abschnitt wurde gezeigt, dass die Normalkraft die Zusammenfassung der Normalspannungen darstellt und senkrecht auf der ...
  5. Spannungen im Stab (Schnitt mit Winkel)
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Spannungen im Stab (Schnitt mit Winkel)
    Spannungen im Stab (Schnitt mit Winkel)
    ... Schnitt): Senkrecht geschnittener Balken Horizontale Gleichgewichtsbedingung zur Bestimmung der Normalkraft $N$: $\rightarrow: -F + N = 0 \rightarrow N = F$ Berechnung der Normalspannung: $\sigma_0 = \frac{N}{A} \rightarrow \sigma_0 =  \frac{F}{A} $ Schubspannungen $\tau $ mit einem Schubkraftanteil $ T $ treten nicht auf (siehe vorherigen Abschnitt), weshalb die Normalspannung in diesem Fall mit $\sigma_0$ bezeichnet wird. Spannungen bei einem Schnitt mit Winkel Als nächstes ...
  6. Beispiel zu Spannungen im Stab: Hängender Zugstab
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Beispiel zu Spannungen im Stab: Hängender Zugstab
    Beispiel zu Spannungen im Stab: Hängender Zugstab
    ... Zugstab Gegeben sei der obige Balken (1m breit, 10m lang), welcher an einem Stab $d = 0,15 m$ befestigt ist. Der Stab ist mittels eines Hakens an der Wand befestigt. Der Balken hat ein Eigengewicht von $F_{Balken} = 50 N$. Auf dem Balken befindet sich eine gleichmäßig verteilte Schneedecke (Flächenlast), mit $q_0 = 2 N/m^2$. Die Stabkraft soll vernachlässigt werden. Wie groß muss die Hakenkraft mindestens sein, damit diese den Balken samt Schneedecke trägt? Wie groß sind ...
  7. Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Gewichtskraft)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab) > Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Gewichtskraft)
    Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Gewichtskraft)
    ... es sich allerdings um einen gewichtslosen Balken mit einer Kraft $G = 10N$, welche am Stabende angreift: Normalkraft und Stabverlängerung In der obigen Grafik ist der eingespannte Stab zu sehen. Diesmal soll die Gewichtskraft des Balkens so klein sein, dass diese vernachlässigt werden kann. Am Stabende greift eine Kraft $G = 10 N$ an. Der Stab besitzt die Länge $l = 20 cm$ und den Querschnitt $A = 50 cm^2$. Der Stab besteht aus Blei mit $E = 19 \frac{kN}{mm^2}$. Bestimmen Sie die ...
  8. Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (mit Gewichtskraft)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab) > Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (mit Gewichtskraft)
    Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (mit Gewichtskraft)
    In diesem Abschnitt soll nun ein Balken mit einem Eigengewicht von $G = 10 N$ und einer am Stabende angreifenden Kraft von $F = 10 N$ betrachtet werden: Normalkraft und Stabverlängerung In der obigen Grafik ist ein eingespannter Stab aus Blei ($E = 19 \frac{kN}{mm^2}$). Der Stab besitzt ein Eigengewicht von $G = 10 N$ und wird am Ende durch eine Kraft von $F = 10 N$ belastet. Die Länge des Stabes betrage $l = 20 cm$ und die Querschnittsfläche sei $A = 50 cm^2$. Wie groß ist die Normalspannung ...
  9. Balkenbiegung
    Balkenbiegung
    ... widmet sich der Biegebeanspruchung an einem Balken. Ein Balken kann als Bauteil sowohl Kräfte in Längsrichtung, als auch Kräfte in Querrichtung zur Stabachse übertragen. Auch die Übertragung von Biegemomenten ist am Balken möglich, weshalb auch oft synonym von einem Biegebalken gesprochen wird.  Arten von Balken Balken finden sich in verschiedensten Variationen in der Technik und Bautechnik wieder. Im Folgenden eine kleine Auswahl von Balken per Definition: - Rohrsysteme, - Dachkonstruktionen, - ...
  10. Arten der Biegung
    Balkenbiegung > Arten der Biegung
    Arten der Biegung
    ... größer sind als deren Querschnitte, also z.B. Balken und Bögen. In diesem Abschnitt werden die verschiedenen Arten der Biegung aufgezeigt.  Belastungsarten Es werden die zwei folgenden Arten der Biegung anhand der Art der Belastung voneinander unterschieden: Die reine Biegung: Bei der reinen Biegung erfolgt die Biegung des Bauteils durch das Aufbringen von zwei Biegemomenten am Ende des Bauteils.  Die Querkraft-Biegung: Bei der Querkraftbiegung erfolgt die Biegung des Bauteils durch ...
  11. Flächenträgheitsmomente
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente
    ... Größe, welche sich aus dem Querschnitt eines Balkens ableitet. Wie der Elastizitätsmodul ist auch das Flächenträgheitsmoment ein Maß für die Steifigkeit eines ebenen Querschnitts gegen Biegung. Nur mit dem Unterschied, dass der E-Modul den Werkstoff charakterisiert. Mit diesem Maß lassen sich Verformungen und Spannungen berechnen, die infolge von Biege- und Torsionsbeanspruchungen auftreten. Es ist also ein Maß für den Widerstand eines Bauteils gegen Biegung.   Das Flächenträgheitsmoment ...
  12. Flächenträgheitsmomente: Definition
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Flächenträgheitsmomente: Definition
    Flächenträgheitsmomente: Definition
    ... $ bzw. $ I_{zz}$ wird die Verbiegung eines Balkens unter Belastung in Abhängigkeit des Querschnitts umfassend beschrieben. Je größer das axiale Flächenträgheitsmoment, desto kleiner die Verbiegung und infolgedessen die im Querschnitt entstehenden inneren Belastungen. Es gilt, dass das axiale Flächenträgheitsmoment stets $ > 0 $ ist. Formal gilt: $\ I_{yy} = I_y = \int_A z^2 dA$        axiales Flächenträgheitsmoment bzgl. der $y$-Achse $\ I_{zz} = I_z = \int_A y^2 dA$   ...
  13. Hauptträgheitsmomente / Hauptachsen
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Hauptträgheitsmomente / Hauptachsen
    Hauptträgheitsmomente / Hauptachsen
    ... Der obige rechteckige Querschnitt eines Balkens hat die Flächenträgheitsmomente: $I_y = \frac{a^3b}{12}$ $I_z =  \frac{b^3a}{12}$ $I_{yz} = 0$. Das bedeutet die Flächenträgheitsmomente sind auch gleichzeitig die Hauptträgheitsmomente, da das Deviationsmoment $I_{yz} = 0$ ist. Das liegt daran, dass mindestens eine Achse eine Symmetrieachse darstellt. In diesem Fall stellen beide Achsen eine Symmetrieachse dar. Es handelt sich also um ein doppelt symmetrischen Querschnitt. Die ...
  14. Gerade bzw. einachsige Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung
    Gerade bzw. einachsige Biegung
    ... Dabei sei das Profil des betrachteten Balkens einfach oder doppelt symmetrisch bezüglich der $y,z$-Achsen. Das bedeutet, dass die $y,z$-Achsen des Querschnittes auch gleichzeitig die Hauptachsen darstellen. Für die einachsige Biegung werden im folgenden Balken betrachtet, die durch eine resultierende Kraft in $z$-Richtung belastet werden. Dies führt zu einem Moment um die $y$-Achse (einachsige Biegung).  Gegeben sei der folgende durch zwei Kräfte belastete Balken. Die Belastung ...
  15. Reine Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Reine Biegung
    Reine Biegung
    ... man einen Zustand, in welchem im Balken ein konstantes und querkraftfreies Biegemoment vorliegt. Der Zustand der reinen Biegung kann im gesamten Balken vorliegen oder nur in Teilbereichen.  Reine Biegung In der obigen Grafik ist die reine Biegung zu sehen. Bei dieser ist das Biegemoment konstant. Es sollen am Beispiel der reinen Biegung die Gleichungen für die Ermittlung der Spannungen und Deformationen bestimmt werden, die bei einer Biegung von Balken auftreten. Bei der ...
  16. Normalspannung bei reiner Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Reine Biegung > Normalspannung bei reiner Biegung
    Normalspannung bei reiner Biegung
    ... natürlich auch wieder einen Schnitt durch den Balken durchführen und die Schnittgrößen Querkraft, Normalkraft und Biegemoment einzeichnen. Da keine äußeren vertikalen Kräfte und keine äußeren horizontalen Kräfte auf den Balken wirken (sondern nur Momente), nehmen Querkraft und Normalkraft den Wert null an. Im Bereich der reinen Biegung treten nur Normalspannungen $\sigma_x $ auf: Normalspannungen bei reiner Biegung Für die Beziehung zwischen der Spannungsverteilung für $\sigma_x ...
  17. Maximale Normalspannung bei reiner Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Reine Biegung > Maximale Normalspannung bei reiner Biegung
    Maximale Normalspannung bei reiner Biegung
    ... 5 \cdot h $ In der folgenden Grafik ist ein Balken unter reiner Biegung veranschaulicht. Der Querschnitt des Balkens ist quadratisch:  Die neutrale Faser verläuft mittig, da der Schwerpunkt des Balkens mit quadratischem Querschnitt genau in der Mitte liegt. Der Verlauf der Normalspannungen wird in der folgenden Grafik veranschaulicht: Das Spannungsmaximum $\sigma_{max}$ und das Spannungsminimum $\sigma_{min}$ findet man wegen der linearen Verteilung dort, wo der Abstand zur neutralen ...
  18. Widerstandsmoment bei reiner Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Reine Biegung > Widerstandsmoment bei reiner Biegung
    Widerstandsmoment bei reiner Biegung
    ... neutralen Faser In der obigen Grafik ist ein Balken gegeben, welcher einen rechteckigen Querschnitt aufweist. Der Schwerpunkt liegt demnach in der Mitte des Querschnittes bei $\frac{z}{2}$ und $\frac{b}{2}$. Die neutrale Faser verläuft durch diesen Schwerpunkt. Die Abstände von der neutralen Faser zu den Rändern $z_1$ und $z_2$ sind identisch. Daraus folgt $z_{max} = z_1 = z_2$. Maximaler Abstand von der neutralen Faser In der obigen Grafik ist ein Balken mit einem trapezförmigen Querschnitt ...
  19. Querkraftbiegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Querkraftbiegung
    Querkraftbiegung
    ... eine äußere Querkraft auf den Balken. Die Belastung findet in der $x,z$-Ebene statt. Das bedeutet, dass ein Moment um die $y$-Achse auftritt und zusätzlich eine Querkraft berücksichtigt werden muss.  Bei der Querkraftbiegung ist im Gegensatz zur reinen Biegung das Schnittmoment nicht konstant und somit veränderlich. Aus der Statik ist bekannt, dass $M'(x) = Q(x) $ und daher gilt hier: $M \not= const \; \rightarrow \; M'(x) \not= 0 \; \rightarrow \;  Q(x) \not= 0$. Es ...
  20. Beispiel: Querkraftbiegung bei einachsiger Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Querkraftbiegung > Beispiel: Querkraftbiegung bei einachsiger Biegung
    Beispiel: Querkraftbiegung bei einachsiger Biegung
    ... aufgezeigt werden.  Gegeben sei der obige Balken mit rechteckigem Querschnitt. Auf den Balken wirkt am Ende eine Kraft von $F = 150 N$. Bestimmen Sie die maximale Normalspannung und die maximale Schubspannung für den Schnitt bei $x = 3m$. Bestimmung der Auflagerreaktionen Zunächst werden die Auflagerreaktionen bestimmt, indem der Balken von außen freigeschnitten wird: Es werden die drei Gleichgewichtsbedingungen der Ebene angewandt: $\uparrow : A_v - F = 0$ $A_v = F = 150 N$ $\rightarrow: ...
  21. Beispiel: Spannungsmaximum bei reiner Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Beispiele: Normalspannungen bei einachsiger Balkenbiegung > Beispiel: Spannungsmaximum bei reiner Biegung
    Beispiel: Spannungsmaximum bei reiner Biegung
    ... Reine Biegung Gegeben sei der obige Balken mit einem einfach symmetrischen trapezförmigen Querschnitt. Der Balken ist fest eingespannt. Es soll das Widerstandsmoment und die maximale sowie minimale Normalspannung bestimmt werden. Zunächst wird der Balken freigeschnitten: Es folgt nun die Bestimmung der Lagerkräfte. Die Einspannung ist ein dreiwertiges Lager (siehe obige Grafik). Die Lagerkräfte werden am ungeschnittenem Balken mittels der drei Gleichgewichtsbedingungen bestimmt: $\rightarrow ...
  22. Beispiel: Widerstandsmoment, zulässige Spannung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Beispiele: Normalspannungen bei einachsiger Balkenbiegung > Beispiel: Widerstandsmoment, zulässige Spannung
    Beispiel: Widerstandsmoment, zulässige Spannung
    ... berechnen Gegeben sei der folgende Balken mit quadratischem Kastenquerschnitt der Dicke $b = 20 mm$, der Breite $a$ und der Länge $l = 20m$. Das zulässige $\sigma_{zul}$ sei $150 N /mm^2$ und darf nicht überschritten werden. Die äußere Belastung sei $F = 100kN$. Wie groß müssen die Seitenlängen $a$ dann sein? Da der Querschnitt vorgegeben ist, gilt folgende Gleichung: $\sigma_{zul} \ge \frac{|M_y|}{W_b}$   Berechnung des Biegemoments Dieses wird aus den Gleichgewichtsbedingungen ...
  23. Balkenverformung bei einachsiger Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung
    Balkenverformung bei einachsiger Biegung
    ... auch Aussagen bezüglich Verformungen des Balkens zu treffen. Die Verformung eines durch Biegung belasteten Balkens nennt man Durchbiegung. Die zugehörige Funktion hat den Ausdruck $ w(x) $ und beschreibt die Form der gebogenen Balkenachse. Die Definition für die Durchbiegung ist wie folgt: Unter der Durchbiegung eines Balkens versteht man die Biegelinie der neutralen Faser, die auch als elastische Linie bezeichnet wird.  Balkenverformung In den nachfolgenden Abschnitten werden ...
  24. Differentialgleichung der elastischen Biegelinie
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Differentialgleichung der elastischen Biegelinie
    Differentialgleichung der elastischen Biegelinie
    ...      Schubsteifigkeit Da im Folgenden der Balken aufgrund der Verhältnisse der Längenabmessungen zueinander als schubstarr angenommen wird, nimmt die Schubsteifigkeit sehr hohe Werte an ($GA_s \to \infty$).  Wenn $G \cdot A_s \rightarrow \infty$, dann läuft die Gleitung $\gamma$ gegen null. $\ \gamma = (w' + \varphi) = 0  \; \rightarrow \; w' = - \varphi $  Hier erkennt man, dass die Ableitung der Durchbiegekurve $w(x)$ der negativen Neigung eines Balkenquerschnitts entspricht.  Betrachtet ...
  25. Lösung der Differentialgleichung (elastische Biegelinie)
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Lösung der Differentialgleichung (elastische Biegelinie)
    ... zu können, die aufgrund der Belastung am Balken auftritt. Es wird immernoch die einachsige Biegung betrachtet. Auflösen der Differentialgleichung der Biegelinie Um die Differentialgleichung zu lösen, startet man mit der Differentialgleichung der Biegelinie und integriert diese zweimal: $EI \cdot w'' = - M_y(x)$ mit $EI$ Biegesteifigkeit $E$ Elastizitätsmodul $I_y$ Flächenträgheitsmoment bezüglich der y-Achse (Querschnitt) $M_y(x)$ Momentenverlauf (Schnittgröße) Zur Integration ...
  26. Lösung von Einbereichsaufgaben (Biegelinie)
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle > Lösung von Einbereichsaufgaben (Biegelinie)
    Lösung von Einbereichsaufgaben (Biegelinie)
    ... wird die Vorgehensweise zur Berechnung des Balkens für Einbereichsaufgaben erläutert. Hierzu wird das Vorgehen, welches im Abschnitt Differentialgleichung der elastischen Linie beschrieben wird, angewandt. Eine Einbereichsaufgabe ist gegeben, wenn der Momentenverlauf $M(x)$ durch eine einzige Funktion für den gesamten Balken beschrieben werden kann. Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn auf dem gesamten Balken eine konstante Streckenlast wirkt oder eine Kraft oder ein Moment am Ende des ...
  27. Biegelinie mit Streckenlast
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle > Biegelinie mit Streckenlast
    Biegelinie mit Streckenlast
    ... bestimmt wird, wenn eine Streckenlast auf den Balken wirkt.  Beispiel 1: Bestimmung der Durchbiegung Gegeben sei der obige Balken, auf dem eine Streckenlast wirkt. Die Biegesteifigkeit sei konstant. Bestimme die Biegelinie! Die Formel für die Berechnung der Biegelinie ergibt sich zu: $EIw^{IV} = q(x)$ Die Streckenlast ist über die gesamte Balkenlänge konstant, weshalb $q(x) = q_0$: $EIw^{IV} = q_0$ Integrationen Es folgt die 1. Integration: $EIw^{III} = \int q_0 \; dx$ $EIw^{III} ...
  28. Lösung von Mehrbereichsaufgaben (Biegelinie)
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Balkenverformung bei einachsiger Biegung > Rand- und Übergangsbedingungen für verschiedene Lagerungsfälle > Lösung von Mehrbereichsaufgaben (Biegelinie)
    Lösung von Mehrbereichsaufgaben (Biegelinie)
    ... konstanter Momentenverlauf über eine gesamte Balkenlänge vor mit derer sich die Durchbiegung bestimmen lässt, sondern eine abschnittsweise Bestimmung des Momentenverlaufs. Das führt zu zwei Änderungen gegenüber dem vorherigen Schema: 1. Die Differentialgleichung der Biegelinie muss abschnittsweise integriert werden. 2. Neben den Randbedingungen sind nun Übergangsbedingungen für die Übergänge zweier Bereiche zu formulieren.  Unter der Berücksichtigung dieser beiden Punkte lässt ...
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Technische Mechanik 1: Statik

  1. Reaktionskräfte (Zwangskräfte)
    Grundlagen der Technischen Mechanik > Reaktionskräfte (Zwangskräfte)
    Reaktionskräfte (Zwangskräfte)
    ... darstellt, als eingeprägte Kraft. Auf einen Balken, der beispielsweise auf zwei Lagern liegt, wirkt als eingeprägte Kraft die Schwerkraft (bzw. eine vergleichbare Kraft) $G$ nach unten. Aufgrund der zwei Lager wird der Balken nicht in Richtung des Erdmittelpunktes beschleunigt. Das bedeutet also, dass die Lager eine Zwangskraft auf den Balken ausüben welche den Balken daran hindern von der Schwerkraft nach unten gezogen zu werden. Zwangskraft Freikörperbild Das Freikörperbild dient ...
  2. Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Bestimmung der Resultierenden > Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie
    Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie
    ... Wirkungslinie Gegeben sei der obige Balken mit den zwei Kräften $F_1 = 37 N$ und $F_2 = 15 N$. Wie groß ist die Resultierende? In welche Richtung zeigt die Resultierende? Es wird zunächst die Vorzeichenkonvention so festgelegt, dass Kräfte die nach oben wirken positiv eingehen und Kräfte die nach unten wirken negativ: $\uparrow: R = F_2 - F_1 = 15N - 37 N = -22N$ Da die Resultierende negativ ist, wirkt diese nach unten (Vorzeichenkonvention!) und liegt auf derselben Wirkungslinie ...
  3. Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Bestimmung der Resultierenden > Kräfte mit unterschiedlicher Wirkungslinie > Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
    Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
    ... einem bestimmten Winkel auf das Bauteil (z.B. Balken) wirken. Diese Kräfte müssen mittels Kräftezerlegung zunächst in ihre $x$- und $y$- Komponenten zerlegt werden.  In der nachfolgenden Grafik ist die Kraft $F$ gegeben. Diese besitzt einen bestimmten Winkel zur Horizontalen, nämlich den Winkel $\alpha$. Diese Kraft wird nun in ihre $x$- und $y$-Komponenten zerlegt. Kräftezerlegung - Komponentendarstellung In der Grafik wurde die Einzelkraft $F $ in ihre Teilkräfte $F_x$ und $F_y$ ...
  4. Kräftegleichgewicht bei mehr als zwei Kräften
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Kräftegleichgewicht in der Ebene > Kräftegleichgewicht bei mehr als zwei Kräften
    Kräftegleichgewicht bei mehr als zwei Kräften
    ... $F_1$, $F_2$ und $F_3$. Befindet sich der Balken im Gleichgewicht, d.h. befindet sich der Balken in Ruhe? Die Antwort kann gegeben werden, wenn hier eine grafische Vektoraddition durchgeführt wird. Liegt ein geschlossenes Krafteck vor, so befindet sich der Balken in Ruhe, ansonsten nicht: Es ist deutlich zu erkennen, dass hier kein geschlossenes Krafteck vorliegt. Um ein geschlossenes Krafteck zu erhalten, muss eine weitere Kraft eingefügt werden. Diese liegt mit ihrem Fuß an der ...
  5. Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    ... Wirkungslinien im Abstand von $h = 8 m$ auf den Balken wirken. Wie groß ist die Resultierende der beiden Kräfte und wo genau liegt sie? Um nun die Resultierende der beiden Kräfte zu bestimmen, werden die Gleichgewichtskräfte $ F_h $ und $ - F_h $ hinzugefügt. Diese sind auf einer gemeinsamen Wirkungslinie, entgegengesetzt zueinander und besitzen den gleichen Betrag. Im Abschnitt Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie wurde gezeigt, dass Kräfte auf einer gemeinsamen Wirkungslinie einfach ...
  6. Kräftepaare und Kräftepaarmomente
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Kräftepaare und Kräftepaarmomente
    Kräftepaare und Kräftepaarmomente
    ... Kräfte $F_1 = 5 N$ und $F_2 = 7 N$ auf einen Balken. Der Bezugspunkt sei $A$. Die Momente werden wie folgt berechnet: $ M_1^A = 5 N \cdot 5m = 25 Nm $ und $ M_2^A = -7 N \cdot 7 m = -49 Nm $.   Im Gegensatz zu einer Einzelkraft ist das Moment nicht an eine Wirkungslinie gebunden und kann, ohne dass sich die Wirkung verändert, beliebig am starren Körper verschoben werden. Wirken an einem starren Körper mehrere Momente, so können diese zu einem resultierenden Moment zusammengefasst ...
  7. Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    ... angebracht werden, damit sich der gewichtslose Balken im Gleichgewicht befindet? Wie groß ist die Lagerkraft? Die beiden Kräfte $F_1$ und $F_2$ sind vertikal gerichtet, weshalb auch die Lagerkraft $F_L$ vertikal gerichtet sein muss. Es wird der Bezugspunkt $X$ gewählt und der Abstand von der Lagerkraft $F_L$ zum Bezugspunkt $X$ mit $a$ bezeichnet: Der Bezugspunkt $X$ wurde gewählt, weil sich dieser auf der Wirkungslinie der Kraft $F_1$ befindet. Das ist bei der späteren Berechnung einfacher, ...
  8. Einzelne parallele Kräfte
    Schwerpunkte > Einzelne parallele Kräfte
    Einzelne parallele Kräfte
    ... Richtung. Denn erst dann besitzt der Balken ein statisches Gleichgewicht. Die Haltekraft ist demnach die Zusammenfassung aller Kräfte, allerdings wirkt diese den Kräften entgegen, um den Balken im Gleichgewicht zu halten. Download: Aufgabe und Lösung zur Haltekraft Download: Aufgabe zur Haltekraft Anwendungsbeispiel: Haltekraft bei parallelen Einzelkräften Haltekraft In der obigen Grafik sind die Kräfte $F_1 = 10 kN$, $F_2 = 20 kN$, $F_3 = 15 kN$ und $F_4 = 18 kN$ ...
  9. Definition von Lagern
    Lagerreaktionen > Definition von Lagern
    Definition von Lagern
    ... dass sie ein Tragwerk, wie beispielsweise einen Balken, Bogen oder Rahmen, mit ihrer Umgebung verbinden. Über diese Verbindung [Lager] können zwei weitere Eigenschaften erfüllt werden: 1. Das Tragwerk wird durch Lager in der gewünschten Position in der Ebene bzw. im Raum gehalten und 2. mithilfe der Lager können Kräfte übertragen werden.  Schon jetzt zeigt sich die besondere Stellung von Lagern für die Gestaltung von Tragwerken.  Auch hier gilt nach wie vor das Wechselwirkungsgesetz. ...
  10. Statische Bestimmtheit ebener Tragwerke
    Lagerreaktionen > Statische Bestimmtheit ebener Tragwerke
    ... Ein veranschaulichendes Beispiel stellt ein Balken dar, welcher mit einem Loslager und einem Festlager gelagert ist. Das Festlager kann zwei Kräfte $ A_V $ und $ A_H $ übertragen und das Loslager nur die Kraft $ B $. Es sind somit $ r = 3 $ Lagerreaktionen gegeben, wodurch die Anzahl der Freiheitsgrade mit $ f = 3 - r = 0 $ auf null reduziert wird. Man sagt: Der Balken ist statisch bestimmt! Mithilfe der drei Gleichgewichtsbedingungen können die drei Lagerkräfte berechnet werden. Es gilt ...
  11. Lagerreaktionsberechnung ebener Tragwerke
    Lagerreaktionen > Lagerreaktionsberechnung ebener Tragwerke
    Lagerreaktionsberechnung ebener Tragwerke
    ... In der unteren Abbildung ist ein Balken dargestellt, der auf einem Festlager $A$ und einem Loslager $ B$ gelagert ist. Zudem wirkt auf ihn die Kraft $ F = 20 kN $ im Winkel $\alpha = 50 ° $. Es gilt nun die unbekannten Lagerreaktionen zu bestimmen.  Beispiel: Bestimmung der Lagerreaktionen Zur Berechnung der Lagerreaktionen benötigt man die drei Gleichgewichtsbedingungen $R_x = 0$, $R_y = 0$ und $M = 0$. Es müssen alle von außen wirkenden Kräfte, die auf den Balken ...
  12. Anwendungsbeispiel Gelenkbalken
    Lagerreaktionen > Statische Bestimmheit mehrteiliger Tragwerke > Anwendungsbeispiel Gelenkbalken
    Anwendungsbeispiel Gelenkbalken
    Es ist häufig notwendig an einem Balken mehr als zwei Lager anzubringen. Das führt dazu, dass der Balken aber nicht mehr statisch bestimmt ist. Liegt keine statische Bestimmtheit vor, so kann man die Lagerkräfte nicht mehr aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmen. Um dieses Problem zu beheben, kann man Gelenke einfügen und den Balken somit in mehrere Teilbalken zerlegen. Um zu zeigen, wie das gemacht wird, folgt ein Beispiel. Anwendungsbeispiel: Gelenkbalken Gegeben sei der obige Balken ...
  13. Beispiel 2: Ritterschnittverfahren
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Rittersches Schnittverfahren > Beispiel 2: Ritterschnittverfahren
    Beispiel 2: Ritterschnittverfahren
    ... des rechten Teilbalkens herangezogen, ebenfalls bezüglich des roten Bezugspunktes: $\curvearrowleft : B \cdot 12,5 m - S_3 \cdot 8m = 0$ $S_3 = \frac{B \cdot 12,5 m}{8 m} = \frac{9,5 N \cdot 12,5 m}{8 m} = 14,84 N$. Die Stabkräfte stimmen überein. Die Stabkraft $S_3$ beträgt 14,84 N.
  14. Seileckverfahren
    Grafische Verfahren > Seileckverfahren
    Seileckverfahren
    ... angepasst werden. Selbes gilt auch für den Balken. Diese Vorgehensweise folgt in einem späteren Beispiel. Wir beginnen zunächst damit die Richtung und Länge der Resultierenden zu bestimmen, indem wir die grafische Vektoraddition durchführen. Die grafische Vektoraddition ist bereits im 1. Kapitel ausführlich behandelt worden, soll aber der Übersicht halber nochmals aufgeführt werden. Bei der grafischen Vektoraddition werden die gegebenen Einzelkräfte in einer beliebigen Reihenfolge ...
  15. Schnittmethode und Schnittgrößen
    Schnittmethode und Schnittgrößen
    Schnittmethode und Schnittgrößen
    ... mit Hilfe eines senkrechten Schnitts zur Balkenachse. Die über die gesamte Querschnittfläche verteilten Kräfte werden der Vereinfachung halber durch die Resultierende $\ R $ und das resultierende Moment [Biegemoment] $\ M $ ausgedrückt. Der Punkt von dem aus die Resultierende und das resultierende Moment wirken, ist gleich dem Schwerpunkt $ S $ der Querschnittfläche. Zerlegt man die Resultierende $ R $ in ihre Komponenten, so erhält man zudem Kenntnis bezüglich der Normalkräfte $ ...
  16. Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
    Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
    Im Folgenden sollen die Schnittgrößen eines Balkens bestimmt werden. Betrachtet werden in diesem Fall nur Kräfte, die senkrecht zur Längsachse $ Q $ wirken, sowie Momente $ M $, die auf den Balken wirken.  Zusatz: Die letzten drei Videos unten auf dieser Seite zeigen auch die Bestimmung der Schnittgrößen, wenn eine Kraft mit Winkel am Balken angreift! Für die Bestimmung der Schnittgrößen am Balken empfiehlt sich die folgende Vorgehensweise: 1. Festlegung des Koordinatensystems, ...
  17. Schnittgrößen: Streckenlast am Balken
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Streckenlast am Balken
    Schnittgrößen: Streckenlast am Balken
    ... zeigt einen durch eine Streckenlast belasteten Balken, aus dem ein Element der infinitesimalen Länge $ dx$ herausgeschnitten wird. Grafik b zeigt nun das herausgeschnittene Element der infinitesimalen Länge $dx$. Die verteilte Last wird ersetzt durch eine Einzellast der Größe $\ dF = q(x) \; dx $ und greift hier im Schwerpunkt des herausgeschnittenen Elementes an. An der betrachteten Schnittstelle $ x $ (links) wirken sowohl Biegemoment $ M $, als auch die Querkraft $ Q $. Betrachtet ...
  18. Streckenlast: Schnittgrößen durch Integration
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    Streckenlast: Schnittgrößen durch Integration
    ... Biegemoment und Querkraft an den Rändern eines Balkens. Im Folgenden soll anhand eines Beispiels die Integration und die Bestimmung der Randbedingungen anhand eines Balkens auf welchen eine konstante Streckenlast wirkt, dargestellt werden. Es werden dann die Integrationskonstanten bestimmt und zuletzt die Querkraft sowie das Biegemoment. Konstante Streckenlast Integration Aus der betrachteten Abbildung ergibt sich, dass die abgebildete Streckenlast überall gleich groß ist. Das bedeutet ...
  19. Streckenlast: Schnittgrößen anhand der Gleichgewichtsbedingungen
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    Streckenlast: Schnittgrößen anhand der Gleichgewichtsbedingungen
    ... Verteilte Last In der Grafik ist ein Balken dargestellt auf den eine konstant verteilte Last wirkt sowie das Festlager $A$ und das Loslager $B$. Der Balken besitzt die Länge $l$. Es wird die verteilte Last mit $q_0 \cdot l$ (also die Einzelkraft multipliziert mit der Länge des Balkens) in den Schwerpunkt der Streckenlast gelegt, also vom Lager $A$ aus gesehen bei $\frac{l}{2}$. Lagerreaktionen Im Gegensatz zur Integration müssen die Lagerreaktionen bei diesem Verfahren bestimmt ...
  20. Schnittgrößen am Rahmen
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    Schnittgrößen am Rahmen
    ... bezüglich der Schnittgrößenbestimmung am Balken getroffen wurden, lassen sich allgemein auch auf Rahmen übertragen. Rahmen sind Tragwerke von starr miteinander verbundenen abgewinkelten Balken. Jedoch gilt zu beachten, dass in diesem Abschnitt nur Rahmen mit geraden Rahmenteilen betrachtet werden, und Bögen davon ausgenommen sind.  Die Bestimmung der Schnittgrößen am Rahmen erfolgt punktweise, dh. es werden Punkte am Rahmen gewählt aus deren Gleichgewicht am geschnittenen Rahmen die ...
  21. Schnittgrößen an räumlichen Tragwerken
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    ... der Bestimmung der Schnittgrößen am ebenen Balken. Der Unterschied besteht darin, dass nun eine Betrachtung der Kräfte in alle drei Richtungen [x,y,z] stattfindet.  Dies lässt sich beispielsweise an einem fest in die Wand eingelassenen Stab verdeutlichen. Dieser Stab wird durch mehrere Kräfte und Momente belastet.  Alle Kräfte lassen sich bei räumlichen Tragwerken zu einer Resultierenden $ R $ und alle Momente lassen sich zu einem resultierenden Moment $ M $ zusammenfassen. Hierbei ...
  22. Föppl-Klammer
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    Föppl-Klammer
    ... Föppl-Klammer Gegeben sei der obige Balken, der durch die Kraft $F = 20N$ mit $\alpha = 50°$ und durch das Moment $M = 40 Nm$ belastet ist. Die Abstände seien $l_1 = 5m$, $l_2 = 12m$ und $l_3 = 16m$. Bestimmen Sie die Schnittgrößenbereiche und geben Sie diese mit der Föppl-Klammer an. Lagerkräfte bestimmen Zunächst werden die Lagerkräfte $A_h$, $A_v$ und $B$ bestimmt.  Es wird zunächst die vertikale Gleichgewichtsbedingung betrachtet: $\downarrow : \; -A_v + F \sin(\alpha) ...
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