Technische Mechanik 1: Statik

  1. Reaktionskräfte (Zwangskräfte)
    Grundlagen der Technischen Mechanik > Reaktionskräfte (Zwangskräfte)
    Zwangskraft
    ... darstellt, als eingeprägte Kraft.Auf einen Balken, der beispielsweise auf zwei Lagern liegt, wirkt als eingeprägte Kraft die Schwerkraft (bzw. eine vergleichbare Kraft) $G$ nach unten. Aufgrund der zwei Lager wird der Balken nicht in Richtung des Erdmittelpunktes beschleunigt. Das bedeutet also, dass die Lager eine Zwangskraft (Reaktionskraft) auf den Balken ausüben, welche den Balken daran hindern von der Schwerkraft nach unten gezogen zu werden.Zwangskraft FreikörperbildDas ...
  2. Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende analytisch bestimmen > Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie
    Addition von Krften
    ... gemeinsamer WirkungslinieGegeben sei der obige Balken mit den zwei Kräften $F_1 = 37 N$ und $F_2 = 15 N$. Wie groß ist die Resultierende? In welche Richtung zeigt die Resultierende?Es wird zunächst die Vorzeichenkonvention so festgelegt, dass Kräfte die nach oben wirken positiv eingehen und Kräfte die nach unten wirken negativ:$\uparrow: R = F_2 - F_1 = 15N - 37 N = -22N$Da die Resultierende negativ ist, wirkt diese nach unten (Vorzeichenkonvention!) und liegt auf derselben ...
  3. Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Resultierende analytisch bestimmen > Kräfte mit unterschiedlicher Wirkungslinie > Mehrere Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt
    Krftezerlegung
    ... einem bestimmten Winkel auf das Bauteil (z.B. Balken) wirken. Diese Kräfte müssen mittels Kräftezerlegung zunächst in ihre $x$- und $y$- Komponenten zerlegt werden. In der nachfolgenden Grafik ist die Kraft $F$ gegeben. Diese besitzt einen bestimmten Winkel zur Horizontalen, nämlich den Winkel $\alpha$. Diese Kraft wirkt also zum Teil in $x$- als auch in $y$-Richtung. Diese Kraft wird nun in ihre $x$- und $y$-Komponenten zerlegt.Kräftezerlegung - KomponentendarstellungIn ...
  4. Kräftegleichgewicht bei mehr als zwei Kräften
    Einzelkräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt > Kräftegleichgewicht in der Ebene > Kräftegleichgewicht bei mehr als zwei Kräften
    Krftegleichgewicht ermitteln
    ... $F_1$, $F_2$ und $F_3$. Befindet sich der Balken im Gleichgewicht, d.h. befindet sich der Balken in Ruhe? Die Antwort kann gegeben werden, wenn hier eine grafische Vektoraddition durchgeführt wird. Liegt ein geschlossenes Krafteck vor, so befindet sich der Balken in Ruhe, ansonsten nicht: Es ist deutlich zu erkennen, dass hier kein geschlossenes Krafteck vorliegt. Um ein geschlossenes Krafteck zu erhalten, muss eine weitere Kraft eingefügt werden. Diese liegt mit ihrem ...
  5. Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Kräfte mit parallelen Wirkungslinien
    Parallele Krfte
    ... Wirkungslinien im Abstand von $h = 8 m$ auf den Balken wirken. Wie groß ist die Resultierende der beiden Kräfte und wo genau liegt sie?Um nun die Resultierende der beiden Kräfte zu bestimmen, werden die Gleichgewichtskräfte $ F_h $ und $ - F_h $ hinzugefügt. Diese sind auf einer gemeinsamen Wirkungslinie, entgegengesetzt zueinander und besitzen den gleichen Betrag. Im Abschnitt Kräfte mit gemeinsamer Wirkungslinie wurde gezeigt, dass Kräfte auf einer gemeinsamen ...
  6. Kräftepaare und Kräftepaarmomente
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Kräftepaare und Kräftepaarmomente
    Schraubenzieher und Schraube
    ... $F_1 = 5 N$ und $F_2 = 7 N$ auf einen Balken. Der Bezugspunkt sei $A$.Die Momente werden wie folgt berechnet:$ M_1^A = 5 N \cdot 5m = 25 Nm $ und$ M_2^A = -7 N \cdot 7 m = -49 Nm $.  Im Gegensatz zu einer Einzelkraft ist das Moment nicht an eine Wirkungslinie gebunden und kann, ohne dass sich die Wirkung verändert, beliebig am starren Körper verschoben werden.Wirken an einem starren Körper mehrere Momente, so können diese zu einem resultierenden Moment zusammengefasst ...
  7. Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Gleichgewichtsbedingungen ebener Kräftesysteme
    Beispiel: Gleichgewicht ebener Krftegruppen
    ... angebracht werden, damit sich der gewichtslose Balken im Gleichgewicht befindet? Wie groß ist die Lagerkraft?Die beiden Kräfte $F_1$ und $F_2$ sind vertikal gerichtet, weshalb auch die Lagerkraft $F_L$ vertikal gerichtet sein muss. Es wird der Bezugspunkt $X$ gewählt und der Abstand von der Lagerkraft $F_L$ zum Bezugspunkt $X$ mit $a$ bezeichnet:Der Bezugspunkt $X$ wurde gewählt, weil sich dieser auf der Wirkungslinie der Kraft $F_1$ befindet. Das ist bei der späteren ...
  8. Aufgaben und Lösungen: Ebenes Kräftesystem
    Einzelkräfte mit verschiedenen Angriffspunkten > Ebenes Kräftesystem > Aufgaben und Lösungen: Ebenes Kräftesystem
    Beispiel Stabkrfte Krftezerlegung
    ... nicht an die rechte Ecke setzen (dort wo der Balken einen Knick aufweist), weil wir hier den senkrechten Abstand von $F_1$ und $F_2$ zur Ecke nicht gegeben haben!Wir wählen den Bezugspunkt am Anfang des Balkens bei $F_1$ und wählen die Vorzeichenkonvention, dass alle linksdrehenden Momente positiv berücksichtigt werden. Die Kraft $F_1$ schneidet den Bezugspunkt bereits, weist also keinen senkrechten Abstand zum Bezugspunkt auf und besitzt demnach keinen Hebelarm $M_1 = F \cdot ...
  9. Einzelne parallele Kräfte
    Schwerpunkte > Einzelne parallele Kräfte
    Haltekraft
    ... Richtung. Denn erst dann besitzt der Balken ein statisches Gleichgewicht. Die Haltekraft ist demnach die Zusammenfassung aller Kräfte, allerdings wirkt diese den Kräften entgegen, um den Balken im Gleichgewicht zu halten.Anwendungsbeispiel: Haltekraft bei parallelen EinzelkräftenHaltekraftIn der obigen Grafik sind die Kräfte $F_1 = 10 kN$, $F_2 = 20 kN$, $F_3 = 15 kN$ und $F_4 = 18 kN$ abgebildet, die alle parallel zueinander sind und auf den gewichtslosen Balken ...
  10. Definition von Lagern
    Lagerreaktionen > Definition von Lagern
    Loslager
    ... dass sie ein Tragwerk, wie beispielsweise einen Balken, Bogen oder Rahmen, mit ihrer Umgebung verbinden. Über diese Verbindung [Lager] können zwei weitere Eigenschaften erfüllt werden:1. Das Tragwerk wird durch Lager in der gewünschten Position in der Ebene bzw. im Raum gehalten und2. mithilfe der Lager können Kräfte übertragen werden. Schon jetzt zeigt sich die besondere Stellung von Lagern für die Gestaltung von Tragwerken. Auch hier gilt nach ...
  11. Statische Bestimmtheit ebener Tragwerke
    Lagerreaktionen > Statische Bestimmtheit ebener Tragwerke
    ... ist.Ein veranschaulichendes Beispiel stellt ein Balken dar, welcher mit einem Loslager und einem Festlager gelagert ist. Das Festlager kann zwei Kräfte $ A_V $ und $ A_H $ übertragen und das Loslager nur die Kraft $ B $. Es sind somit $ r = 3 $ Lagerreaktionen gegeben, wodurch die Anzahl der Freiheitsgrade mit $ f = 3 - r = 0 $ auf null reduziert wird. Man sagt:Der Balken ist statisch bestimmt!Mithilfe der drei Gleichgewichtsbedingungen können die drei Lagerkräfte berechnet ...
  12. Lagerreaktionsberechnung ebener Tragwerke
    Lagerreaktionen > Lagerreaktionsberechnung ebener Tragwerke
    Lagerreaktionen
    ... LagerreaktionenIn der unteren Abbildung ist ein Balken dargestellt, der auf einem Festlager $A$ und einem Loslager $ B$ gelagert ist. Zudem wirkt auf ihn die Kraft $ F = 20 kN $ im Winkel $\alpha = 50 ° $. Es gilt nun die unbekannten Lagerreaktionen zu bestimmen. Beispiel: Bestimmung der LagerreaktionenZur Berechnung der Lagerreaktionen benötigt man die drei Gleichgewichtsbedingungen $R_x = 0$, $R_y = 0$ und $M = 0$. Es müssen alle von außen wirkenden Kräfte, die auf ...
  13. Anwendungsbeispiel Gelenkbalken
    Lagerreaktionen > Statische Bestimmheit mehrteiliger Tragwerke > Anwendungsbeispiel Gelenkbalken
    Gelenkbalken Beispiel
    Es ist häufig notwendig an einem Balken mehr als zwei Lager anzubringen. Das führt dazu, dass der Balken aber nicht mehr statisch bestimmt ist. Liegt keine statische Bestimmtheit vor, so kann man die Lagerkräfte nicht mehr aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmen. Um dieses Problem zu beheben, kann man Gelenke einfügen und den Balken somit in mehrere Teilbalken zerlegen. Um zu zeigen, wie das gemacht wird, folgt ein Beispiel.Anwendungsbeispiel: GelenkbalkenGegeben sei der obige ...
  14. Beispiel 2: Ritterschnittverfahren
    Fachwerke > Verfahren zur Bestimmung der Stabkräfte > Rittersches Schnittverfahren > Beispiel 2: Ritterschnittverfahren
    Ritterschnittverfahren Beispiel
    ... des rechten Teilbalkens herangezogen, ebenfalls bezüglich des roten Bezugspunktes:$\curvearrowleft : B \cdot 12,5 m - S_3 \cdot 8m = 0$$S_3 = \frac{B \cdot 12,5 m}{8 m} = \frac{9,5 N \cdot 12,5 m}{8 m} = 14,84 N$.Die Stabkräfte stimmen überein. Die Stabkraft $S_3$ beträgt 14,84 N.
  15. Seileckverfahren
    Grafische Verfahren > Seileckverfahren
    Seileckverfahren grafische Vektoraddition
    ... angepasst werden. Selbes gilt auch für den Balken. Diese Vorgehensweise folgt in einem späteren Beispiel.Wir beginnen zunächst damit die Richtung und Länge der Resultierenden zu bestimmen, indem wir die grafische Vektoraddition durchführen. Die grafische Vektoraddition ist bereits im 1. Kapitel ausführlich behandelt worden, soll aber der Übersicht halber nochmals aufgeführt werden.Bei der grafischen Vektoraddition werden die gegebenen Einzelkräfte in ...
  16. Schnittmethode und Schnittgrößen
    Schnittmethode und Schnittgrößen
    Faser und Achsen
    Die von außen auf einen Balken wirkenden Kräfte (äußere Belastungen) verursachen Kräfte im Inneren des Tragwerks. Diese innere Kräfte werden als Schnittgrößen bezeichnet und beschreiben die Wirkung von äußeren Kräften und Momenten innerhalb eines Bauteils. Die Schnittgrößen geben Aufschluss bezüglich der auftretenden Materialbelastung am Tragwerk, welche für die Bestimmung der Tragfähigkeit und ...
  17. Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Einzelkräfte am Balken
    Schnittgren am Balken Beispiel
    ... sollen die Schnittgrößen eines Balkens bestimmt werden. Betrachtet werden in diesem Fall nur Kräfte, die senkrecht zur Längsachse $ Q $ wirken, sowie Momente $ M $, die auf den Balken wirken. Zusatz: Die letzten drei Videos unten auf dieser Seite zeigen auch die Bestimmung der Schnittgrößen, wenn eine Kraft mit Winkel am Balken angreift!Für die Bestimmung der Schnittgrößen am Balken empfiehlt sich die folgende Vorgehensweise:1. Festlegung ...
  18. Schnittgrößen: Streckenlast am Balken
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Streckenlast am Balken
    Schnittgren bei verteilter Last
    ... zeigt einen durch eine Streckenlast belasteten Balken, aus dem ein Element der infinitesimalen Länge $ dx$ herausgeschnitten wird. Grafik b zeigt nun das herausgeschnittene Element der infinitesimalen Länge $dx$. Die verteilte Last wird ersetzt durch eine Einzellast der Größe$\ dF = q(x) \; dx $und greift hier im Schwerpunkt des herausgeschnittenen Elementes an. An der betrachteten Schnittstelle $ x $ (links) wirken sowohl Biegemoment $ M $, als auch die Querkraft ...
  19. Streckenlast: Schnittgrößen durch Integration
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Streckenlast am Balken > Streckenlast: Schnittgrößen durch Integration
    Schnittgren verteilte Last
    ... und Querkraft an den Rändern eines Balkens.Im Folgenden soll anhand eines Beispiels die Integration und die Bestimmung der Randbedingungen anhand eines Balkens auf welchen eine konstante Streckenlast wirkt, dargestellt werden. Es werden dann die Integrationskonstanten bestimmt und zuletzt die Querkraft sowie das Biegemoment.Konstante StreckenlastIntegrationAus der betrachteten Abbildung ergibt sich, dass die abgebildete Streckenlast überall gleich groß ist. Das bedeutet ...
  20. Streckenlast: Schnittgrößen anhand der Gleichgewichtsbedingungen
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Streckenlast am Balken > Streckenlast: Schnittgrößen anhand der Gleichgewichtsbedingungen
    Verteilte Last Gleichgewichtsbedinungen
    ... betrachtet:Verteilte LastIn der Grafik ist ein Balken dargestellt auf den eine konstant verteilte Last wirkt sowie das Festlager $A$ und das Loslager $B$. Der Balken besitzt die Länge $l$. Es wird die verteilte Last mit $q_0 \cdot l$ (also die Einzelkraft multipliziert mit der Länge des Balkens) in den Schwerpunkt der Streckenlast gelegt, also vom Lager $A$ aus gesehen bei $\frac{l}{2}$.LagerreaktionenIm Gegensatz zur Integration müssen die Lagerreaktionen bei diesem Verfahren bestimmt ...
  21. Aufgabe: Balken mit Streckenlasten
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Balken > Schnittgrößen: Streckenlast am Balken > Aufgabe: Balken mit Streckenlasten
    Schnittgren, Schnittgrenverlauf, Streckenlast, rechteckig, dreieckig
    ... sei der obige Balken, welcher am linken Ende durch eine feste Einspannung gehalten wird. Der Balken wird durch zwei Streckenlasten (dreieckig, rechteckig) belastet. Bestimme die Schnittgrößen und zeichne die Schnittgrößenverläufe.1. Freischnitt und Resultierende der StreckenlastenZunächst schneiden wir den Balken von seinen Lagern frei und bestimmen die Resultierenden der Streckenlasten: Die Resultierende einer Streckenlast ...
  22. Schnittgrößen am Rahmen
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen linienförmiger Tragwerke > Schnittgrößen am Rahmen
    Schnittgren am Rahmen Punkte
    ... der Schnittgrößenbestimmung am Balken getroffen wurden, lassen sich allgemein auch auf Rahmen übertragen. Rahmen sind Tragwerke von starr miteinander verbundenen abgewinkelten Balken. Jedoch gilt zu beachten, dass in diesem Abschnitt nur Rahmen mit geraden Rahmenteilen betrachtet werden, und Bögen davon ausgenommen sind. Die Bestimmung der Schnittgrößen am Rahmen erfolgt punktweise, dh. es werden Punkte am Rahmen gewählt aus deren Gleichgewicht am ...
  23. Schnittgrößen an räumlichen Tragwerken
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Schnittgrößen an räumlichen Tragwerken
    ... der Schnittgrößen am ebenen Balken. Der Unterschied besteht darin, dass nun eine Betrachtung der Kräfte in alle drei Richtungen [x,y,z] stattfindet. Dies lässt sich beispielsweise an einem fest in die Wand eingelassenen Stab verdeutlichen. Dieser Stab wird durch mehrere Kräfte und Momente belastet. Alle Kräfte lassen sich bei räumlichen Tragwerken zu einer Resultierenden $ R $ und alle Momente lassen sich zu einem resultierenden Moment $ M ...
  24. Föppl-Klammer
    Schnittmethode und Schnittgrößen > Föppl-Klammer
    Fppl-Klammer Beispiel Schnittgren
    ... Föppl-KlammerGegeben sei der obige Balken, der durch die Kraft $F = 20N$ mit $\alpha = 50°$ und durch das Moment $M = 40 Nm$ belastet ist. Die Abstände seien $l_1 = 5m$, $l_2 = 12m$ und $l_3 = 16m$. Bestimmen Sie die Schnittgrößenbereiche und geben Sie diese mit der Föppl-Klammer an.Lagerkräfte bestimmenZunächst werden die Lagerkräfte $A_h$, $A_v$ und $B$ bestimmt. Es wird zunächst die vertikale Gleichgewichtsbedingung betrachtet:$\downarrow ...
  25. Definition der Arbeit
    Arbeit > Definition der Arbeit
    Arbeit eines Kraftvektors, infinitesimal, Arbeit, Verschiebung
    ... der obigen Grafik ist ein Balken durch das Festlager $A$ gelenkig gelagert. Bei einer infinitesimalen Drehung des Balkens um das Lager $A$, wird von der Kraft $F_1$ Arbeit geleistet von:$dW = F_1 \cdot ds_1$ Wir können den Weg $ds_1$ auch über den Winkel $d\varphi$ ausdrücken. Dazu wenden wir den Tangens an:$\tan(d\varphi) = \frac{ds_1}{a}$ Für kleine Winkel gilt $\tan(d\varphi) = d\varphi$ und damit:$d\varphi = \frac{ds_1}{a}$Auflösen nach ...
  26. Arbeitssatz
    Arbeit > Arbeitssatz
    Virtuelle Arbeit,
    ... (Festlager übertägt keine Momente, Balken ist demnach drehbar in diesem Lager).Hierbei sind die Kräfte $F_1$ und $F_2$ eingeprägte Kräfte und die Lagerkraft $A$ eine Reaktionskraft.Wir führen die virtuelle Drehung $\delta \varphi$ ein und erhalten damit:$dW = F_1 \cdot a \cdot \delta \varphi - F_2 \cdot b \cdot \delta \varphi$Das Minuszeichen gibt an, dass die Kraft $F_2$ genau entgegengesetzt zum Weg gerichtet ist. Wir behandeln in der Statik nur Körper, ...
  27. Prinzip der virtuellen Arbeit: Schnittgrößen
    Arbeit > Arbeitssatz > Prinzip der virtuellen Arbeit: Schnittgrößen
    Prinzip der virtuellen Arbeit, Momentenverlauf
    ... PdvAGegeben sei der obige Balken, welcher auf einem Festlager und einem Loslager gelagert ist. Es soll der Momentenverlauf zwischen den beiden Lagern mittels Prinzip der virtuellen Arbeit bestimmt werden.1. Bindung lösenIm ersten Schritt lösen wir die gesuchte Bindung. Es soll der Momentenverlauf zwischen den beiden Lagern bestimmt werden, demnach ist die zu lösenden Bindung das Schnittmoment $M$. Das Moment wird sichtbar, wenn ein Schnitt durch den Balken ...
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Technische Mechanik 2: Elastostatik

  1. Balkenverformung infolge von Schub
    Schub > Balkenverformung infolge von Schub
    Beitrag des Schubs zur Balkenverformung
    In diesem Abschnitt wird auf die Balkenverformung infolge von Schub eingegangen. Im Kapitel Biegung ist bereits die Durchbiegung des Balkens betrachtet worden. Dort wurde die Differentialgleichung der Biegelinie hergeleitet, wobei davon ausgegangen wurde, dass der durch eine Querkraft belastete Balken schubstarr ist und die Bernoullische Normalenhypothese gilt. Die Differentialgleichung der Biegelinie für gerade Biegung ergab dabei:$w''_B = -\frac{M_y}{EI_y}$          ...
  2. Kursüberblick
    Grundlagen > Kursüberblick
    ... Schritt auf die Themen Stabbeanspruchung, Balkenbiegung, Torsion, Schub, Festigkeitshypothesen, sowie Stabilität und Knickung eingehen. Sie haben jederzeit die Möglichkeit Ihren Umgang mit Definitionen, Formeln und mathematischen Zusammenhängen anhand von Übungsaufgaben zu jedem Themenpunkt zu verbessern. Am Ende eines jeden Kapitels steht eine Abschlussprüfung an, welche das bereits erlernte Wissen aus dem jeweiligen Kapitel überprüft.Wenn Sie ...
  3. Beanspruchungsarten
    Grundlagen > Beanspruchungsarten
    Druckbeanspruchung
    ... Kraft greift rechts unter dem "freien" Ende des Balken an. Zudem gehe man davon aus, dass die linke Seite des Balkens fest eingespannt sei. Dadurch entsteht ein Biegemoment.Biegebeanspruchung 2. FallGleich verhält sich dies in der nächsten Abbildung, in der ein Balken beidseitig gelagert ist:Biegebeanspruchung mit beidseitiger Lagerung Die Kraft, die mittig am Balken angreift, führt dazu, dass das linke Lager ein rechtsdrehendes Moment besitzt und das rechte Lager ein linksdrehendes ...
  4. Spannungen im Stab
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab
    Spannungen im Stab
    ... inneren Spannungen, z.B. eines stützenden Balkens, bestimmt werden. Man berechnet dann z.B. die maximale Spannung und kann abschätzen, wieviel der Balken trägt, bevor er sich verformt oder sogar bricht.Es wird nun ein Stab betrachtet, welcher auf Zug belastet wird. Führt man durch diesen Stab nun einen gedachten Schnitt durch, so sieht man die inneren Spannungen, welche aufgrund der Zugbelastung vorherrschen. Diese Spannungen setzen sich zusammen aus den Normalspannungen $\sigma$, ...
  5. Spannung im Stab (senkrechter Schnitt)
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Spannung im Stab (senkrechter Schnitt)
    Senkrechter Schnitt am Balken
    ... Bestandteile zerlegt.Senkrechter Schnitt am Balken Im ersten Schnitt wird angenommen, dass der Schnitt im Winkel von 90° [senkrecht] zur Stabachse durchgeführt wird. Es wird sich zeigen, dass bei einem Zugstab (bzw. Druckstab) durch welchen ein senkrechter Schnitt durchgeführt wird, nur Spannungen in Richtung der Stabachse (= Normalspannungen) auftreten. Im vorherigen Abschnitt wurde gezeigt, dass die Normalkraft die Zusammenfassung der Normalspannungen darstellt ...
  6. Spannungen im Stab (Schnitt mit Winkel)
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Spannungen im Stab (Schnitt mit Winkel)
    Senkrechter Schnitt am Balken
    ... beim senkrechten SchnittSenkrechter Schnitt am Balken $\alpha = 0° $ (senkrechter Schnitt):Senkrecht geschnittener Balken Horizontale Gleichgewichtsbedingung zur Bestimmung der Normalkraft $N$:$\rightarrow: -F + N = 0 \rightarrow N = F$Berechnung der Normalspannung:$\sigma_0 = \frac{N}{A} \rightarrow \sigma_0 =  \frac{F}{A} $Schubspannungen $\tau $ mit einem Schubkraftanteil $ T $ treten nicht auf (siehe vorherigen Abschnitt), weshalb die Normalspannung in diesem Fall mit $\sigma_0$ ...
  7. Beispiel zu Spannungen im Stab: Hängender Zugstab
    Stabbeanspruchungen > Spannungen im Stab > Beispiel zu Spannungen im Stab: Hängender Zugstab
    Beispiel Zugstab Freischnitt
    ... ZugstabZugstab Gegeben sei der obige Balken (1m breit, 10m lang), welcher an einem Stab $d = 0,15 m$ befestigt ist. Der Stab ist mittels eines Hakens an der Wand befestigt. Der Balken hat ein Eigengewicht von $F_{Balken} = 50 N$. Auf dem Balken befindet sich eine gleichmäßig verteilte Schneedecke (Flächenlast), mit $q_0 = 2 N/m^2$. Die Stabkraft soll vernachlässigt werden. Wie groß muss die Hakenkraft mindestens sein, damit diese den Balken samt Schneedecke ...
  8. Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Gewichtskraft)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab) > Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (ohne Gewichtskraft)
    Normalkraft und Stabverlngerung
    ... es sich allerdings um einen gewichtslosen Balken mit einer Kraft $G = 10N$, welche am Stabende angreift:Beispiel: Normalkraft und Stabverlängerung In der obigen Grafik ist der eingespannte Stab zu sehen. Diesmal soll die Gewichtskraft des Balkens so klein sein, dass diese vernachlässigt werden kann. Am Stabende greift eine Kraft $G = 10 N$ an. Der Stab besitzt die Länge $l = 20 cm$ und den Querschnitt $A = 50 cm^2$. Der Stab besteht aus Blei mit $E = 19 \frac{kN}{mm^2}$. ...
  9. Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (mit Gewichtskraft)
    Stabbeanspruchungen > Statisch bestimmte Stabwerke > Statisch bestimmte Stabwerke (Einzelstab) > Beispiel: Belastung durch Kraft am Stabende (mit Gewichtskraft)
    Beispiel Normalkraft und Stabverlngerung 2
    In diesem Abschnitt soll nun ein Balken mit einem Eigengewicht von $G = 10 N$ und einer am Stabende angreifenden Kraft von $F = 10 N$ betrachtet werden:Beispiel Normalkraft und Stabverlängerung 2 In der obigen Grafik ist ein eingespannter Stab aus Blei ($E = 19 \frac{kN}{mm^2}$). Der Stab besitzt ein Eigengewicht von $G = 10 N$ und wird am Ende durch eine Kraft von $F = 10 N$ belastet. Die Länge des Stabes betrage $l = 20 cm$ und die Querschnittsfläche sei $A = 50 cm^2$. Wie groß ...
  10. Balkenbiegung
    Balkenbiegung
    ... widmet sich der Biegebeanspruchung an einem Balken. Ein Balken kann als Bauteil sowohl Kräfte in Längsrichtung, als auch Kräfte in Querrichtung zur Stabachse übertragen. Auch die Übertragung von Biegemomenten ist am Balken möglich, weshalb auch oft synonym von einem Biegebalken gesprochen wird. Arten von BalkenBalken finden sich in verschiedensten Variationen in der Technik und Bautechnik wieder. Im Folgenden eine kleine Auswahl von Balken per Definition:- ...
  11. Arten der Biegung
    Balkenbiegung > Arten der Biegung
    Reine Biegung und Querkraft-Biegung
    ... sind als deren Querschnitte, also z.B. Balken und Bögen. In diesem Abschnitt werden die verschiedenen Arten der Biegung aufgezeigt. BelastungsartenEs werden die zwei folgenden Arten der Biegung anhand der Art der Belastung voneinander unterschieden:Die reine Biegung: Bei der reinen Biegung erfolgt die Biegung des Bauteils durch das Aufbringen von zwei Biegemomenten am Ende des Bauteils. Die Querkraft-Biegung: Bei der Querkraftbiegung erfolgt die ...
  12. Flächenträgheitsmomente
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente
    ... welche sich aus dem Querschnitt eines Balkens ableitet. Wie der Elastizitätsmodul ist auch das Flächenträgheitsmoment ein Maß für die Steifigkeit eines ebenen Querschnitts gegen Biegung. Nur mit dem Unterschied, dass der E-Modul den Werkstoff charakterisiert.Mit diesem Maß lassen sich Verformungen und Spannungen berechnen, die infolge von Biege- und Torsionsbeanspruchungen auftreten. Es ist also ein Maß für den Widerstand eines Bauteils gegen ...
  13. Flächenträgheitsmomente: Definition
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Flächenträgheitsmomente: Definition
    image
    ... $ bzw. $ I_{zz}$ wird die Verbiegung eines Balkens unter Belastung in Abhängigkeit des Querschnitts umfassend beschrieben. Je größer das axiale Flächenträgheitsmoment, desto kleiner die Verbiegung und infolgedessen die im Querschnitt entstehenden inneren Belastungen. Es gilt, dass das axiale Flächenträgheitsmoment stets $ > 0 $ ist. Formal gilt:$\ I_{yy} = I_y = \int_A z^2 dA$        axiales Flächenträgheitsmoment bzgl. ...
  14. Hauptträgheitsmomente / Hauptachsen
    Balkenbiegung > Flächenträgheitsmomente > Hauptträgheitsmomente / Hauptachsen
    Rechteck
    ... obige rechteckige Querschnitt eines Balkens hat die Flächenträgheitsmomente:$I_y = \frac{a^3b}{12}$$I_z =  \frac{b^3a}{12}$$I_{yz} = 0$.Das bedeutet die Flächenträgheitsmomente sind auch gleichzeitig die Hauptträgheitsmomente, da das Deviationsmoment $I_{yz} = 0$ ist. Das liegt daran, dass mindestens eine Achse eine Symmetrieachse darstellt. In diesem Fall stellen beide Achsen eine Symmetrieachse dar. Es handelt sich also um ein doppelt symmetrischen ...
  15. Gerade bzw. einachsige Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung
    Einachsige Biegung
    ... Dabei sei das Profil des betrachteten Balkens einfach oder doppelt symmetrisch bezüglich der $y,z$-Achsen. Das bedeutet, dass die $y,z$-Achsen des Querschnittes auch gleichzeitig die Hauptachsen darstellen.Für die einachsige Biegung werden im folgenden Balken betrachtet, die durch eine resultierende Kraft in $z$-Richtung belastet werden. Dies führt zu einem Moment um die $y$-Achse (einachsige Biegung). Gegeben sei der folgende durch zwei Kräfte belastete Balken. ...
  16. Reine Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Reine Biegung
    Reine Biegung
    ... man einen Zustand, in welchem im Balken ein konstantes und querkraftfreies Biegemoment vorliegt. Der Zustand der reinen Biegung kann im gesamten Balken vorliegen oder nur in Teilbereichen. Reine BiegungIn der obigen Grafik ist die reine Biegung zu sehen. Bei dieser ist das Biegemoment konstant. Es sollen am Beispiel der reinen Biegung die Gleichungen für die Ermittlung der Spannungen und Deformationen bestimmt werden, die bei einer Biegung von Balken auftreten. ...
  17. Normalspannung bei reiner Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Reine Biegung > Normalspannung bei reiner Biegung
    Neutrale Faser
    ... auch wieder einen Schnitt durch den Balken durchführen und die Schnittgrößen Querkraft, Normalkraft und Biegemoment einzeichnen. Da keine äußeren vertikalen Kräfte und keine äußeren horizontalen Kräfte auf den Balken wirken (sondern nur Momente), nehmen Querkraft und Normalkraft den Wert null an.Im Bereich der reinen Biegung treten nur Normalspannungen $\sigma_x $ auf:Normalspannungen bei reiner BiegungFür die Beziehung zwischen der ...
  18. Maximale Normalspannung bei reiner Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Reine Biegung > Maximale Normalspannung bei reiner Biegung
    Reine Biegung - Querschnitt
    ... \ge 5 \cdot h $In der folgenden Grafik ist ein Balken unter reiner Biegung veranschaulicht. Der Querschnitt des Balkens ist quadratisch: Die neutrale Faser verläuft mittig, da der Schwerpunkt des Balkens mit quadratischem Querschnitt genau in der Mitte liegt. Der Verlauf der Normalspannungen wird in der folgenden Grafik veranschaulicht:Das Spannungsmaximum $\sigma_{max}$ und das Spannungsminimum $\sigma_{min}$ findet man wegen der linearen Verteilung dort, wo der Abstand zur neutralen ...
  19. Widerstandsmoment bei reiner Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Reine Biegung > Widerstandsmoment bei reiner Biegung
    Widerstandsmoment neutrale Faser
    ... der neutralen FaserIn der obigen Grafik ist ein Balken gegeben, welcher einen rechteckigen Querschnitt aufweist. Der Schwerpunkt liegt demnach in der Mitte des Querschnittes bei $\frac{z}{2}$ und $\frac{b}{2}$. Die neutrale Faser verläuft durch diesen Schwerpunkt. Die Abstände von der neutralen Faser zu den Rändern $z_1$ und $z_2$ sind identisch. Daraus folgt $z_{max} = z_1 = z_2$.Maximaler Abstand von der neutralen FaserIn der obigen Grafik ist ein Balken mit einem trapezförmigen ...
  20. Querkraftbiegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Querkraftbiegung
    Schubverformung
    ... eine äußere Querkraft auf den Balken. Die Belastung findet in der $x,z$-Ebene statt. Das bedeutet, dass ein Moment um die $y$-Achse auftritt und zusätzlich eine Querkraft berücksichtigt werden muss. Bei der Querkraftbiegung ist im Gegensatz zur reinen Biegung das Schnittmoment nicht konstant und somit veränderlich.Aus der Statik ist bekannt, dass $M'(x) = Q(x) $ und daher gilt hier:$M \not= const \; \rightarrow \; M'(x) \not= 0 \; \rightarrow \;  Q(x) ...
  21. Beispiel: Querkraftbiegung bei einachsiger Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Querkraftbiegung > Beispiel: Querkraftbiegung bei einachsiger Biegung
    Querkraftbiegung - Bestimmung der Normal- und Schubspannungen
    ... aufgezeigt werden. Gegeben sei der obige Balken mit rechteckigem Querschnitt. Auf den Balken wirkt am Ende eine Kraft von $F = 150 N$. Bestimmen Sie die maximale Normalspannung und die maximale Schubspannung für den Schnitt bei $x = 3m$.Bestimmung der AuflagerreaktionenZunächst werden die Auflagerreaktionen bestimmt, indem der Balken von außen freigeschnitten wird:Es werden die drei Gleichgewichtsbedingungen der Ebene angewandt:$\uparrow : A_v - F = 0$$A_v = F = 150 N$$\rightarrow: ...
  22. Beispiel: Spannungsmaximum bei reiner Biegung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Beispiele: Normalspannungen bei einachsiger Balkenbiegung > Beispiel: Spannungsmaximum bei reiner Biegung
    Reine Biegung - Beispiel Balken (Trapez)
    Beispiel: Reine BiegungGegeben sei der obige Balken mit einem einfach symmetrischen trapezförmigen Querschnitt. Der Balken ist fest eingespannt. Es soll das Widerstandsmoment und die maximale sowie minimale Normalspannung bestimmt werden.Zunächst wird der Balken freigeschnitten:Es folgt nun die Bestimmung der Lagerkräfte. Die Einspannung ist ein dreiwertiges Lager (siehe obige Grafik). Die Lagerkräfte werden am ungeschnittenem Balken mittels der drei Gleichgewichtsbedingungen ...
  23. Beispiel: Widerstandsmoment, zulässige Spannung
    Balkenbiegung > Gerade bzw. einachsige Biegung > Beispiele: Normalspannungen bei einachsiger Balkenbiegung > Beispiel: Widerstandsmoment, zulässige Spannung
    Flchentrgheitsmoment dnnwandiges Quadrat
    ... berechnenGegeben sei der folgende Balken mit quadratischem Kastenquerschnitt der Dicke $b = 20 mm$, der Breite $a$ und der Länge $l = 20m$. Das zulässige $\sigma_{zul}$ sei $150 N /mm^2$ und darf nicht überschritten werden. Die äußere Belastung sei $F = 100kN$. Wie groß müssen die Seitenlängen $a$ dann sein?Da der Querschnitt vorgegeben ist, gilt folgende Gleichung:$\sigma_{zul} \ge \frac{|M_y|}{W_b}$  Berechnung des BiegemomentsDieses ...
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