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Physik

Bewegungsgleichungen

Nachdem wir nun die Eigenfrequenz $\omega$, Schwingungsdauer $T$ und Schwingungsfrequenz $f$ für das Federpendel, Fadenpendel und physikalische Pendel bestimmt haben, wollen wir uns in diesem Abschnitt den Bewegungsgleichungen zuwenden. Hierzu betrachten wir das Ort-Zeit-Gesetz, das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz sowie das Beschleunigungs-Zeit-Gesetz für ungedämpfte harmonische Schwingungen. Dabei gehen wir davon aus, dass die Bewegung des Pendel in der Ruhelage beginnen.

Das Ort-Zeit-Gesetz gibt die Position (Auslenkung) des Pendels in Abhängigkeit von der Zeit $t$ an.

Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz die Geschwindigkeit des Pendels und das Beschleunigungs-Zeit-Gesetz die Beschleunigung des Pendels in Abhängigkeit von der Zeit $t$.

Sinus-Funktion 

Befindet sich ein Pendel zum Zeitpunkt $t=0$ in der Ruhelage mit $s = 0$ und bewegt sich dann mit einer Geschwindigkeit $v > 0$ auf einen Umkehrpunkt zu, so kann im Fall einer harmonischen Schwingung die Auslenkung zu einem beliebigen Zeitpunkt $t$ mittels der Sinus-Funktion beschrieben werden.

Merke

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Der Sinus wird dann angewandt, wenn der Ausgangspunkt der Bewegung die Ruhelage darstellt.

Um die Bewegungsgleichungen als nächstes aufführen zu können ist es wichtig zu wissen, dass jede harmonische Schwingung mit der Bewegung eines bestimmten Punktes auf einer Kreisscheibe verglichen werden kann. Dabei ist der einmalige Durchlauf des Kreises gleich der Schwingungsdauer $T$. Ein Kreisdurchlauf entspricht also einer gesamten Hin- und Herbewegung:

Zeigerdiagramm mit Sinus-Funktion
Zeigerdiagramm mit Sinus-Funktion

In der obigen Grafik ist der zeitliche Verlauf der Phasenwinkel für ein horizontal schwingendendes Pendel als so genanntes Zeigerdiagramm dargestellt. 

Im obigen Fall ist der Ausgangspunkt der Bewegung die Ruhelage des Pendels. Der Kreisdruchlauf beginnt auf der Ordinate bei $\varphi_0 = 0$. Die Schwingung beginnt im rechten $y,t$-Diagramm (Ort-Zeit-Diagramm) bei $t_0 = 0$, wobei die Schwingung dort aus der Ruhelage beginnt, weshalb auch $s(t_0) = 0$ ist.

Ort-Zeit-Funktion

Ort-Zeit-Funktion Schwingung Sinus
Ort-Zeit-Funktion

Die Sinusfunktion beginnt im Ursprung, deswegen ist es möglich diese harmonische Bewegung, bei welcher die Bewegung bzw. die Zeitmessung im Ausgangspunkt beginnt mithilfer der Sinusfunktion zu beschreiben:

Methode

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$y(t) = A \cdot \sin(\omega \cdot t)$                            Auslenkung (Ort-Zeit-Gesetz)

Dabei ist $A$ die Amplitude, d.h. also der maximale Abstand von der Ruhelage (t-Achse). Bei einer ungedämpften harmonischen Schwingung ist die Amplitude konstant, deswegen ist sowohl der maximale Abstand nach oben bzw. unten die gesamte Schwingung über konstant. 

Merke

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Die Amplitude $A$ ist der Abstand von der Ruhelage (t-Achse) zur maximalen Auslenkung (Umkehrpunkt).

Mithilfe der Ort-Zeit-Funktion kann die Lage des Pendels zu einem bestimmten Zeitpunkt $t$ angegeben werden.

Geschwindigkeits-Zeit-Funktion

Geschwindigkeit-Zeit-Funktion Schwingung
Geschwindigkeits-Zeit-Funktion

Die Geschwindigkeit kann durch die Ableitung der Auslenkung nach der Zeit $t$ bestimmt werden:

Methode

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$v(t) = \frac{dy(t)}{dt} = A \cdot \omega \cdot \cos(\omega \cdot t)$      Geschwindigkeit

mit

$A \cdot \omega = v_{max}$ Maximale Geschwindigkeit

Mithilfe der Geschwindigkeits-Zeit-Funktion kann die Geschwindigkeit des Pendels zu einem bestimmten Zeitpunkt $t$ angegeben werden.

Beschleunigungs-Zeit-Funktion

Beschleunigungs-Zeit-Funktion Schwingung
Beschleunigungs-Zeit-Funktion

Die Beschleunigung wird dann durch die Ableitung der Geschwindigkeit bestimmt:

Methode

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$a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = -A \cdot \omega^2 \cdot \sin(\omega \cdot t)$      

mit

$A \cdot \omega^2 = a_{max}$ Maximale Beschleunigung

Mithilfe der Beschleunigungs-Zeit-Funktion kann die Beschleunigung des Pendels zu einem bestimmten Zeitpunkt $t$ angegeben werden.

Diese drei Bewegungsgleichungen gelten für das Federpendel, Fadenpendel und das physikalische Pendel bei Vorliegen einer ungedämpften harmonischen Schwingung. Allerdings muss noch die jeweilige Eigenfrequenz $\omega$ der drei Pendel berücksichtigt werden. In den folgenden Abschnitten werden die Eigenfrequenz, Schwingungsdauer und Schwingungsfrequenz nochmals aufgeführt und Anwendungsbeispiele aufgeführt.

Anwendungsbeispiel 1: Ungedämpfte harmonische Schwingung

Beispiel

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Ein Körper führt eine ungedämpfte harmonische Schwingung aus. Die Weg-Zeit-Funktion seiner Bewegung lautet:

$y(t) = 2m \cdot \sin(\pi s^{-1} \cdot t)$

Bestimme für diese Schwingung:

 die Eigenfrequenz $\omega$

 die Schwingungsdauer $T$

 die Amplitude $A$

Wir betrachten die obige Bewegungsgleichung und kennen aus diesem Abschnitt den Aufbau dieser Gleichung:

$y(t) = A \cdot \sin(\omega \cdot t)$     

Vergleichen wir nun die Gleichung aus dem Beispiel mit der dieser allgemeinen Ort-Zeit-Funktion so können wir ganz einfach ablesen:

  • Die Amplitude $A = 2m$
  • Die Eigenfrequenz $\omega = \pi s^{-1} = 3,14 s^{-1}$


Die Schwingungsdauer $T$ können wir aus dem folgenden Zusammenhang bestimmen:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$


Auflösen nach $T$:

$T = \frac{2\pi}{\omega}$

Einsetzen von $\omega$:

$T = \frac{2\pi}{\pi s^{-1}} = 2 s$

Die Schwingungsdauer (einmaliges Hin- und Herschwingen) dauert 2 Sekunden.

Beispiel

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Gegeben sei die obige Bewegungsgleichung. Wie groß sind für den Körper zum Zeitpunkt $t = 3 s$

(a) die momentane Auslenkung $y(3s)$,

(b) die momentane Geschwindigkeit $v(2s)$,

(c) die momentane Beschleunigung $a(2s)$.

Wir betrachten zunächst die momentane Auslenkung bei $t = 3s$:

$y(t = 3s) = 2m \cdot \sin(\pi s^{-1} \cdot 3s)$

$y(3s) = 0m$

Der Körper befindet sich zum Zeitpunkt $t=3s$ in der Ruhelage. Da die Funktion den Wert $y = 0$ annimmt, befindet sich die Funktion auf der $t$-Achse. Dies bedeuetet also, dass der Körper sich zu diesem Zeitpunkt genau in der Ruhelage befindet (siehe roter Punkt auf der unteren Grafik):

Ungedämpfte Schwingung Beispiel
Ort-Zeit-Funktion

Die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion $v(t)$ kann durch die erste Ableitung der Auslenkung bestimmt werden:

$\dot{y(t)} = v(t) = 2m \cdot \pi s^{-1} \cdot \cos(\pi s^{-1} \cdot t)$

Einsetzen von $t = 3s$:

$v(t=3s) = 2m \cdot \pi s^{-1} \cdot \cos(\pi s^{-1} \cdot 3s)$

$v(3s) = -6,28 \frac{m}{s}$

Die Geschwindigkeit des Körpers zum Zeitpunkt $t = 3s$ beträgt $-6,28 \frac{m}{s}$. Das negative Vorzeichen zeigt an, dass sich der Körper in Richtung der negativen $y$-Achse bewegt.

Die maximale Geschwindigkeit $v_{max}$ beträgt: $v_{max} = A \cdot \omega = 2m \cdot \pi s^{1} = 6,28 \frac{m}{s}$. Das bedeutet also, dass sich der Körper zum Zeitpunkt $t=3$ an einem Umkehrpunkt befindet, weil er die maximale Geschwindigkeit aufweist. Dies ist der folgenden Grafik veranschaulicht (roter Punkt):

Ungedämpfte Schwingung Beispiel
Geschwindigkeits-Zeit-Funktion

Die Beschleunigungs-Zeit-Funktion wird durch die erste Ableitung der Geschwindigkeit bestimmt:

$\dot{v(t)} = a(t) = -2m \cdot (\pi s^{-1})^2 \cdot \sin(\pi s^{-1} \cdot t)$

Einsetzen von $t = 3s$:

$a(t=3s) = -2m \cdot \pi^2 s^{-2} \cdot \sin(\pi s^{-1} \cdot 3s)$

$a(3s) = 0$

Die Beschleunigung ist zu diesem Zeitpunkt null. Die Beschleunigung ist in der Ruhelage immer Null und an den Umkehrpunkten am Größten. Die maximale Beschleunigung $a_{max}$ beträgt: $a_{max} = A \cdot \omega^2 = 2m \cdot \pi^2 s^{2} = 19,74 \frac{m}{s^2}$. In der nachfolgenden Grafik ist die Beschleunigungs-Zeit-Funktion veranschaulicht:

Ungedämpfte Schwingung Beispiel
Beschleunigungs-Zeit-Funktion

Anwendungsbeispiel 2: Ungedämpfte harmonische Schwingung

Beispiel

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Die Amplitude $A$ einer ungedämpften Schwingung beträgt 15 cm, die Periodendauer 6 s. Wie groß sind Maximalgeschwindigkeit und –beschleunigung der Schwingung?

Die Maximalgeschwindigkeit $v_{max}$ lässt sich berechnen durch:

$v_{max} = A \cdot \omega$


Die Eigenfrequenz $\omega$ und die Periodendauer (=Schwingungsdauer) $T$ haben den folgenden Zusammenhang:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$


Es lässt sich also zunächst aus der Periodendauer $T$ die Eigenfrequenz bestimmen:

$\omega = \frac{2\pi}{6s} = 1,0472 s^{-1}$


Die Maximalgeschwindigkeit beträgt:

$v_{max} = 0,15 m \cdot 1,0472 s^{-1} = 0,1571 \frac{m}{s}$ 

Die Maximalbeschleunigung bestimmt sich durch:

$a_{max} = A \cdot \omega^2 = 0,15 m \cdot 1,0472^2 s^{-2} = 0,1645 \frac{cm}{s^2}$.