Beispiel: Satz von Castigliano

Beispiel: Bestimmung der Verdrehung und der Verschiebung

1. Freischnitt:

2. Lagerreaktionen bestimmen

3. Schnittgrößen bestimmen

Wir betrachten zunächst das linke Schnittufer des 1. Schnittes und berechnen mittels Momentengleichgewichtsbedingung das Moment . Der Bezugspunkt für die Momentenberechnung ist der Schnitt. Wir wählen für den 1. Schnitt die Laufkoordinate .

Als Nächstes berechnen wir die Normalkraft mittels der horizontalen Gleichgewichtsbedingung:

Wir betrachten den zweiten Schnitt und berechnen das Moment . Hier betrachten wir das rechte Schnittufer, demnach muss das Moment als rechtsdrehendes Moment eingezeichnet werden:

Als Nächstes berechnen wir die Normalkraft mittels der vertikalen Gleichgewichtsbedingung:

4. Satz von Castigliano anwenden:

Wir sollen hier eine Verschiebung und eine Verdrehung berechnen. Da in der Aufgabenstellung nur und angegeben sind, müssen wir auch nur die Terme für die Normalkraft und das Biegemoment berücksichtigen. Das bedeutet einfach, dass wir die Verschiebung und Verdrehung infolge der Biegebelastung und infolge der Normalbelastung berechnen.

Für erhalten wir die Verschiebung an einer Stelle, an welcher die Kraft in Richtung der Verschiebung wirkt:

In unserem Fall erhalten wir die horizontale Verschiebung im Punkt an welchen die Kraft in Richtung der Verschiebung wirkt zu:

Außerdem wollen wir die Verdrehung im Punkt bestimmen.

Für  erhalten wir die Verdrehung an der Stelle an welcher das Moment in Richtung der Verdrehung gegeben ist:

In unserem Fall erhalten wir die Verdrehung im Punkt an welchen das Moment in Richtung der Verdrehung gegeben ist zu:

Da wir drei Schnittbereiche gegeben haben, muss den obigen Formeln noch ein Summenzeichen hinzugefügt werden, weil die Berechnung für jeden Schnittbereich separat vorgenommen wird und die Summe ergibt dann die Verschiebung im Punkt

bzw. die Verdrehung im Punkt

Bildung der partiellen Ableitungen für Verschiebung

Wir beginnen damit die partiellen Ableitungen zu bilden. Zunächst betrachten wir die partiellen Ableitungen für die Verschiebung im Punkt . Dazu betrachten wir die Schnittgrößen für die Normalkraft und das Biegemoment und leiten diese nach der Kraft ab.

Normalkraft:

  (keine Normalkraft im 2. Schnittbereich vorhanden)

Biegemoment:

Bildung der partiellen Ableitungen für die Verdrehung

Danach berechnen wir die partiellen Ableitungen für die Verdrehung im Punkt . Auch hier werden die Schnittgrößen aus den zwei Bereichen herangezogen. Allerdings muss hier nach dem Moment abgeleitet werden.

Normalkraft:

Biegemoment:

Bestimmung der horizontalen Verschiebung im Punkt C

Die partiellen Ableitungen für die Verschiebung werden in die Gleichung (1) eingesetzt:

Wir entfernen das Summenzeichen und es ergibt sich:

Da wir alle Ausdrücke gegeben haben, können wir diese nun in die Gleichung einsetzen:

Zusammenfassen:

Integrale auf die Terme anwenden:

Integration durchführen und Grenzen einsetzen:

Zusammenfassen:

Wir können nun die Verschiebung im Punkt berechnen. Dazu müssen wir die in der Aufgabenstellung gegebenen Einheiten gemäß SI-Einheiten umrechnen:

,

Einsetzen:

Bestimmung der Verdrehung im Punkt B

Nachdem wir die Verschiebung im Punkt bestimmt haben, wollen wir als Nächstes die Verdrehung im Punkt berechnen.

Die partiellen Ableitungen für die Verdrehung sowie die Schnittgrößen werden in die Gleichung (2) eingesetzt:

Wir entfernen das Summenzeichen und es ergibt sich:

Da wir alle Ausdrücke gegeben haben, können wir diese nun in die Gleichung einsetzen:

Zusammenfassen:

Integrale auf die Terme anwenden:

Integrieren und Grenzen einsetzen:

Zusammenfassen:

Werte einsetzen: