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Der Grenzwert von Funktionen (auch Limes genannt) bezeichnet in der Mathematik denjenigen Wert, dem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert. Existiert ein Grenzwert, so konvergiert die Funktion, anderenfalls divergiert sie.
Methode
Grenzwert einer reellen Funktion
: muss nicht unbedingt im Definitionsbereich der Funktion liegen. muss aber ein Häufungspunkt von sein. Das bedeutet, dass in jeder (noch so kleinen) Umgebung von unendlich viele Elemente von liegen müssen. : Der Defintionsbereich der Funktion muss nach oben unbeschränkt sein. : Der Defintionsbereich der Funktion muss nach unten unbeschränkt sein.
Methode
Du kannst Grenz- und Häufungswerte folgendermaßen unterscheiden:
- Grenzwert: In jeder noch so kleinen Umgebung von
müssen fast alle weiteren Werte von liegen. - Häufungspunkt/-wert: In jeder noch so kleinen Umgebung von
müssen nur unendlich viele weitere Werte von liegen.
Beispiel für die Berechnung von Grenzwerten an definierten und undefinierten Stellen
Beispiel
Gegeben sei die Funktion
Grenzwerte an definierten Stellen
Lassen wir den Nenner der Funktion außer Acht und betrachten diese Funktion zunächst als einfaches Beispiel an der Stelle
Die Funktion
Betrachten wir nun den Term im Nenner der Funktion:
Die Funktion
Hinweis
Weiteres zu diesem Thema findest du unter dem Kurstext Nullstellen, Definitionslücken im Kapitel der gebrochenrationalen Funktionen. An dieser Stelle ist es wichtig zu wissen, dass eine gebrochenrationale Funktion nicht definiert ist, wenn ihr Nenner den Wert
Wir wollen zunächst den Grenzwert
Wir sehen nun, dass der Term
Grenzwerte an undefinierten Stellen
Für
Rechtsseitige Annäherung
Wir addieren
Konvergiert das
Linksseitige Annäherung
Wir subtrahieren
An der Stelle
- rechtsseitig:
- linksseitig:
Grenzwertsätze
Zur Berechnung von Grenzwerten gelten folgende Rechenregeln: