Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

• Grundlagen: Mengenlehre und reelle Zahlen

  1. Kurseinführung
  2. Mengenlehre
  1. Einführung in die Mengenlehre
  2. Teilmengen
  3. Mengenoperationen
  4. Rechenregel für Mengen
  3. Reelle Zahlen
  1. Bezeichnung reeller Zahlen
  2. Ungleichungen
  3. Intervalle
  4. Schranken (Supremum, Infimum)
  5. Beträge
  6. Vollständige Induktion
  7. Fakultät und Binomialkoeffizienten
  4. Anwendungsbeispiele: Mengenlehre und reelle Zahlen

• Vektorrechnung

  1. Einführung in die Vektorrechnung
  1. Addition von Vektoren
  2. Subtraktion von Vektoren
  3. Skalieren von Vektoren
  4. Einheitsvektor, Länge von Vektoren
  5. Dreiecksungleichung
  2. Das Skalarprodukt
  1. Skalarprodukt und Winkel
  2. Zerlegung von Vektoren
  3. Rechengesetze für das Skalarprodukt
  3. Das Vektorprodukt
  4. Das Spatprodukt
  5. Übungsaufgaben zur Vektorrechnung
  6. Geraden im Raum
  1. Identische Geraden
  2. Parallele Geraden
  3. Schnittpunkt zweier Geraden
  4. Windschiefe Geraden
  5. Abstände von Geraden/Punkten
  6. Übungsaufgaben zu Geraden im Raum

• Matrizen

  1. Addition und Subtraktion von Matrizen
  2. Multiplikation mit Zahlenwerten bei Matrizen
  3. Rechenregeln für Matrizen
  4. Matrizenmultiplikation
  5. Gauß Eliminationsverfahren
  6. Invertierbare Matrix
  7. Rang einer Matrix
  8. Determinanten
  1. Laplacescher Entwicklungssatz
  2. Cramersche Regel
  9. Eigenwerte und Eigenvektoren
  1. Eigenwerte
  2. Eigenvektoren
  3. Diagonalmatrix
  4. Diagonalisierbarkeit

• Vektorräume

  1. Linearkombination von Vektoren
  2. Lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit von Vektoren
  1. Lineare Abhängigkeit im R²
  2. Lineare Abhängigkeit im R³
  3. Neuer Eintrag 1
  3. Vektorraum, Erzeugendensystem, lineare Hülle, Basis
  4. Vektorräume: Aufgaben und Lösungen
  5. Vektorraum, Untervektorraum
  6. Lineare Hülle, Erzeugendensystem, Basis

• Komplexe Zahlen

  1. Definition von komplexen Zahlen
  2. Grundrechenarten der komplexen Zahlen
  3. Komplexe Zahlen und Polarkoordinaten
  4. Nullstellen von Polynomen
  1. Fundamentalsatz der Algebra
  2. abc- Formel (Mitternachtsformel) und pq-Formel

• Elementare Funktionen

  1. Stetigkeit einer Funktion
  2. Grenzwerte von Funktionen
  3. Rationale Funktionen
  1. Ganzrationale Funktionen
  2. Gebrochenrationale Funktionen
  4. Nichtrationale Funktionen
  1. Wurzelfunktionen
  2. Exponentialfunktionen
  3. Logarithmusfunktionen
  4. Trigonometrische Funktionen
  5. Hyperbelfunktionen

• Differentialrechnung

  1. Ableitungen
  1. Ableitungen erster Ordnung
  2. Ableitungen höherer Ordnung
  2. Wendepunkte
  3. Extremwerte
  4. Ableitungsregeln
  5. Ableitung der Elementaren Funktionen
  6. Mittelwertsätze
  7. Monotone Funktionen
  8. Konkave und konvexe Funktionen
  1. Nachweis Konkavität und Konvexität auf direktem Weg
  2. Nachweis Konkavität und Konvexität durch Differentation
  9. Regel von de l' Hospital
  10. Näherungsverfahren zur Nullstellenberechnung nach Newton

• Integralrechnung

  1. Unbestimmte Integrale
  1. Rechenregeln für unbestimmte Integrale
  2. Integration durch Substitution bei unbestimmten Integralen
  3. Partielle Integration bei unbestimmten Integralen
  4. Partialbruchzerlegung (rationale Zahlen) bei unbestimmten Integralen
  5. Integration nicht-rationaler Zahlen bei unbestimmten Integralen
  2. Bestimmte Integrale
  1. Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung
  2. Integration durch Substitution bei bestimmten Integralen
  3. Partielle Integration bei bestimmten Integralen
  3. Uneigentliche Integrale
  1. Uneigentliche Integrale Typ 1
  2. Uneigentliche Integrale Typ 2

• Formelsammlung