Einführung in die Mengenlehre

So beschrieb im Jahre 1895 der deutsche Mathematiker Georg Cantor (1845-1918) die primäre Eigenschaft einer Menge. 

Als Menge wird eine Ansammlung von Elementen bezeichnet. Mengen werden in der Regel mit Großbuchstaben mit einem zusätzlichen Strich dargestellt (z. B. ). Die Elemente einer Menge werden durch die Mengenklammern { und } eingeschlossen.

Betrachtet man z. B. die Menge , so ist , wohingegen ist. 

Zahlenmengen

Es existieren unterschiedliche Zahlenmengen, welche im Folgenden aufgeführt werden sollen:

• ist die Menge der natürlichen Zahlen. . Die natürlichen Zahlen sind alle nicht-negativen ganzen Zahlen. Wenn die Null hinzugezählt werden soll, so schreibt man: .
  
  
• ist die Menge der ganzen Zahlen. Diese beinhalten neben den natürlichen Zahlen noch die negativen ganzen Zahlen. .
  
  
• ist die Menge der rationalen Zahlen. Die rationalen Zahlen sind definiert als die Menge der ganzen Zahlen sowie allen Brüchen , für die gilt und .
  
  
• ist die Menge aller reellen Zahlen. Die reellen Zahlen sind definiert als die Menge der rationalen Zahlen plus die Menge der nicht-rationalen Zahlen, wie z. B. oder . 
  
  

Es besteht die Möglichkeit, eine Zahlenmenge durch ein zusätzliches, hochgestelltes oder zu versehen. Wird ein an eine Zahlenmenge angefügt, so bedeutet dies, dass alle Zahlen der Menge größer als null sind. Wird ein angefügt, so bedeutet dies, dass alle Zahlen der Menge kleiner als null sind. Soll die Null ebenfalls berücksichtigt werden, so muss diese nach unten gestellt an die Menge angefügt werden.

Aussagen und Aussageformen

Aussagen können entweder wahr oder falsch sein. Es existieren auch Aussagen, die nicht klar bestimmt sind, die also weder wahr noch falsch sind.

Die gerade beschriebene Formulierung: Das 2-fache einer Zahl ist kleiner als 20 stellt eine Aussageform dar. Die Aussageform ist also eine Formulierung, welche eine unbekannte Variable enthält. Wird für diese Variable ein Wert eingesetzt, so entsteht eine Aussage, die entweder wahr oder falsch ist. Die Werte, die für diese unbekannte Variable eingesetzt werden, werden einer Grundmenge entnommen. Ist keine andere Information gegeben, so wird die Grundmenge immer mit angenommen.

In der Mathematik sind typische Aussageformen Gleichungen mit einer oder mehreren Unbekannten. Setzt man für die Unbekannte(n) bestimmte Werte ein, so entsteht eine Aussage, die entweder wahr oder falsch ist.

Es sind nur diejenigen Zahlen von Interesse, die aus der Aussageform (Gleichung) eine wahre Aussage machen, denn diese Zahlen lösen die Gleichung und sind damit Elemente der Lösungsmenge. 

Angabe von Eigenschaften bei Mengen

Die häufigste Beschreibung einer Menge  geschieht durch die Angabe einer Eigenschaft , die genau allen Elementen von  zukommt. Man schreibt:

Zum Beispiel: also ''die Menge aller    für die gilt: ist eine ganze Zahl, ist wiederum genau die Menge .

Für die obige Aussageform wäre also eine wahre Aussage und damit Lösungsmenge der Menge . Alle ganzen Zahlen sind demnach Lösungsmenge von . 

Unterscheidung von Mengen

1. Eine Menge , die keine Elemente enthält, wird mit leer bezeichnet. Enthält sie mindestens ein Element, heißt sie nicht leer.

2. Eine Menge , die endlich viele Elemente enthält, wird als endlich bezeichnet. Eine Menge heißt unendlich, wenn sie nicht endlich ist.

3. Eine unendliche Menge , dessen Elemente sich als unendliche Folge durchnummerieren lassen, heißt abzählbar unendlich. Jede nicht abzählbar unendliche Menge heißt überabzählbar unendlich. 

4. Eine Menge  und eine Menge , die keine gemeinsamen Elemente besitzen, heißen disjunkte Mengen. 

4. Eine Menge  und eine Menge , die identische Elemente besitzen, heißen äquivalente Mengen. 

Operationen für Aussagen

• Verneinung: nicht A (Symbol: ¬A)
• Konjunktion: A und B (Symbol: A ∧ B)
• Disjunktion: A oder B (Symbol: A ∨ B)
• Implikation: aus A folgt B (Symbol: A ⇒ B )