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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Fakultät und Binomialkoeffizienten

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Fakultät und Binomialkoeffizienten

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Fakultät

Die Fakultät n! ist ein wichtiges Produkt in der Mathematik und wird sehr häufig in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik verwendet. 

Methode

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Definition

Für alle natürlichen Zahlen gilt:

Zahlenbeispiele Fakultät

 

Mit ergibt sich dasselbe Ergebnis:

:



Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen3 verschieden farbige Billardkugeln (rot, blau, grün) sollen nacheinander eingelocht werden. Wie viele Variationen einer Reihenfolge ergeben sich?

Es ergeben sich verschiedene Varianten einer Reihenfolge:

rot, blau, grün; rot, grün, blau; blau, grün, rot; blau, rot, grün; grün, rot, blau; grün, blau, rot

Binomialkoeffizienten

Methode

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Für zwei ganze Zahlen ,   bezeichnet man die ganze Zahl

    

als Binomialkoeffizient.

Pascalsche Dreieck

Wichtig sind folgende Eigenschaften der Binomialkoeffizienten, welche ihre Berechnung aus dem Pascalschen Dreieck nach Blaise Pascal (1623-1662) erlauben:

Methode

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(1)

(2)

 

Merke

Hier klicken zum AusklappenEs gibt  Möglichkeiten aus insgesamt Elementen genau auszuwählen.

 

Beispiel

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Anstelle die obigen Fakultäten 5! und 4! komplett aufzuschreiben, können wir hier auch ab Fakültät 3! im Zähler und Nenner kürzen:

                     |kürzen

Anwendungsbeispiel: Binominalkoeffizient

Beispiel

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Beim Lotto 6 aus 49 ist die Anzahl der möglichen Ziehungen 49 über 6:

verschiedene Möglichkeiten 6 "Richtige" zu ziehen.

Hinweis

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In diesem Beispiel können wir den Wert auch gut ohne Fakultät berechnen, da sich der Nenner und der Zähler größtenteils wegkürzen. Weitere Beispiele findest Du am Ende das Kapitels unter Anwendungsbeispiele: Mengenlehre und reelle Zahlen.

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