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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra - Fakultät und Binomialkoeffizienten

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Höhere Mathematik 1: Analysis und Lineare Algebra

Fakultät und Binomialkoeffizienten

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Fakultät

Die Fakultät n! ist ein wichtiges Produkt in der Mathematik und wird sehr häufig in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik verwendet. 

Methode

Definition

Für alle natürlichen Zahlen gilt:

Zahlenbeispiele Fakultät

 

Mit ergibt sich dasselbe Ergebnis:

:



Beispiel

3 verschieden farbige Billardkugeln (rot, blau, grün) sollen nacheinander eingelocht werden. Wie viele Variationen einer Reihenfolge ergeben sich?

Es ergeben sich verschiedene Varianten einer Reihenfolge:

rot, blau, grün; rot, grün, blau; blau, grün, rot; blau, rot, grün; grün, rot, blau; grün, blau, rot

Binomialkoeffizienten

Methode

Für zwei ganze Zahlen ,   bezeichnet man die ganze Zahl

    

als Binomialkoeffizient.

Pascalsche Dreieck

Wichtig sind folgende Eigenschaften der Binomialkoeffizienten, welche ihre Berechnung aus dem Pascalschen Dreieck nach Blaise Pascal (1623-1662) erlauben:

Methode

(1)

(2)

 

Merke

Es gibt  Möglichkeiten aus insgesamt Elementen genau auszuwählen.

 

Beispiel

Anstelle die obigen Fakultäten 5! und 4! komplett aufzuschreiben, können wir hier auch ab Fakültät 3! im Zähler und Nenner kürzen:

                     |kürzen

Anwendungsbeispiel: Binominalkoeffizient

Beispiel

Beim Lotto 6 aus 49 ist die Anzahl der möglichen Ziehungen 49 über 6:

verschiedene Möglichkeiten 6 "Richtige" zu ziehen.

Hinweis

In diesem Beispiel können wir den Wert auch gut ohne Fakultät berechnen, da sich der Nenner und der Zähler größtenteils wegkürzen. Weitere Beispiele findest Du am Ende das Kapitels unter Anwendungsbeispiele: Mengenlehre und reelle Zahlen.

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