Beispiel 3: Diagonalisierbarkeit

In diesem Abschnitt zeigen wir dir, wie eine Matrix diagonalisiert werden kann.

Anwendungsbeispiel 3: Diagonalisierbarkeit

1. Schritt: Bestimmung des charakteristischen Polynoms

Die Determinante wird mittels Regel von Sarrus bestimmt:

2. Schritt: Bestimmung der Eigenwerte

Wird eine der obigen Klammern des charakteristischen Polynoms gleich null, so wird die gesamte Gleichung null. Die Nullstellen sind die Eigenwerte der Matrix. Sie können ermittelt werden, indem Werte für eingesetzt werden. Diese Werte führen dann dazu, dass die gesamte Gleichung null wird. 

Anwendung der p/q-Formel:

Es resultieren also die zwei Eigenwerte mit algebraischer Vielfachheit 2 und mit algebraischer Vielfachheit 1.

Es resultieren Nullstellen für diese -Matrix. Das heißt, dass das charakteristische Polynom vollständig in Linearfaktoren zerlegt werden kann!

3. Schritt: Bestimmung der Eigenvektoren

Zu den oben angegebenen Eigenwerten sollen die Eigenvektoren bestimmt werden. Für müssen zwei linear unabhängige Eigenvektoren resultieren und für ein unabhängiger Eigenvektor, damit die algebraische Vielfachheit und die geometrische Vielfachheit übereinstimmen.

1. Eigenvektor: für

Wir wenden den Gauß-Algorithmus an, um die Matrix soweit wie möglich zu reduzieren:

Es kann nicht weiter reduziert werden:

Das lineare Gleichungssystem sieht wie folgt aus:

Es wird nun für eingesetzt:

Vorziehen eines Faktors (andere Darstellungsform):

Die Eigenvektoren sind:

und

Es resultieren 2 Eigenvektoren für den Eingenwert mit der algebraischen Vielfachheit 2. Demnach stimmen hier die geometrische und die algebraische Vielfachheit überein.

2. Eigenvektor: für

Wir wenden den Gauß-Algorithmus an, um die Matrix soweit wie möglich zu reduzieren: