Inhaltsverzeichnis
Das Gaußsche Eliminationsverfahren ist ein Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen (LGS). Dieses Verfahren beruht darauf, dass elementare Umformungen das Gleichungssystem zwar ändern, aber die Lösung trotzdem erhalten bleibt. Durch die Umformungen wird das Gleichungssystem in ein einfacher zu lösendes LGS überführt.
Zu den elementaren Umformungen zählen:
- Addition/Subtraktion einer Gleichung zu einer anderen
- Multiplikation einer Gleichung mit einem Skalar
ungleich null - Vertauschen zweier Zeilen
- Addition/Subtraktion des
-Fachen einer Zeile mit den -Fachen einer Spalte.
Lineares Gleichungssystem
Ein lineares Gleichungssystem ist ein System von
In Matrixschreibweise:
Vorgehensweise des Gaußschen Eliminationsverfahrens
In einer Matrix
Beispiel: Gauß Eliminationsverfahren
Gegeben sei:
Die letzte Gleichung ist für alle
(1)
(2)
(3)
Lösung des LGS:
Dieses LGS kann nun aufgelöst werden (rückwärts):
(3)
(2)
(1)
Einsetzen ergibt dann:
Dieses LGS hat die eindeutige Lösung: