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Aufgabe 1: Untervektorraum
Beispiel
Überprüfe, ob
Lösung:
Es müssen 3 Bedingungen geprüft werden:
- Der Nullvektor muß im Unterraum enthalten sein
- Der Unterraum muss abgeschlossen bezüglich der Addition sein, d. h. wenn zwei Vektoren aus dem Unterraum addiert werden, dann ist die Summe auch wieder in dem Unterraum enthalten.
- Der Unterraum muss abgeschlossen bezüglich der skalaren Multiplikation sein, d. h. für Skalar mal Vektor aus dem Unterraum liegt wieder ein Vektor im Unterraum vor.
Wir wollen nun also prüfen, ob
Ist der Nullvektor im Untervektorraum enthalten?
Für
Demnach ist
Aufgabe 2: Untervektorraum
Beispiel
Überprüfe, ob
Lösung:
1. Ist der Nullvektor im Untervektorraum enthalten?
Wir setzen für
Der Nullvektor ist
2. Vektoraddition
Wir führen die Vektoraddition aus zwei Vektoren der obigen Menge
Der resultierende Vektor ist ein Element von
3. Skalarmultiplikation
Wir betrachten als nächstes die Skalarmultiplikation und setzen für
Auch hier ist das Ergebnis Element von
Demnach ist
Aufgabe 3: Vektorraum
Beispiel
Überprüfe, ob
Lösung:
1. Ist der Nullvektor im Untervektorraum enthalten?
Wir setzen für
Der Nullvektor ist
2. Vektoraddition
Wir gehen wie oben vor und führen die Vektoraddition aus zwei Vektoren der obigen Menge durch, wobei wir für
Der resultierende Vektor ist ein Element von
allgemein formuliert:
Seien die Vektoren
Der Vektor
Setzen wir nun
Dieser Vektor liegt in
3. Skalarmultiplikation
Wir betrachten als nächstes die Skalarmultiplikation und setzen für
Auch hier ist das Ergebnis Element von
allgemein formuliert:
Demnach ist