Zerlegung von Vektoren

Wie bereits in dem vorherigen Kapitel gezeigt, kann man mit dem Skalarprodukt den Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen.

In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man einen Vektor    durch einen anderen Vektor    und einem zu    orthogonalen (senkrechten) Vektor   darstellt.

Zwei Vektoren heißen zueinander orthogonal, wenn sie einen rechten Winkel bilden und ihr Skalarprodukt gleich null ist.

Zwei Vektoren und sind orthogonal, wenn:

Mit diesem Wissen können wir nun das Beispiel lösen:

(1) Die Gleichung    muss nach der unbekannten    aufgelöst werden:

(2) Diese Gleichung wird dann in die Gleichung  eingesetzt:

(3) Auflösen nach ergibt:

(4) Einsetzen von in  ergibt:

Die obige Gleichung entspricht der orthogonalen Zerlegung von längs :

Die obige Grafik zeigt, dass der Vektor durch den Vektor und einem zu senkrechten Vektor dargestellt wird. Dabei muss der Vektor mit der Zahl so mulitpliziert (skaliert) werden, dass sich dieser verkürzt. In diesem Fall liegt zwischen und .

Anwendungsbeispiel: Zerlegung von Vektoren

Lösung der orthogonale Zerlegung:

Bevor wir die obige Formel

benutzen, berechnen wir die Skalarprodukte:

Diese setzen wir anschließend in die Formel ein:

Gegenrechnung

Prüfung der Orthogonalität