Inhaltsverzeichnis
Zwei Geraden
Bedingungen für Identische Geraden:
Methode
1. Die Richtungsvektoren
2. Der Stützvektor der einen Geraden befindet sich auf der anderen Geraden.
Sind beide Bedingungen erfüllt, so handelt es sich um identische Geraden.
Sind beide Bedingungen erfüllt, so handelt es sich um identische Geraden.
Hinweis
Der Stützvektor ist dabei der Ortsvektor eines beliebigen Punkts auf der Geraden. Dieser wird auch als Aufpunkt bezeichnet. So ist zum Beispiel
Zum besseren Verständnis folgen zwei Beispiele, in welchen gezeigt wird, wann zwei Geraden identisch sind.
Beispiel 1: Identische Geraden
Gegeben seien die beiden Geraden
Beispiel
1.Richtungsvektoren auf Kollinearität prüfen
Zunächst prüfen wir, ob die beiden Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind. Um dies herauszufinden, müssen wir prüfen, ob die beiden Vektoren linear voneinander abhängig sind. Ist dies der Fall, so sind die beiden Richtungsvektoren kollinear. Wir prüfen also, ob es eine Zahl
Wird also beispielsweise der Richtungsvektor
Wir stellen hierzu das lineare Gleichungssystem auf:
(1)
(2)
Wir lösen nun beide nach
(1)
(2)
Für beide Gleichungen resultiert
Hinweis
Die erste Bedingung für identische Geraden ist erfüllt.
2. Liegt der Aufpunkt der Geraden h in der Geraden g?
Als nächstes wollen wir bestimmen, ob der Aufpunkt der Geraden
Der Aufpunkt der Geraden
Wir setzen den Aufpunkt der Geraden
Auch hier stellen wir wieder das lineare Gleichungssystem auf und berechnen
(1)
(2)
Wenn
(1)
(2)
Da
Hinweis
Die zweite Bedingung für identische Geraden ist erfüllt.
Da beide Bedingungen für identische Geraden erfüllt sind, sind beide Geraden Vielfache voneinander und es gilt
Beispiel 2: Identische Geraden
Beispiel
Gegeben seien die beiden Geraden:
Prüfe, ob die beiden Geraden identisch sind!
1.Richtungsvektoren auf Kollinearität prüfen
Zunächst prüfen wir, ob die beiden Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind. Dazu ziehen wir die Richtungsvektoren heran:
Wir stellen das lineare Gleichungssystem auf:
(1)
(2)
(3)
Wir bestimmen für jede Zeile
(1)
(2)
(3)
Hinweis
Da in jeder Zeile
Alternativ:
Wir stellen das lineare Gleichungssystem auf:
(1)
(2)
(3)
Wir bestimmen für jede Zeile
(1)
(2)
(3)
Hinweis
Da in jeder Zeile
2. Liegt der Aufpunkt der Geraden h in der Geraden g?
Danach überprüfen wir, ob der Aufpunkt der Geraden
Aufpunkt der Geraden
Wir setzen den Aufpunkt mit der Geraden
und stellen das lineare Gleichungssystem auf:
(1)
(2)
(3)
Auflösen nach
(1)
(2)
(3)
Da in jeder Zeile
Hinweis
Beide Bedingungen sind erfüllt, damit sind beide Geraden identisch.
Alternativ:
Wir können auch sagen: Liegt der Aufpunkt der Geraden
Aufpunkt
Gleichsetzen des Aufpunktes
Gleichungssystem aufstellen:
(1)
(2)
(3)
Auflösen nach
(1)
(2)
(3)
Hinweis
Es resultiert, dass diese Bedingung erfüllt ist, also der Aufpunkt von
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