Wendepunkte komplexe e-Funktion

Wendepunkte

a) x-Werte berechnen

Bedingung: f´´(x)=0

f(x)=
f´(x)=               

Berechnung der 2. Ableitung mit der Produkt- und Kettelregel
f´´(x)=+

f´´(x)=+

f´´(x)=

f´´(x)=

Nullsetzen der 2. Ableitung und nach x auflösen

0=

da niemals 0 werden kann,
müssen wir nur die Nullstellen von berechnen.

0=   / x ausklammern

0=

x_W1=0

0=

Das ist eine biquadratische Funktion, d.h. hier musst du x² mit z substituieren, d.h. x² als z ersetzen.

0=-48z²+84z-18

Jetzt haben wir eine quadratische Gleichung. Um die p-q-Formel anwenden zu können, muss die Gleichung in Normalform gebracht werden.

0=-48z²+84z-18     / : -48

0=z²-1,75z+0,375     jetzt können wir die p-q-Formel anwenden

p=-1,75   q=0,375         Bestimmen von p und q (Vorzeichen nicht vergessen!)
=-
=0,875
=0,875
=0,875 0,625
=1,5
=0,25

Jetzt müssen wir z wieder durch x² ersetzen (resubstituieren) und dann die Gleichung auflösen.

=1,5
x_W2==1,22  
x_W3=-=-1,22

=0,25

x_W4==0,5 
x_W5=-=-0,5

b) y-Werte berechnen

Einsetzen der Extremstellen in die Ausgangsfunktion

y_W1=f(x_W1)=f(0)= =
y_W1=0

y_W2=f(x_W2)=f()= =-0,75
y_W2=-0,75

y_W3=f(x_E3)=f()= =0,75
y_W3=0,75

y_W4=f(x_W2)=f()= =-0,62
y_W4=-0,62

y_W5=f(x_E3)=f()= =0,62
y_W5=0,62

c) Überprüfung auf LR- bzw. RL-Wendepunkte mit der 3. Ableitung

f´(x)=

f´´(x)=

Berechnung der 3. Ableitung mit der Produkt- und Kettelregel
f´´´(x)=+

f´´´(x)=+

f´´´(x)=

f´´´(x)=

Einsetzen der Wendestellen in die 3. Ableitung

f´´´(0)=
f´´´(0)=-18 < 0 -> Links-Rechts-Sattelpunkt, da auch f´(0)= 0 ist.

f´´´(1,22)=
f´´´(1,22)=-24,75 < 0  -> Links-Rechts-Wendepunkt

f´´´(-1,22)=
f´´´(-1,22)=-24,75 Links-Rechts-Wendepunkt

f´´´(0,5)=
f´´´(0,5)=49,46 > 0 -> Rechts-Links-Wendepunkt

f´´´(-0,5)=
f´´´(-0,5)=49,46 > 0 -> Rechts-Links-Wendepunkt

Ergebnis:     W1          L-R-SP (0/0)
                     W2         L-R-WP (1,22/-0,75)
                     W3         L-R-WP (-1,22/0,75) 
                     W4         R-L-WP  (0,5/-0,62)
                     W5         R-L-WP  (-0,5/0,62)