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Bei einem Knapsack-Problem (auch: Rucksack-Problem) soll ein knappes Gut optimal verteilt werden. Knappsack-Probleme haben häufig nur eine einzige
Ein Knapsack-Problem lässt sich auf ein binäres Problem zurückführen. In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man ein solches Problem mittels Branch-and-Bound-Verfahren lösen kann.
Es sei das folgende ganzzahlige Maximierungsproblem gegeben:
u.d.N.
Das Ausgangsproblem
Bestimmung der oberen Schranke
Die obere Schranke wird bestimmt, indem die Quotienten aus Koeffizient der Zielfunktion durch Koeffizient der Nebenbedingung in absteigender Reihenfolge sortiert werden:
Methode
Danach wird für jede Variable nach dieser Reihenfolge der Wert
Die Variablenwerte werden dann in die Zielfunktion eingesetzt und damit die obere Schranke des Teilproblems
Für das hier angegebene Beispiel werden zunächst die Quotienten gebildet und in absteigender Reihenfolge sortiert:
1.
2.
2.
2.
Danach wird die obere Schranke festgelegt. Zunächst wird
Danach
Danach
Die Variable
Wenn
Es ist aber eine Kapazität vorhanden von
Die letzte Variable
Es ergibt sich also der Punkt:
Die obere Schranke ist demnach:
Methode
Da es sich um eine nichtganzzahlige Lösung handelt, ist die Lösung nicht zulässig. Damit muss das Problem verzweigt werden.
Bestimmung der unteren Schranke
Die untere Schranke wird bestimmt, indem die nicht ganzzahlige Variable mit dem Wert
Für dieses Beispiel ist die untere Schranke demnach:
Methode
Ein Teilproblem braucht nicht weiter betrachtet werden, wenn gilt:
Methode
Fall a:
Fall b:
gesetzt. Es existiert demnach eine neue untere Schranke, welche die Ganzzahligkeitsbedingung erfüllt und zulässig ist.
Fall c: Es existiert keine zulässige Lösung.
Es wird immer diejenige Variable verzweigt, welche nichtganzzahlige Werte aufweist. In diesem Beispiel wird also mit der Variable
Für das Teilproblem
Zunächst wird
Danach
Danach
Danach
Die Variable
Die obere Schranke für das Teilproblem ist demnach:
Methode
Da es sich um eine nichtganzzahlige Lösung handelt, ist die Lösung nicht zulässig. Damit muss das Problem verzweigt werden.
Für das Teilproblem
Zunächst wird
Danach
Danach
Die Kapazität ist nicht ausreichend. Die Variable über
Da die Kapazität voll ausgeschöpft ist, wird
Die obere Schranke ergibt also:
Methode
Es handelt sich hierbei um eine zulässige Lösung, weil die Lösung ganzzahlig ist. Da diese ermittelte zulässige Lösung größer ist als die untere Schranke
Das Problem
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