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Neben der Angabe von Mittelwert und Standardabweichung ist häufig auch die Angabe der statistischen Sicherheit des Mittelwertes von Interesse. Der Mittelwert stellt lediglich eine Schätzung der Messergebnisse dar, welche für eine geringe Anzahl
Methode
Wir kennen den experimentellen Mittelwert
Wir können aber ein symmetisches Vertrauensintervall um den Mittelwert
Ist die Standardabweichung der Grundgesamtheit unbekannt, so werden die Grenzen des Vertrauensintervalls wie folgt bestimmt:
Methode
mit
Das obige Verfahren legt die t-Verteilung zugrunde. Der Parameter
Der nachfolgenden Tabelle können einige t-Werte der Student-t-Verteilung entnommen werden:
n | 68,3 % | 95% | 99,7 % |
3 | 1,32 | 4,3 | 19,2 |
5 | 1,15 | 2,8 | 6,6 |
10 | 1,06 | 2,3 | 4,1 |
100 | 1,00 | 2,0 | 3,1 |
Student-t-Verteilung
Die Student-t-Verteilung (kurz: t-Verteilung) wurde 1908 von William Sealy Gosset entwickelt. Hierbei handelt es sich um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Gosset hatte festgestellt, dass die standardisierte Schätzfunktion des Stichprobenmittelwerts normalverteilter erhobener Daten selbst nicht normalverteilt ist, sondern t-verteilt, wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit unbekannt ist und geschätzt werden muss.
Die Standardabweichung gibt an, wie weit die einzelnen Messwerte im Durchschnitt von dem Mittelwert entfernt sind. Es wird unterschieden zwischen der Stichproben-Standardabweichung, welche mit dem experimentell ermittelten Mittelwert
und der Standardabweichung der Grundgesamtheit
Methode
die mit dem wahren Mittelwert
Und genau hier greift die t-Verteilung. Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist häufig nicht zu ermitteln, weil nicht alle potentiellen Untersuchungsobjekte befragt werden können. Es wird also eine Stichprobe erhoben. Ist diese normalverteilt, so ist der Mittelwert der Stichprobe
Merke
Die Standardabweichung gibt an, wie weit die einzelnen Messwerte im Durchschnitt von dem Mittelwert entfernt sind.
Anwendungsbeispiel: Vertrauensintervall
Ein Schraubenhersteller möchte eine Qualitätskontrolle durchführen. Dazu nimmt er eine Stichprobe von 10 Schrauben und untersucht diese hinsichtlich ihres Durchmessers. Die Messungen sind der nachfolgenden Tabelle zu entnehmen:
n | Messung in mm |
1 | 3,2 |
2 | 3,5 |
3 | 2,9 |
4 | 3,6 |
5 | 3,2 |
6 | 3,9 |
7 | 3,1 |
8 | 3,0 |
9 | 2,9 |
10 | 2,8 |
Beispiel
Gesucht ist ein Intervall um
Der Mittelwert der Stichprobe beträgt:
Der Mittelwert der Stichprobe beträgt demnach 3,2 mm. Es wird nur eine Stelle nach dem Komma betrachtet, weil die Messung ebenfalls mit einer Nachkommastelle durchgeführt wurde.
Wir betrachten als nächstes die Standardabweichung der Stichprobe:
Die Standardabweichung beträgt also 0,3 mm, d.h. die einzelnen Messwerte weichen im Mittel 0,3 mm vom Mittelwert ab.
Als nächstes wollen wir das Vertrauensintervall bestimmen:
Der t-Wert ist der obigen Tabelle entnommen worden. Es liegt eine Messung von
Das Intervall ergibt sich dann durch:
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