Inhaltsverzeichnis
Im vorherigen Abschnitt haben wir die Wellengleichung hergleitet:
Methode
Innerhalb dieser Bewegungsgleichung ist die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit
Methode
Es ergibt sich unter Berücksichtigung dieser Wellenausbreitungsgeschwindigkeit die Wellengleichung zu:
Methode
mit
Allgemeine Lösung der Wellengleichung
Es stellt sich nun die Frage, welche Auslenkungfunktionen eine Lösung der Wellengleichung darstellen. Es kann jede beliebige Funktion als Lösung der Wellengleichung angesehen werden, die
Methode
mit
Das bedeutet also, dass die Auslenkfunktion eine Funktion mit der obigen Kombination sein muss:
Auf den Nachweis, dass jede Funktion die Lösung der Wellengleichung darstellt, wenn diese die obige Kombination aufweist, soll verzichtet werden.
Anwendungsbeispiel: Allgemeine Lösung der Wellengleichung
Beispiel
Welche der folgenden Auslenkfunktionen stellen eine Lösung der Wellengleichung dar?
(1)
(2)
(3)
Können wir die obigen drei Funktionen in der Form
Wir beginnen mit (1): Diese Funktion kann nicht anders dargestellt werden. Hierbei handelt es sich um keine Lösung der Wellengleichung.
Wir betrachten (2): Diese Funktion ist mittels der binomischen Formel auch anders darstellbar. Es gilt allgemein:
Wenden wir das auf die Funktion an, so erhalten wir:
Es fehlt aber noch das
Und es ist deutlich zu erkennen, dass der Term
genau die Funktion darstellt und eine Kombination aus dem Term
darstellt. Hierbei handelt es sich also um eine Lösung.
Für (3) gilt dasselbe nur diesmal mit einem Minuszeichen:
Die Auslenkfunktionen (2) und (3) sind also Lösungen der allgemeinen Wellengleichung.
Merke
In den nacholgenden Abschnitten wollen wir uns der harmonischen Welle zuwenden. Baron Fourier hat gezeigt, dass jede Welle als Überlagerung harmonischer Wellen beschrieben werden kann. Da die Beschreibung von harmonischen Wellen einfacher ausfällt, kann man sich also bei der Betrachtung von Wellen auf die harmonischen Wellen beschränken.
