Gedämpfte harmonische Schwingungen

Wir haben in den vorherigen Abschnitten die ungedämpfte harmonischen Schwingungen betrachtet. Bei der ungedämpften Schwingung treten keine Reibungskräfte auf (z.B. Luftwiderstand). Die Schwingung kann sich also fortsetzen ohne aufgrund von Reibung ausgebremst zu werden.

Gedämpfte Schwingungen

Ungedämpfte Schwingungen sind nur möglich wenn keine Reibungskräfte gegeben sind. Reale Schwingungen hingegen werden durch auftretende Reibungen ausgebremst und kommen irgendwann zum Stillstand (es sei denn es wird regelmäßig Energie zugeführt). Solche Schwingungen werden als gedämpfte Schwingungen bezeichnet. 

Bei einem Federpendel wird der Großteil der Schwingungsenergie beim Verformen der Feder in thermisch Energie umgewandelt. Aber auch der Luftwiderstand (je nach Größe des am Pendel hängenden Gewichts) kann hier eine Rolle spielen. 

Bewegungsgleichung

Die gedämpfte Schwingung aufgrund von Reibung lässt sich mit der sogenannten Dämpfungskonstante beschreiben. Diese gibt an wie stark die Schwingung gedämpft ist.

Bei der gedämpften Schwingung ist die Amplitude über die Zeit nicht mehr konstant, sondern ändert sich aufgrund von Reibung. Ist eine Reibungskraft gegeben, die abhängig von der Geschwindigkeit ist (z.B. der Luftwiderstand), so nimmt die Amplitude vom Anfangswert exponentiell ab:

In der obigen Grafik ist eine harmonische gedämpfte Schwingung zu sehen. Die Schwingung beginnt bei der Amplitude . Die Amplitude nimmt aufgrund der Reibung exponentiell mit der Amplitudenfunktion ab.

Die Bewegungsgleichungen (siehe Abschnitt Harmonische Schwingungen: Bewegungsleichung) muss entsprechend der Änderung der Amplitude angepasst werden zu:

Bei der Ableitung der Funktion muss natürlich ebenfalls die Amplitudenfunktion abgeleitet werden. Dabei gilt die einmalige Ableitung der Auslenkung ergibt die Geschwindigkeit und die zweimalige Ableitung die Beschleunigung .

Für die gedämpfte Eigenfrequenz der einzelnen Pendel gilt:

Das bedeutet also für alle drei Pendel:

Demnach müssen ebenfalls die Schwingungsdauer und Schwingungsfrequenz angepasst werden:

Wesentlicher Effekt:  Das Verhältnis zweier benachbarter Amplituden ist gegeben mit:

Das logarithmische Dekrement ergibt sich zu:

Die folgende Grafik zeigt die Bewegungsgleichung und Amplitudenfunktionen für die unterschiedlichen Anfangspunkte der Bewegung:

Gesamtenergie

Bei der gedämpften Schwingungen sinkt die Gesamtenergie im Zeitverlauf. Es muss also das Produkt

bei der Gesamtenergie berücksichtigt werden.

Für das Fadenpendel gilt somit:

Anwendungsbeispiel: Gedämpfte Schwingung

Hier können wir die Amplitudenfunktion heranziehen:

Nach ist nur noch 2% der Anfangsamplitude gegeben:

Wir setzen ein:

Wir können diese Gleichung als nächstes nach auflösen:

Der Abklingskoeffizient beträgt 0,261s^{-1}\Lambda\frac{1}{6}l = 1,8m\triangle \omega bestimmen:

Wir wollen nun die Größe der 8. Amplitude bestimmen. Dazu können wir die Formel so anpassen, dass: